Mfa2 ss2015 ha 4 - Übungsblatt 4 PDF

Preview

Summary

Übungsblatt 4...

Description

Reitzner/Madani/Sieg/Wank

8. Mai 2015 Mathematik fur ¨ Anwender II ¨ Ubungsblatt 4 Abgabe: 18.05.2015, bis 10:00 Uhr

13. (1) Wir betrachten V = R3 sowie    1  U1 := span 3  0 

     0   1 und U2 := span 0 , 2 .  1 1 

Berechnen Sie die darstellenden Matrizen von pU1 und pU2 . (2) Es sei nun V ein beliebiger euklidischer Vektorraum und U ⊆ V ein Untervektorrraum und pU : V → U die orthogonale Projektion. Zeigen Sie min kx − uk = kx − pU (x)k. u∈U

ur V = Fertigen Sie f¨

R2

    2 1 eine Skizze von U = span , pU (x) und , x= 2 1

kx − pU (x)k an.   14. Sei V = (a0 , a1 , a2 , ...) ⊆ R : ∑∞k=0 |ak |2 < ∞ ein Teilraum der reellen Folgen und sei das Skalarprodukt durch ∞

h(x0 , x1 , ...), (y0 , y1 , ...)i =

∑ xkyk k=0

gegeben. Betrachten Sie die Abbildung f :V →V (x0 , x1 , ...) 7→ (0, x0 , x1 , ...), den sogenannten Rechtsshift-Operator. Zeigen Sie: (1) h·, ··i : V ×V → R ist ein Skalarprodukt. (2) f ist orthogonal. (3) f ist nicht bijektiv. Warum ist dies kein Widerspruch zu Satz 2.18? 15. Es sei a = (a1 , a2 , a3 )T ∈ R3 mit ||a|| = 1 gegeben. Die lineare Abbildung f : R3 → R3 mit f (x) = x − 2a(aT x) ist eine Spiegelung an der auf a senkrecht stehenden Ebene durch den Ursprung. (1) (2) (3) (4)

ur ein a ihrer Wahl. Veranschaulichen Sie die Abbildung f anhand einer Skizze f¨ Berechnen Sie die Darstellungsmatrix A von f . Berechnen Sie f ◦ f . Ist f orthogonal?

Bitte wenden!

16. Sei f : Rn → Rn eine Funktion. Zeigen Sie, dass durch d : Rn × Rn → R (x, y) 7→ k f (x) − f (y)k genau dann eine Metrik auf R definiert ist, wenn f injektiv ist. Sei nun f : R2 → R2     x1 |x1 | x1 7→ x2 (1 + |x1 |)2 x2 Skizzieren Sie den Ball B1 (0) bezuglich ¨ der durch f erzeugten Metrik auf dem Rechteck 2 M := {x ∈ R : −1 ≤ x1 ≤ 1 und − 5 ≤ x2 ≤ 5}.

2...