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Hochschule München, FK06, Prof. K. Webers Übungen ModSim (MFM)

LE05 Algorithmische Modellierung

Aufgaben 1. Dynamische Balkenbiegung Die örtlich und zeitlich verteilte Bewegung eines einseitig eingespannten Balkens soll durch das dargestellte Ersatzsystem mit n=3 feder-dämpfer-gekoppelten Massen und drei externen Kräften 𝐹1 … 𝐹3 näherungsweise beschrieben werden. Normierte Zahlenwert sind: 𝑚1 = 𝑚2 = 𝑚 3 =

1

3

𝑐1 = 1; 𝑐2 = 2; 𝑐3 = 3; 𝑟1 = 1; 𝑟2 = 2; 𝑟3 = 3;

Gesucht ist ein Modell in der linearen Zustandsraumform 𝑥󰇗 = 𝐴 𝑥 + 𝐵 𝑢. a. Welche Dimensionen haben hierbei die Matrizen 𝐴 und 𝐵? b. Geben Sie hierfür die Matrizen 𝐴 und 𝐵 mit allen Zahlenwerten an. (keine schrittweise Herleitung aus den Bewegungsgleichungen notwendig) c. Mit der Ausgangsgleichung 𝑦 = 𝐶 𝑥 soll die Auslenkung (Weg) der zweiten Masse 𝑚2 bestimmt werden. Wie lautet die entsprechende Matrix 𝐶 ? 2. Wärmeleitung im langen, dünnen Stab Ein Modell der Wärmeleitung im langen, dünnen Stab soll mittels algorithmischer Modellierung bestimmt werden. a. Geben Sie ein physikalisches Modell mit der lokalen Temperatur als Zustandsgröße an für den i-ten Massenpunkt. Dieser steht nur mit einem „linken und einem rechten Nachbarn“, sowie mit der Umgebungstemperatur 𝑇𝑈 im Kontakt. Gegeben sind die lokalen Parameter Wärmeleitfähigkeiten 𝜆 und Wärmekapazität 𝐶. Alle Wärmeströme können als linear von der jeweiligen Temperaturdifferenz angenommen werden, z.B. 𝑞𝑖−1,𝑖 = 𝜆𝑖−1 ∙ (𝑇𝑖−1 − 𝑇𝑖 )

b. Wie lautet das Modell für die Temperatur in den Randelementen, wenn an den Rändern die Temperaturen 𝑇0 und 𝑇𝑅 fest eingeprägt werden? c. Geben Sie das mathematische Modell an für den zeitlichen Verlauf der Temperaturen im „Temperaturvektor“ 𝑥(𝑡) = (𝑇1 (𝑡); 𝑇2 (𝑡); ⋯ ; 𝑇𝑁 (𝑡)). Eingangsgröße ist der Vektor der Rand- und Umgebungstemperaturen 𝑢 = (𝑇0 ; 𝑇U ; 𝑇𝑅 ). Formulieren Sie das Modell nach Möglichkeit in der Form 𝑥󰇗 = 𝐴 𝑥 + 𝐵 𝑢 d. Vereinfachen Sie das Modell für den Fall, dass die Wärmeleitfähigkeit und die Wärmekapazität konstant über der Stablänge sind (𝜆(𝑧) = 𝜆; 𝜆𝑈 (𝑧) = 𝜆𝑈 ; 𝐶 (𝑧) = 𝐶). e. Erstellen Sie ein Programm zur algorithmischen Modellierung des Temperaturverlaufs im langen, dünnen Stab und überprüfen Sie das Ergebnis auf Plausibilität.

© HM-FK06 Prof.Webers 2018; Weitergabe und Kopie nur mit ausdrücklicher Genehmigung; R WS18/19

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Übungen ModSim (MFM)

LE05, Algorithmische Modellierung

Lösungen Aufgabe 1) a) zu berücksichtigen sind 3*Weg und 3*Geschwindigkeit -> 6 Zustandsgrößen; 3 Eingangsgrößen → dim(A)=6x6; dim(B)=6x3

b) vgl. Skript (Stand>SoSe2017): 𝐴 = [ 𝑚1 𝑀=[

𝑚2

𝑚3

0 𝐼 ] −1 −𝑀 𝐾 −𝑀−1 𝐷

𝑟1 + 𝑟2 ] ; 𝐷 = [ −𝑟2

mit den Zahlenwerten: 1 1 1 −1 𝑀= [ ] → 𝑀 = 3 [ ] 1 1 3 1 1 3 3 −2 𝐷 = [−2 5 −3 ] → −𝑀 −1 𝐷 = 3 ∙ 𝐼 ∙ [ −2 −3 3 3 3 −2 𝐾 = [−2 5 −3 ] → −𝑀−1 𝐾 = 3 ∙ 𝐼 ∙ [ −2 −3 3

