Métrica seis sigma y gráficos de control PDF

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Ensayo de la métrica sigma y gráficos de control...

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A medida que avanza el tiempo el consumidor cada vez se va volviendo más experto y consciente de la importancia de calidad. Para las empresas este es el punto de partida en el establecimiento de estándares que puedan satisfacer a un mercado globalizado. El control estadístico ha demostrado una gran utilidad tanto en la manufactura, como para la prestación de servicios. Pues debido a las exigencias de mejora por parte del consumidor hacia las empresas y a la alta competitividad de los mercados, se hace evidente la necesidad de aplicación de conceptos y técnicas estadísticas para mejorar la calidad. Una de las acciones más importantes que pueden ayudar a mantener la calidad de cualquier bien o servicio es la recopilar datos relevantes de manera consistente a lo largo del tiempo, trazarlos y examinar los gráficos cuidadosamente. Todos los gráficos de control de proceso estadístico trazan datos (o una estadística calculada a partir de datos) versus tiempo, con límites de control diseñados para alertar al analista de eventos más allá de la variabilidad de muestreo normal. Por consiguiente, estas acciones plantean uno de los supuestos más importantes con las que se construyen la mayoría de las cartas de control, como el hecho de que las mediciones sucesivas en el proceso son independientes, por ejemplo: la gráfica ARIMA. Fundamentada en el filtrado de series temporales, en donde las observaciones son consideradas una serie temporal , provenientes de un proceso aleatorio lineal, caracterizada por una combinación de dos modelos: autorregresivos (AR) y de medias móviles (MA). En la actualidad existe un gran número de cartas disponibles para el estudio del estado de un proceso productivo. Tolley e English reconocen que la carta EWMA tiene la ventaja de detectar cambios pequeños. Jones menciona que la EWMA se ha convertido en una carta ampliamente estudiada y aceptada como una alternativa para la tradicional Shewart o Carta X. Se recomienda el uso combinado de la carta EWMA y la X, con lo cual pretenden mejorar el desempeño en términos de habilidad de detección del cambio y/o habilidades económicas. Según Woodall et al (2004), el Control Estadístico de Calidad es una colección de herramientas que son esenciales en las actividades de mejora de la calidad de productos, pero ¿Cómo utilizar la información obtenida a través de la inspección para mejorar la calidad de los productos? Los estudios de Johnson y Basgshaw (1974) y Harris y Ross (1991) mostraron que las sumas acumulativas (CUSUM) son sensibles a la presencia de datos autocorrelacionados, especialmente cuando la autocorrelación es extrema, es decir, las herramientas no son adecuadas para el control del proceso. En el presente ensayo se analizará los fundamentos teóricos y la aplicación de la métrica seis sigma y gráficos especiales CUSUM, EWMA y ARIMA.

Métrica de Seis Sigma Las métricas Seis Sigma emplean a los defectos del proceso para sacar indicadores que miden la calidad de un proceso y tienen un fácil cálculo e interpretación. Una de las características diferenciadoras más importantes que tiene la metodología seis sigmas está en la medida del desempeño de un proceso, ella debe ser flexible y debe adecuarse a todo tipo de proceso, ya sea proceso de manufactura, de prestación de un servicio o de un proceso de gestión. Una medida de defectos en el proceso. A mayor Nivel Sigma indica que el proceso resulta menos defectos, mientras que un menor Nivel Sigma significa una mayor tasa de defectos. Nivel Sigma de calidad puede utilizarse para propósito y la evaluación comparativa de ayuda para medir la calidad del proceso.” (Kumar, Crocker, & Chitra, 2006) Casi todas las métricas que se utilizan en Seis Sigma están basadas en defectos o fallos que ocurren en los procesos. Nombre de la métrica

Ecuación de calculo

𝐷

𝐷𝑃𝑈 = 𝑈

Defectos por unidad (DPU)

Defectos (DPO)

por

oportunidad

𝐷𝑃𝑂 =

𝐷 𝑈∗𝑂

Defectos por millón oportunidades DPMO

de

𝐷𝑃𝑀𝑂 =

𝐷 ∗ 106 𝑈∗𝑂

Defectos por millón unidades DPMU

de

𝐷𝑃𝑀𝑈 =

𝐷 ∗ 106 𝑈∗𝑂

Descripción Toma el número de defectos que se observaron en las unidades producidas e inspeccionadas, permite saber cuál es el promedio de defectos por unidad de producción. Toma el número de defectos que se obtienen del proceso, sobre las oportunidades que son propensas de fallar durante el proceso de producción. Esta métrica es un complemento de la DPO y DPU en el caso de que la unidad tenga una sola oportunidad. Se obtiene al multiplicar las anteriores por un millón. Se obtiene al multiplicar a DPU por un millón. Se utiliza cuando un producto solamente tiene una característica de calidad.

