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U NIVERSITA DEGLI S TUDI DI PARMA FACOLTA DI E CONOMIA

MATEMATICA GENERALE S IMONA S ANFELICI a.a. 2018/2019

S. Waner, S.R. Costenoble,

Strumenti quantitativi per la gestione

aziendale, Apogeo, Milano, Seconda edizione (2018).

re informazioni sono (saranno) disponibili nella pagina web del corso

https://elly.sea.unipr.it/2018

20 DICE M B RE 2018: ore 9:30

17 GENN A IO 2019: ore 9:30

31 GENN A IO 2019: ore 9:30

Altre sessioni:

Sessione estiva: 27 maggio, 13 giugno e 27 giugno 2019

Sessione di recupero: 5 settembre 2019

Argomenti Funzioni e modelli lineari Sistemi di equazioni lineari e matrici Algebra matriciale e applicazioni Modelli non lineari

La derivata Analisi marginale Regole di derivazione Applicazioni della derivata. Ricerca di massimi e minimi

Altre tecniche di integrazione

FUNZIONI E MODELLI LINEARI:

Esempio introduttivo: analisi del numero di utenti iscritti a zio del 2004.

Idea: il numero di iscritti cambia nel tempo. LEGAME DIPENDENZA

M ODELLO MATEMATICO O FUNZIONE (relazione che descrive come

M ODELLO :

tempo ( INPUT )

FUNZIONE

variabile indipendente

numero di iscritti ( OUTPUT) variabile dipendente

NUMERI: N ATUR A LI :

I N TE RI R E L ATIV I :

R AZIONA L I :

R EA L I : numeri irrazionali

R EA L I E S TES I :

INTERVALLI:

In generale:

INTORNI: (

)

INTORNO di

: intervallo

aperto contenente il punto

(

]

INTORNO SINISTRO di

FUNZIONI E MODELLI LINEARI:

Esempio introduttivo: analisi del numero di utenti iscritti a zio del 2004. La tabella seguente indica il numero di utenti iscritti a Facebook

Anno

(a partire dal 2004)

Iscritti a Facebook

Indichiamo con tempo

(milioni)

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0

0.5

1

2

5.5

7

12

il numero di iscritti a Facebook (in milioni) al

, con

il numero di iscritti al tempo

e cosi

via... In generale, indichiamo con (in milioni) al tempo .

il numero di iscritti a Facebook

FUNZIONE: F UNZIONE A VALORI REALI DI UNA VARIABILE REALE (legge che dice come calcolare il numero

a partire dal n.ro

)

variabile indipendente variabile dipendente DOMINIO: insieme dei valori in cui varia , o

)

dominio naturale ,

)

ESEMPI: : mesi di un bimbo durante il suo primo anno di vita:

CODOMINIO: insieme dei valori in cui varia

DEFINIZIONE: Dati

,

, si dice FUNZIONE da

che ad ogni

NOTAZIONI:

in

una legge (regola, applicazione)

associa un solo elemento

.

E SE R CIZIO : Determinare il dominio naturale delle seguenti funzioni:

RAPPRESENTAZIONE DI UNA FUNZIONE: NUMERICA: E SEMPIO ANNO

2000

2001

2002

SPESA

13

14.5

18

IDEA: variabile indipendente tempo trascorso dal 2000

0

1

2

13

14.5

18

(INTERPOLAZIONE) (ESTRAPOLAZIONE)

ALGEBRICA o ANALITICA

GRAFICA

:

:

G R AFICO DI U NA FUN ZIONE : insieme dei punti e

del piano tali che

E SE R CIZIO : Data la funzione in forma analitica

calcolare

TIPI COMUNI DI FUNZIONI: LINEARE:

QUADRATICA:

(

)

CUBICA:

(

)

ESPONENZIALE

:

,

RAZIONALE

:

,

per

VALORE ASSOLUTO

:

FUNZIONI DEFINITE A TRATTI

:

Esempio:

RADICE QUADRATA

:

,

E SE R CIZIO : Data se se se

calcolare

,

,

,

.