−𝑟2 𝑟2 + 𝑟3 −𝑟3

𝐵=[

0 ] 𝑀−1

𝑐1 + 𝑐2 −𝑟3 ] ; 𝐾 = [ −𝑐2 𝑟3

−2 9 5 −3 ] = [ −6 −3 3 −2 9 5 −3 ] = [ −6 −3 3

0 0 0 0 0 0 0 𝐼 0 0 0 ]= 𝐴=[ 9 −6 0 −𝑀−1 𝐾 −𝑀−1 𝐷 −6 15 −9 [ 0 −9 9

−6 15 −9 ] −9 9 −6 15 −9 ] −9 9

−𝑐2 𝑐2 + 𝑐3 −𝑐3

1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 𝐵 = [ −1 ] = 9 −6 0 𝑀 −6 15 −9 0 −9 9 ]

c) Anordnung der Zustände in dieser Darstellung, vgl. Skript 𝜂 𝑥1 [𝑥 ] = [ 𝜂󰇗 ] → 𝑠2 = 𝑥2 𝑦 = 𝑠2 = (0 1 0 0 0 0) ∙ 𝑥 = 𝐶 ∙ 𝑥 2

0 0 0 3 0 [0

−𝑐3 ] 𝑐3

0 0 0 0 3 0

0 0 0 0 0 3]

Aufgabe 2) a) 𝑞𝑖 = 𝑞𝑖−1,𝑖 − 𝑞𝑖,𝑈 − 𝑞𝑖,𝑖+1 = 𝜆𝑖−1 (𝑇𝑖−1 − 𝑇𝑖 ) − 𝜆𝑖,𝑈 (𝑇𝑖 − 𝑇𝑈 ) − 𝜆𝑖 (𝑇𝑖 − 𝑇𝑖+1 ) 1 < 𝑖 < 𝑁 → 𝑞𝑖 = 𝜆𝑖−1 𝑇𝑖−1 − (𝜆𝑖−1 + 𝜆𝑖,𝑈 + 𝜆𝑖 )𝑇𝑖 + 𝜆𝑖 𝑇𝑖+1 + 𝜆𝑖,𝑈 𝑇𝑈 = 𝐶𝑖 ∙ 𝑇󰇗𝑖 (kapazititves Gesetz) b) an den Rändern: 𝐶1 ∙ 𝑇󰇗1 = 𝜆0 𝑇0 − (𝜆0 + 𝜆1,𝑈 + 𝜆1 )𝑇1 + 𝜆1 𝑇2 + 𝜆1,𝑈 𝑇𝑈 (formal gleich, aber 𝑇0 ist Eingangsgröße, kein Zustand) 𝐶𝑁 ∙ 𝑇󰇗𝑁 = 𝜆𝑁 𝑇𝑁−1 − (𝜆𝑁−1 + 𝜆𝑁,𝑈 + 𝜆𝑁 )𝑇𝑁 + 𝜆 𝑁 𝑇𝑅 + 𝜆𝑁,𝑈 𝑇𝑈 (𝑇𝑅 ist Eingangsgröße) c) −(𝜆0 + 𝜆1,𝑈 + 𝜆1 ) 𝜆1 𝜆2 𝜆1 −(𝜆1 + 𝜆2,𝑈 + 𝜆2 ) 𝐴 = 𝐶 −1 ∙ ⋱ 𝜆𝑁−1 𝜆2 𝜆𝑁−1 −(𝜆𝑁−1 + 𝜆𝑁,𝑈 + 𝜆𝑁 )) ( 𝜆0 𝜆1,𝑈 𝜆2,𝑈 ⋮ ; 𝐶 ≔ 𝑑𝑖𝑎𝑔(𝐶𝑖 ) 𝐵 = 𝐶 −1 ∙ 𝜆𝑁−1,𝑈 𝜆𝑁,𝑈 𝜆𝑁 ) (

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