Índice Z Otra forma de medir la capacidad del proceso es mediante el índice Z, el cual consiste en calcular la distancia entre las especificaciones y la media μ del proceso en unidades de la desviación estándar, σ. De esta manera, para un proceso con doble especificación se tiene Z superior, Zs, y Z inferior, Zi, que se definen de la siguiente manera: 𝑍𝑠 =

𝐸𝑆−𝜇 𝜎

y 𝑍𝑖 =

𝜇−𝐸𝐼 𝜎

Ejemplo 1: En un proceso de envasado de cemento de una empresa cementera se tiene como especificación del contenido de los costales 50 kg, con una tolerancia de 0.6 kg. De esta forma, la especificación inferior es EI = 49.4 kg, y la superior ES = 50.6 kg. De acuerdo con los datos históricos se tiene que la media del proceso es μ = 50.01 y la desviación estándar es 0.2 kg. De aquí que, 𝑍𝑠 =

50. 06−50.01 0.2

= 2.95 y 𝑍𝑖 =

50.01−49.4 0.2

=3.05

La capacidad de un proceso medida en términos del índice Z es igual al valor más pequeño de entre Zs y Zi, es decir:

Z = mínimo [𝑍𝑠 , 𝑍𝑖 ]

Por lo que en el caso del ejempl, el proceso tiene una calidad de Z = 2.95 sigmas. Si la desviación estándar utilizada para calcular el índice Z es de corto plazo, entonces el correspondiente Z también será de corto plazo y se denota como Zc. En cambio, si la σ es de largo plazo, entonces el correspondiente Z será designado de largo plazo y se denota con ZL. La diferencia entre la capacidad de corto y largo plazo se conoce como desplazamiento o movimiento del proceso y se mide a través del índice Z de la siguiente manera: Z m = Zc – Z L El índice Zm representa la habilidad para controlar la tecnología. Hay estudios que ponen de manifiesto que la media de un proceso se puede desplazar a través del tiempo hasta 1.5 sigmas en promedio hasta cualquier lado de su valor actual. Por lo general, este 1.5 se utiliza de la siguiente manera: cuando es posible calcular Zm y si éste es menor que 1.5, se asumirá que el proceso tiene un mejor control que el promedio de los procesos con un control pobre, y si es mayor que 1.5, entonces el control es muy malo. Métrica Seis Sigma para atributos (DPMO) El índice Z se emplea como métrica en Seis Sigma cuando la característica de calidad es de tipo continuo; sin embargo, muchas características de calidad son de atributos como métrica a los Defectos por millón de oportunidades de error (DPMO). En este caso se utilizará como métrica a los Defectos por millón de oportunidades de error (DPMO). Ejemplo 2: En una fábrica de muebles, durante la etapa de ensamble del producto se quiere evaluar el desempeño del proceso. En particular, se pretende evaluar la calidad del ensamble de una silla. El producto tiene 24 puntos de ensamble; por lo tanto, en la inspección final se evalúa cada uno de los puntos de ensamble. De los resultados del último mes se tiene que, de 2 000 sillas revisadas, se encontraron 120 puntos de ensamble insatisfactorios. Se entiende por unidad a la parte o producto que es elaborada por un proceso y que, por lo tanto, es posible inspeccionar o evaluar su calidad. En el caso del ejemplo, la unidad es la silla, puesto que es el producto del proceso de ensamble. Ahora bien, en la elaboración de un producto o unidad por lo general existe más de una oportunidad de error. En el caso del ejemplo 2 del ensamble de las sillas, cada punto de ensamble es una oportunidad de error. En este caso, como se deduce de la figura 5.3, en el ensamble de cada unidad (silla) se tendrán 24 oportunidades de error. En general, se define como oportunidad de error cualquier parte de la unidad que es posible medirse o probarse si es adecuada. De acuerdo con lo anterior, un defecto es cualquier no conformidad o desviación de la calidad especificada de un producto; en el caso del ejemplo será alguna desviación con respecto a que el ensamble se realice en forma correcta y de acuerdo con criterios de calidad bien especificados. En este contexto surge el índice DPU (defectos por unidad), el cual es una métrica que determina el nivel de no calidad de un proceso que no toma en cuenta las oportunidades de error y se obtiene con el siguiente cociente: 𝐷𝑃𝑈 =

