modul program linear.pdf PDF

Preview

Summary

Pernahkan kalian pergi ke toko sepatu? Lalu kalian berpikir bagaimana pemilik toko sepatu tersebut mendapatkan untung terbesar dengan kapasitas luas tokonya tersebut? Maka dalam menyelesaikan malasah tersebut, kita dapat menggunakan konsep Program Linear. Program linear merupakan bagian dari matemat...

Description

Pernahkan kalian pergi ke toko sepatu?

Lalu

bagaimana tersebut terbesar

kalian

pemilik

berpikir

toko

mendapatkan dengan

sepatu untung

kapasitas

luas

tokonya tersebut?

Maka malasah

dalam

menyelesaikan

tersebut,

menggunakan

kita

konsep

dapat

Program

Linear.

Program linear merupakan bagian dari matematika terapan dengan model matematika yang terdiri atas persamaan-persamaan atau pertidaksamaan- pertidaksamaan linear untuk memecahkan berbagai permasalahan sehari-hari.

Program Linear

STANDAR KOMPETENSI: 2. Menyelesaikan masalah program linear. KOMPETENSI DASAR: 2.1. Menentukan daerah penyelesaian dari Sistem Persaman Linear Dua Variabel. 2.2. Merancang model matematika. 2.3. Menentukan nilai optimum dari program linear. 2.4. Menyelesaikan masalah program linear.

Page 1

YUK, BACA “THE DAILY NEWS” !

Manfaat Program Linear dalam Dunia Wirausaha Jakarta (30/10/16)-

Persaingan di dalam dunia wirausaha saat ini semakin meningkat. Harapan setiap wirausahawan pastinya adalah mendapatkan keuntungan yang optimal, maka wirausahawan tersebut haruslah mempunyai perencanaan yang

baik. Misalkan dengan mengoptimalkan sumber daya yang tersedia. Maka program linear memiliki peran yang besar dalam membantu wirausahawan untuk mendapatkan keuntungan yang optimal.

.

PETA KONSEP SPLDV dan Daerah Penyelesaiannya

Merancang Model Matematika

Menentukan Nilai Optimum

Aplikasi Program Linear

Program Linear

Page 2

A. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel dan Daerah Penyelesaiannya. Dalam program linear ini kita akan belajar mengenai sistem

persamaan

linear

dua

variabel.

Namun

sebelumnya, masihkan kalian ingat tentang sistem persamaan linear dua variabel.

Coba pilih mana yang termasuk persamaan linear dua variabel! Berikan tanda silang (x) untuk setiap bubble yang bukan bentuk persamaan linear dua variabel!

√

Program Linear

Tujuaan Pembelajaran: 2.1.1. Siswa dapat menuliskan pengertian Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel melalui Flayer’s model. 2.1.2. Siswa dapat menuliskan ciri-ciri Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel melalui Falyer’s model. 2.1.3. Siswa dapat membuat contoh dan bukan contoh Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel. 2.1.3. Siswa dapat menggambarkan daerah penyelsaian Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel.

√

Page 3

 Pembahasan review: dan

bukan persamaan linear dua variabel karena jumlah variabel bukan dua bukan persamaan linear dua variabel karena digunakan tanda ketidaksamaan

Selain daripada itu, semua adalah bentuk persamaan linear dua variabel.

Suatu garis dalam bidang koordinat dinyatakan dalam bentuk persamaan: , di mana

dan

variabel

dan

koefisien konstanta

Maka dalam persamaan n variabel dapat dituliskan bahwa:

di mana

. . .,

variabel

. . .,

koefisien konstanta

Jika terdapat lebih dari satu persamaan linear dua variabel maka persamaan-persamaan tersebut disebut sistem persamaan linear dua variabel. Contohnya merupakan dua persamaan yang membentuk suatu sistem linear dua variabel. Diberikan sebuah contoh pertidaksamaan linear dua variabel yaitu

. Menurut

kalian apa perbedaan persamaan dan pertidaksamaan linear dua variabel? Dalam sistem pertidaksaman linear dua variabel maka tidak menggunakan tanda sama dengan “=”, tetapi menggunakan tanda-tanda ketidaksamaan “  Program Linear

.

adalah konstant Page 4

Sehingga dapat dituliskan bahwa bentuk umum pertidaksamaan linear dua variabel yaitu: 

di mana;



dan

adalah variabel,



dan

adalah koefisien



c adalah konstanta

Ingat bahwa sistem persamaan terbentuk dari beberapa persamaan, Maka sistem pertidaksamaan linear dua variabel terdiri atas dua atau lebih pertidaksamaan linear dua variabel dengan variabel-variabel yang sama.