ESERCIZIO:

per per per

ESERCIZIO 7 PAR. 1.1

Calcolare tale che

ESERCIZIO 10 PAR. 1.1

ESERCIZIO 23 PAR. 1.1 Numero dei Bar Coffee in funzione degli anni

,

,

:

trascorsi dal 1990

ESERCIZIO 25-26 PAR. 1.1 - IMPOSTA SUL REDDITO

Se il reddito supera Se il reddito non supera ALIQUOTA 0 7825 10% 7825 31850 782.50+15% 31850 4386.25 + 25% O SSERVAZIONE : e . Esprimere la tassa :

Calcolare

ESERCIZIO 27 PAR. 1.1 Domanda di piatti in funzione del prezzo

Calcolare il numero di piatti se

:

Calcolare il numero di piatti se gratuiti:

:

FUNZIONI LINEARI: Forma Funzionale Forma di Equazione E SE M P IO :

PAR A ME TRO

:

intercetta con asse delle ordinate

se PAR A ME TRO

:

se aumento la allora la funzione varia da

a

VARIAZIONE DELLA

QUANDO

AUMENTA DI

1

E se passo da Se la variabile

a

?

aumenta di

(

) ), allora la variazione di

TASSO DI VARIAZIONE DI

S IGNIFICATO GEOMETRICO : pendenza della retta

(

)

(

)

Esempio:

curva nel piano

.

O SS E RVAZION E : Equazione generale di una retta

Esempio: pendenza

Esempio:

EQUAZIONE DI UNA RETTA:

R ETTA P E R

R ETTA PE R

E PE N DE N ZA

E

Esercizio: e pendenza 2.

Esercizio: Dati i punti

e

, trovare la pendenza della retta passante per

MODELLI LINEARI: Funzione lineare di costo: Una compagnia di taxi pratica la seguente tariffa: - 1 euro per salire; - 2 euro per ogni Km.

P RO BLEMA : Trovare il costo totale

di un viaggio di

Km

Costo viaggio di 1 Km: Costo viaggio di 2 Km: Costo viaggio di 3 Km:

Costo viaggio di

Km:

forma funzionale

euro

Una

funzione di costo

come funzione

Funzione lineare di costo costo marginale lineare!) Il

in un modello

ricavo

Funzione ricavo lineare ricavo marginale (prezzo unitario di vendita, in un modello lineare!)

Il (se negativo, si ha una perdita).

Punto di pareggio (break-even): quale si ha la

condizione di pareggio

, ovvero

E SEMPIO : Costo giornaliero della produzione di

maglie:

. Ricavo dalla vendita di

maglie:

.

.

- Si noti che

.

- Il

pareggio si ha quando:

che fornisce

.

,

E SE M P IO : Produzione giornaliera di frigoriferi numero frigoriferi

Costo

Ricavare la funzione lineare di costo:

funzione ricavo

a

Quanti frigoriferi devono essere venduti per andare in pareggio?

Quale tra i due valori della quota

euro?

E se la quota fosse di 2000 euro?

i 350

Q UANTO E`

AFFIDABILE IL MODELLO LINEARE ?

600 euro 500 euro 400 euro 300 euro

10 16 30 70

I MODELLI LINEARI SONO AFFIDABILI PER VALORI DELLA VARIABILE CHE SI MANTENGONO ENTRO PICCOLI INTERVALLI

Funzione di domanda

di

un bene come funzione del prezzo unitario

F U NZIONE

L INEA R E

DI

DOM AN DA

misura la variazione di domanda corrispondente ad una variazione unitaria del prezzo

E SE M P IO : domanda giornaliera di maglie

Per quale prezzo la domanda risulta nulla?

E SEMPIO seguenti dati

Prezzo per lattina (euro)

0.50

0.75

Domanda settimanale

400

350

Offerta settimanale

300

500

Funzione lineare di domanda:

Funzione lineare di offerta:

Prezzo di equilibrio:

Domanda di equilibrio:

Variazioni nel tempo Vendite mondiali dei dispositivi portatili per la navigazione in rete Anno

2007

2015

1. Modello lineare di crescita delle vendite in funzione di trascorsi dal 2007);

(anni

Variazione lineare nel tempo:

tasso di variazione di

( E SEMPI : vendite annue di un videogioco

Modelli lineari generici: tasso di variazione di (variazione di valore di

corrispondente a variazioni unitarie di

corrispondente a

)

SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI E MATRICI:

(1)

.

EQUAZION E LIN E ARE IN D UE IN COGN ITE

e

.

In generale, si ha: Una SO LUZION E

(

). C OP PIA

di numeri

tale che

Quante sono ? IN FINITE! Corrispondono ai punti di una RE TTA .

Consideriamo ora il S IS TE M A di equazioni lineari

R IS OLV E R E

C ER CA R E QUE L L E COP P IE EQUAZION I .