𝐷 𝑈

Donde U es el número de unidades inspeccionadas en las cuales se observaron d defectos; ambas referidas a un lapso de tiempo específico. Por ejemplo, de 2 000 sillas inspeccionadas se detectaron 120 ensambles con defectos, por lo tanto: 120 𝐷𝑃𝑈 = 2000 = 0.06

Esto significa que, en promedio, cada silla tiene 0.06 ensambles defectuosos (en 100 sillas se esperarían seis ensambles defectuosos). Es claro que una misma silla puede tener más de un ensamble defectuoso. Una desventaja del DPU es que no toma en cuenta el número de oportunidades de error en la unidad. En el caso del ejemplo 5.3 no es lo mismo tener un DPU = 0.06 para una silla que sólo tiene 12 puntos de ensamble a la que se está considerando, que tiene 24. Por ello, para tomar en cuenta la complejidad de la unidad o producto se utiliza el índice DPO (defectos por oportunidad), que mide la no calidad de un proceso y se obtiene como sigue: 𝐷𝑃𝑂 =

𝐷 𝑈∗𝑂

Donde U y d son como antes, y O es el número de oportunidades de error por unidad. Nótese que para calcular el DPO es necesario dividir el total de defectos encontrados, d, entre el total de oportunidades de error, ya que éste se obtiene multiplicando el total de unidades inspeccionadas, U, por el número de oportunidades de error por unidad, O. De esta manera, en el caso de las sillas, 𝐷𝑃𝑂 =

120 120 = = 0.0025 2000 ∗ 24 48000

lo cual significa que de 48 000 ensambles (oportunidad de error) se fabricaron 120 con algún defecto. Para lograr un mejor entendimiento de la métrica DPO, es mejor obtener el índice DPMO (Defectos por millón de oportunidades), el cual cuantifica los defectos del proceso en un millón de oportunidades de error, y se obtiene al multiplicar al DPO por un millón, por lo que para las sillas se tiene que: 𝐷𝑃𝑀𝑂 = 0.0025 ∗ 106 = 2500

Entonces, de un millón de ensambles realizados (24 por silla) se espera tener 2 500 con algún tipo de defecto, lo cual habla de que no se tiene un proceso Seis Sigma, ya que la meta será tener 3.4 DPMO como máximo. En suma, la métrica Seis Sigma para este tipo de procesos con una característica de calidad de atributos que, en el procesamiento de una unidad o producto es posible tener más de una oportunidad de error, es el índice DPMO. En general, bajo las condiciones anteriores hay una tendencia a preferirlo sobre el DPU, e incluso sobre el DPO. Gráfico CUSUM El término cusum procede del inglés cumulative-sum, que significa suma acumulada, este es un tipo de grafico de control utilizado para monitorear pequeños cambios en la media del proceso. Utiliza la suma acumulativa de desviaciones de un objetivo. La principal cualidad de este tipo de gráficos es que detectan pequeñas desviaciones del estado de control más rápidamente. El gráfico CUSUM traza la suma acumulativa de desviaciones del objetivo para mediciones individuales o medias de subgrupos. Este requiere dos parámetros: 1. Un valor de referencia (k) especificado en unidades sigma. k a menudo se establece en la mitad del turno a detectar, en unidades sigma. Por defecto k = 0.5, que es igual a detectar un cambio de 1 sigma. 2. El límite de decisión (h) especificado en unidades sigma. Por defecto h = 5 Cuando se diseña un gráfico CUSUM, es necesario tener en cuenta la longitud y el desplazamiento promedio que se detectarán. Se encuentra disponible una amplia guía sobre los parámetros adecuados (NIST 2012, Montgomery 2012).