PEMAHAMAN KONSEP Tulislah pengetian, dan ciri-ciri pertidaksaman linear dua variabel dengan kata-katamu sendiri. Lalu buatlah contoh, dan bukan contoh dari pertidaksamaan linear dua variabel” di dalam Frayer’s Model di bawah ini! Pengertian

Contoh Pe p Program Linear

Ciri-ciri

Bukan contoh Page 5

Bagaimana kita menggambar daerah penyelesaian pertidaksamaan linear dua variabel???

Ada dua tahap yaitu menggambar grafik dan menentukan daerah penyelesaian. Berikut ini langkah-langkahnya: A. Menggambar grafik: 1. Tentukan dua titik potong: - Cari titik potong terhadap sumbu ,

maka akan menghasilkan titik

- Cari titik potong terhadap sumbu ,

koordinat (

)

(

)

2. Gambarlah garis melalui kedua titik koordinat tersebut. B. Menentukan daerah penyelesaian 1. Subtitusikan (0,0) ke dalam variabel x dan y dalam pertidaksamaan 2. Arsir daerah himpunan dengan ketentuan: -

Jika pertidaksamaan bernilai benar maka arsir daerah himpunan yang melewati titik P (0,0).

- Jika pertidaksamaan bernilai salah maka arsir daerah himpunan yang tidak melewati titik P (0,0).

CONTOH A. Gambarlah daerah penyelesaian dari

!

Jawab: 1. Menggambar grafik Tentukan dua titik potong: a. Cari titik potong terhadap sumbu , 3

( )

Titik potong dengan sumbu

adalah (5,0)

b. Cari titik potong terhadap sumbu , ( ) Program Linear

Page 6

Titik potong dengan sumbu

adalah (0,3) y

Atau juga dapat disajikan dalam bentuk tabel bahwa: (0,3) x

y

Titik koordinat (x,y)

5

0

(5,0)

0

3

(0,3)

P(0,0)

(5,0)

Menentukan daerah penyelesaian a. Substitusikan (0,0), sehingga ( )

( ) (pertidaksamaan bernilai benar)

Sehingga daerah himpunan memuat titik P(0,0) b. Arsir daerah himpunannya yang melewati titik P(0,0). Maka diperoleh daerah penyelesaianya seperti berikut: y

(0,3)

0

B. Gambarlah daerah penyelesaian dari

Perhatikan untuk daerah penyelesaian berada melewati titik P(0,0). - Panah menunjukkan daerah penyelesaian berada di bawah garis. - Daerah arsir merupakan daerah penyelesaian

(5,0)

x

!

Jawab:

Program Linear

Page 7

x

1. Menggambar grafik  Tentukan dua titik potong: a. Cari titik potong terhadap sumbu , 2

( )

Titik potong dengan sumbu

adalah (6,0)

b. Cari titik potong terhadap sumbu , ( )

Titik potong dengan sumbu

adalah (0,-2)

Atau juga dapat disajikan dalam bentuk tabel bahwa (6,0) x

y

Titik koordinat (x,y)

6

0

(6,0)

0

-2

(0,-2)

P(0,0) (0,-2)

Menentukan daerah penyelesaian a. Substitusikan (0,0), sehingga 2( )

( ) (pertidaksamaan bernilai salah)

Sehingga daerah himpunan tidak memuat titik P(0,0) b. Arsir daerah himpunannya yang melewati titik P(0,0).