Per S OS TITUZI ONE :

Per R IDU ZION E :

questo sistema? C HE SOD D IS FAN O E NTR AM B E L E

SIS TE M I DI EQUAZION I

della forma

2 eq.ni 2 incognite

3 eq.ni 3 incognite

2 eq.ni 3 incognite

NB: L A

TE OR IA C HE VE DR E MO VAL E S OLO PE R SIS TEM I D I E QUA ZION I

L INEA R I !

E SEMPI : Sistemi non lineari:

Sistemi lineari:

In generale, un sistema di

Una SO LUZIONE

equazioni in

-upla di numeri utte le

equazioni.

POSSIBILE

DETERMINATO (1 sola soluzione)

SISTEMA IMPOSSIBILE (non ammette soluzioni)

Non sempre i sistemi lineari ammettono una e una sola soluzione. E SE M P IO : Sistema impossibile

ALGORITMO DI GAUSS-JORDAN o DI RIDUZIONE PER RIGHE:

Partendo da un sistema

(

)

Si associa la MATRICE ( COMPLETA ) DEI COEFFICIENTI

Mediante

opportune operazioni, si ottiene una nuova matrice (S I

SPER A !)

cui corrisponde il sistema

SOLUZIONE

Quali sono le operazioni

TIPO 1

Sostituire

con

ammissibili ? (

)

Es.

TIPO 2

Sostituire a

TIPO 3

Scambiare tra loro due righe

i corrispondono ad analoghe operazioni sulle equazioni del sistema, che LASCIANO INALTERATE le soluzioni del sistema stesso.

E SE M P IO :

E SE R CIZIO 15 PAR . 2.2

E SE R CIZIO 24 PAR . 2.1 Dip. Matematica offre 2 corsi: Matematica Discreta Calcolo Ogni classe di MD ha 60 studenti Ogni classe di C ha 50 studenti N.ro totale di classi: 110 N. ro totale di studenti: 6000

Quante classi di ciascun corso devono essere offerte?

S C ELTA INC OGNITE :

I M P OS TA ZION E D E LL E EQUA ZIONI :

S OLU ZION E :

E SERCIZIO 29 PAR . 2.1 TITOLI Prezzo per az. ottobre Apple $105 Microsoft $21 Valore investimento

ottobre $3570

Quante azioni C e

novembre $3250 sono in portafoglio?

S CELTA INCOGNITE : I MPOSTAZIONE DELLE EQUAZIONI : S OLUZIONE :

Prezzo per az. novembre $95 $10

E SERCIZIO 8 PAR . 2.2 (S ISTEMA INCOMPATIBILE )

E SERCIZIO 19 PAR . 2.2 (I NFINITE SOLUZIONI )

E SE M P IO 10 PAG . 86

E SE R CIZIO 11 PAR . 2.2

ESERCIZIO

E SE R CIZIO 25 PAR . 2.2

ESERCIZIO 13 PAR. 2.3 Produttori di occhiali: Cole Vision, Lens Crafters, Pearl Vision. Nel 1994 detenevano assieme il 66% del mercato. Quota di mercato di CV+LC era il doppio della quota di PV. Quota di mercato di LC era del 2% inferiore alla quota di CV+PV. Quale era la quota di mercato di ciascuno?

E SERCIZIO 26 PAR . 2.3 Magazzini: Brooklin, Queens Negozi: Long Island, Manhattan Nel magazzino B: 1000 libri Nel magazzino Q: 2000 libri Ciascun negozio ordina 1500 libri. Costo di trasporto: da B a M 1$ per libro da Q a M 2$ per libro da B a LI 5$ per libro da Q a LI 4$ per libro deve spostare i libri? possibile?

me

ALGEBRA MATRICIALE ED APPLICAZIONI Una M ATR ICE

di ordine

numeri reali composta da

righe e

colonne.

E SEMPI :

elemento sulla

riga e

colonna

MATRICE O VETTORE RIGA

MATRICE O VETTORE COLONNA

. . .

Se

Se

la matrice si dice QUADRATA.

:

Quando due matrici stesse dimensioni

SCALARE

e

sono UGUALI ? ed

;

elementi corrispondenti uguali.

(

(

)

E SE M P IO 1: Siano

Per quali valori di

ed

si ha

O SS E RVAZION E : Consideriamo

?

o

. Questi vettori

,

Somma e differenza tra matrici Siano

e

matrici

matrici di ordine aventi

E SE M P IO :

O SS E RVAZION E : Sia

Posso calcolare

?