Al igual que el EWMA, CUSUM es sensible a pequeños cambios en el proceso medio, pero no coincide con la capacidad de un gráfico Shewhart para detectar cambios más grandes. Por esta razón, a veces se usa junto con un gráfico Shewhart (Montgomery 2012). Ejemplo 9.1 Una máquina automática llena paquetes de harina con un peso nominal de 80 onzas. Interesa monitorear esta máquina para detectar cambios pequeños de magnitud 0.15 onzas. Por medio de información histórica se sabe que la desviación estándar del peso de los paquetes es 0.2 onzas. Cada media hora se sacan en forma aleatoria cuatro paquetes y se pesan. Las medias y rangos de las últimas 20 muestra.

Dado que el error estándar histórico es σX – = 0.2/⎯4 = √ 0.1, e interesa detectar un cambio de 0.15 onzas, entonces este cambio equivale a δ = 1.5 unidades del error estándar. Así, de la tabla 9.1, con δ = 1.5 y ARL0 = 400, se lee que d = 4.5, k = 0.75 y h = (0.75)(4.5) = 3.37. Nótese que, en efecto, en la figura 9.4 la distancia guía es cercana a d = 4.5, y la distancia vertical del punto de colocación a los brazos es aproximadamente h = 3.37. Sin embargo, no se cumple el escalamiento recomendado de dos errores estándar (Statgraphics no trabaja con dicho escalamiento) por unidad en el eje horizontal, lo cual implica que el ángulo no es de arctan (0.75/2) = 20.55°, sino mayor, pero la gráfica funciona de manera adecuada. En este caso particular, para que el ángulo fuera 20.55° sería necesario estirar la máscara en el sentido horizontal hasta que dos unidades verticales tengan el tamaño de una unidad horizontal.

Gráfico ARIMA La metodología Box-Jenkins consiste en encontrar un medo matemático que represente el comportamiento de una serie temporal de datos, y permita hacer previsiones únicamente introduciendo el periodo de tiempo correspondiente (Chatfield,1989).El desarrollo de un gráfico ARIMA (Promedio Móvil Integrado Auto-Regresivo) crea gráficos de control para una sola variable numérica donde los datos son recolectados individualmente o en subgrupos. A diferencia con otros gráficos de control, los gráficos ARIMA no asumen que las observaciones seriales son independientes. En lugar, un modelo estadístico se construye para describir la correlación serial entre las observaciones a lo largo del tiempo. Entonces las señales de un fuera de control se basan en las desviaciones del proceso de este modelo. Para el uso de este modelo existen condiciones, las cuales son presentadas a continuación. •

•

Los datos son estacionarios, es decir, los atributos de la serie no dependen del momento en que son recaudados. Por ejemplo: Series de ruido blanco, se caracteriza por el hecho de que sus valores de señal en dos tiempos diferentes no guardan correlación estadística. Los datos deben ser univariantes, puesto que el modelo de ARIMA trabaja en una sola variable.

Muchos procesos, son muestreados en intervalos de tiempo, que exhiben una autocorrelación. Los gráficos de control estándares tendrían que encontrar muchas falsas alarmas en tales casos. El proceso crea dos gráficos, un gráfico ARIMA y un gráfico R, o gráfico S, o gráfico MR. Estos gráficos se construyen en cualquier modo de estudio, tal es el caso de la inicial, donde los datos actuales determinan los límites de control, donde los límites provienen de un estándar conocido, los cuales pueden ser los límites de especificación. A mi juicio, estos límites despojan a los calculados en el modo de estudio inicial, puesto que son primordiales en un proceso de producción para la calidad exigida por clientes. El gráfico ARIMA se construye sobre una clase de modelos más complicados definidos por:

Donde:

Y los parámetros que lo definen son:

En donde la media y la varianza del proceso está definida por:

Gráfico EWMA La carta EWMA (por sus siglas en inglés: Exponentially Weighted Moving-Average, “promedios móviles exponencialmente ponderados” fue propuesta por Roberts en 1959. Esta carta tiene un desempeño parecido a la CUSUM en la detección de pequeños cambios de nivel del proceso. El estadístico EWMA, que se grafica al tiempo t en la carta, está dado por la fórmula recursiva: Zt = λXt + (1-λ) Zt -1 donde Z0 = x que coincide con el valor nominal si el proceso está centrado, y 0 < λ ≤ 1. Por ejemplo, hasta Z 3, las tres primeras sumas estarían dadas por: Z1 = λ x – 1 + (1 − λ)Z0 Z2 = λ x – 2 + (1 − λ)Z1 = λ x – 2 + (1 − λ)[λ x – 1 + (1 − λ)Z0] = λ x – 2 + λ(1 − λ)x – 1 + (1 − λ) 2 Z0 Z3 = λ x – 3 + (1 − λ)Z2 = λ x – 2 + (1 − λ)[λ x – 2 + (1 − λ)Z1] = λ x – 3 + λ(1 − λ)x – 2 + λ (1 − λ) 2 x – 1 + (1 − λ) 3 Z0 A partir de esto, es claro que el parámetro λ determina la profundidad de la memoria de la EWMA: mientras más cerca esté de cero es mayor el peso de los datos históricos, es decir, recuerda más el pasado. Mientras que, si está más cerca de uno, tiene más influencia la última media observada y el pasado tiene menos paso. De tal forma que cuando λ = 1 sería equivalente a la carta de medias tradicional, que no da ningún peso a la información anterior a un punto dado. La experiencia ha mostrado que lo adecuado es que 0.1 ≤ λ ≤ 0.3, y el valor 0.2 es el más típico. La carta de control EWMA es muy efectiva contra los cambios pequeños en el proceso. Los parámetros de diseño de la carta son el múltiplo de sigma usado en los límites de control. La varianza del estadístico Zt está dada por: Var (Zt)= 𝑉𝑎𝑟 (𝑍𝑡 ) =

𝜎2 𝜆 ( )[(1 − 𝜆) 2𝑡 ] 𝑛 2−𝜆

donde n es el tamaño del subgrupo. De aquí que los límites en el punto o subgrupo t están dados por: 𝜆 )[1 − (1 − 𝜆)2𝑡 ] 𝐿𝐶𝑆 = 𝑍0 + 3𝜎√( 𝑛(2 − 𝜆) 𝐿𝐶𝐼 = 𝑍0 − 3𝜎√(

𝜆 )[1 − (1 − 𝜆)2𝑡 ] 𝑛(2 − 𝜆)

Como en las expresiones anteriores, el término [1 − (1 − λ) 2t] tiende a 1 cuando t se incrementa, de manera que la varianza de Zt se va incrementando y con ello los límites de control de la carta EWMA se van abriendo en los primeros puntos hasta estabilizarse en: 𝐿𝐶𝑆 = 𝑍0 + 3𝜎√ 𝐿𝐶𝐼 = 𝑍0 − 3𝜎√ La carta EWMA se utiliza cuando: • •

Las variables estén altamente relacionadas. Detectar pequeños cambios en la media del proceso.

𝜆 𝑛(2 − 𝜆)

𝜆 𝑛(2 − 𝜆)

•

Controlar los procesos en el tiempo.

Esta carta tiene diversas aplicaciones, cabe mencionar algunas: • • •

Identificación de causas de variabilidad en procesos de crédito del sector financiero. Almacén de paquetes de software de moldeado para los analistas. En la aproximación de los gráficos de atributos para el monitoreo de la satisfacción del cliente en la presentación del servicio.

Ejemplo 9.3 Para obtener una carta EWMA del peso de paquetes del ejemplo 9.1 se obtienen las sumas, se aplican las fórmulas previas y, usando el valor típico de λ = 0.2, se obtienen las sumas ponderadas: Z 0 = 80, Z1 = 79.98, Z 2 = 79.966, Z3 =79.951; etc. Los límites de control se obtienen con las fórmulas previas, usando tamaño de muestra o subgrupo n = 4, y un σ = 0.2. Con estos elementos se obtiene la carta EWMA de la figura 9.6. Aparecen fuera de los límites de control los mismos puntos que se detectaron con las cartas CUSUM (figura 9.4)

Conclusión Los gráficos de control son hoy una de las herramientas más útiles e influyentes en la industria, que ofrece amplísimas posibilidades de aplicación, y más todavía si se consideran la velocidad con la que se genera el desarrollo tecnológico. Estos gráficos son muy necesarios para la calidad, ya que con ellos podemos medir y controlar los sistemas, para así poder tener un mejor proceso que ayude a mejorar la calidad de la producción. El uso de gráficos de control proporciona una gran herramienta de ayuda en calidad, para saber en qué estado esta nuestro proceso y así elimin...