. Allora

e

sono le

Prodotto per uno scalare (= n.ro reale) Data

matrice di ordine

e

, la matrice

Combinazione lineare di matrici Date

,

, calcolare:

e

Notazioni:

Es.

M ATRIC E N UL L A

AS S OCIATIVA C OM MU TATIVA EL EME N TO N EU TRO

Trasposizione TR A S POSTA D I

E SE M P I :

.

Prodotto righe per colonne (prodotto interno) E SE M P IO : Acquisto 2 CD al prezzo di 3 euro ciascuno e 4 dischi a 5 euro ciascuno. Calcolare il costo totale.

C OS TO

=

Posto

V E TTORE DE I P R E ZZI

do che rappresenti il costo totale C OS TO

=

D EFIN IZION E : Siano ordine

. e

. Il prodotto

E SE M P IO 2:

come equazione matriciale.

Prodotto righe per colonne: caso generale di ordine di ordine

Riga

E SEMPI :

di

Colonna

di

E SE R CIZI :

O SS E RVAZION E : In generale

.

:

.

se

.

.

E SEMPI :

:

;

:

Data

:

, calcolare

O SS E RVAZION E e

,

matrice qualsiasi

.

.

Elemento neutro:

Trasposizione:

Matrice nulla:

Matrice potenza: data , ...

quadrata, si ha

,

Forma matriciale di un sistema Date

come sistema di equazioni lineari.

: M ATR ICE DE I C OE FFIC IE NTI : VE TTO RE DE L L E IN COGN ITE : VE TTO RE D E I TE RM INI NOTI : M ATR ICE COM PL ETA D E I COE FFICIE N TI

E SEMPI :

Come si determina la matrice inversa? Posto

matrice incognita, devo determinare

in modo che

Le due colonne di

soddisfano:

, posso risolverli simultaneamente:

E SE M P IO

.

Risoluzione di un sistema lineare con matrice inversa: quadrata e invertibile

- Quindi, se soluzione

ha una e una sola .

- Se

E SE M P IO : Risolvere mediante il calcolo della matrice inversa il sistema

Data

quadrata e invertibile, si ha

Calcolare, se esiste, la matrice inversa di

D OMA N DE PA R AGRA FO 3.3 PAG . 151-152

n. 67: invertibili.

,

,

, ma

sono

n. 68: M ATRIC E DIAGON AL E

.

e

.

.

n. 69:

.

rispetto ad supponendo

quadrate e invertibili.

,

FUNZIONI: ASPETTI GENERALI Dati

sottoinsiemi di

ad ogni

, una FUN ZIONE

associa un solo

G R AFICO :

E SEMPI :

per

.

.

Def. funzione superiormente limitata se esiste un numero reale

tale che

per ogni

Def. funzione inferiormente limitata se esiste

reale tale che

Def. funzione limitata

per ogni

.

.

FUNZIONI MONOTONE: E SE M P I :

Def. funzione crescente Per ogni

in senso debole

in

senso stretto

Def. funzione decrescente Per ogni

in senso debole

in

senso stretto

E SEMPI :

Def. Massimo relativo (o locale) PU NTO DI M A SS IMO R E LATIVO

ogni

R EL ATIVO.

per .

si dice M A S S IM O R E LATIVO di

E SE R CIZIO

se

.

M INIM O A S S OL UTO

e

MAGGIORANTE ed ESTREMO SUPERIORE: Un numero reale per ogni

M AGGIOR A NTE

per

se

.

ES TR EM O S UP E R IOR E

e lo si indica con

.

O SS E RVAZION E : superiormente limitata. Al contrario, se allora

IN FINITO .

di

FUNZIONI PARI E DISPARI: PA RI

se

con

.

E SE M P IO:

D IS PA R I

E SE M P IO:

se

con

.

FUNZIONE COMPOSTA:

P RO BLE M A :

FU NZIONE D I DOM AN DA C OS TO DI P ROD UZION E

funzione di

D EFIN IZION E : Date C OM P OS TA

di

e

Si scrive anche

e

, si dice FU NZION E

la funzione

.

O SS E RVAZION E : Per poter considerare la composizione basta che sia nel dominio di

,

devono cadere .

E SE M P IO :

E SE M P IO :

,

,

T EOR EM A: Se Tuttavia, una funzione monotona.

E SE M P IO :...