Maka diperoleh daerah penyelesaiannya seperti berikut:

0

(6,0)

0,-2) (

Program Linear

Page 8

Perhatikan untuk daerah penyelesaian melewati titik P(0,0). - Panah menunjukkan daerah penyelesaian berada di atas garis. - Daerah arsir merupakan daerah penyelesaian

LATIHAN SOAL 1 A. Identifikasi pernyataan di bawah ini! berikan keterangan “B” untuk jawaban benar dan “S” untuk jawaban salah! merupakan bentuk sistem pertidaksamaan linear dua varibel. (…)

1. 2. 3.

bukan merupakan pertidaksamaan linear dua variabel. (

4.

(

) bentuk pertidaksamaan linear dua variabel. merupakan pertidaksamaan linear.

5.

bukan merupakan pertidaksamaan linear dua variabel. merupakan pertidaksamaan linear dua variabel.

6. 7.

)

√

8. 9. 10.

merupakan pertidaksamaan linear. merupakan sistem pertidaksamaan linear. merupakan sistem pertidaksamaan linear. merupakan sistem pertidaksamaan linear.

(…) (…) (…) (…) (…) (…) (…) (…) (…)

B. Gambarlah daerah penyelesaian pertidaksamaan di bawah ini! 1.

4. 5.

Program Linear

Page 9

C. Perhatikan gambar di bawah ini! Tentukan pertidaksamaan linear dua variabel yang memenuhi! 1.

-12

0

-5

2.

0

8

-2

3. 4

0

Program Linear

Page 10

4.

0

5.

x

y 5

7

x

Setelah kita dapat menggambarkan daerah pertidaksamaan linear, lalu.

Coba

pikirkan,

bagaimana

kita

menggambar

daerah

penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel ???

Perhatikan contoh berikut ini! Soal:

Program Linear

Page 11

Gambarlah grafik himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan dengan dua variabel berikut ini untuk Untuk Pada sumbu y:

Pada sumbu

( )

x

0

( )

y

Titik koordinat (x,y)

0

(

-5

(0,-5)

Substitusikan (0,0), sehingga 4( )

,0)

( ) (pertidaksamaan bernilai benar)

Sehingga daerah himpunan memuat titik P(0,0) Arsir daerah himpunannya yang melewati titik P(0,0).

Maka diperoleh daerah penyelesaiannya seperti berikut: y

0

x

-5 Program Linear

Page 12

Untuk Karena tidak terdapat variabel y, maka garis yang terbentuk bukan merupakan ) dan (

pertemuan antara titik koordinat (

). Namun dapat diperoleh dengan y

adalah konstan (tidak berubah) yang akan menggambarkan garis lurus horisontal, di mana titik

Maka daerah penyelesaian y

0

x

Untuk Karena tidak terdapat variabel x, maka garis yang terbentuk bukan merupakan ) dan (

pertemuan antara titik koordinat (

). Namun dapat diperoleh dengan

x adalah konstan (tidak berubah) yang akan menggambarkan garis lurus vertikal, di mana titik

Maka daerah penyelesaian untuk

:

y

0

x

-4 Berdasarkan daerah penyelesaian pada

, jika

dijadikan menjadi satu dalam satu bidang cartesius maka daerah penyelesaiannya akan membentuk suatu irisan. Nah, irisan inilah yang disebut sebagai daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan.

Program Linear

Suatu daerah yang memenuhi semua pertidaksamaan disebut sebagai daerah irisan.

Page 13

Coba kita gabungkan ketiga daerah penyelesaian tersebut! y

x

merupakan daerah irisan

Maka berdasarkan gambar gabungan ketiganya akan terlihat sebuah irisan. y

0

x

-4

Daerah di atas adalah daerah penyelesaian

Program Linear

untuk

Page 14

Apakah kalian sudah memahaminya? Agar kalian memahami konsep dalam membuat daerah penyelesaian pertidaksamaan linear dua variabel, maka kerjakanlah kegiatan siswa berikut!

KEGIATAN SISWA Isilah setiap titik-titik dengan jawaban yang tepat. Lalu gambarlah garis beserta daerah penyelesaian pada bidang cartesius yang telah disediakan!

Pertanyaan: Jika terdapat sistem pertidaksamaan yaitu

,

Mari kita mencoba menggambar satu-persatu setiap pertidaksamaan! untuk (Gunakan prinsip seperti langkah yang telah dipelajari sebelumnya agar mendapatkan titik koordinat (x,0) dan (0,y)!)

Pada sumbu y:

Pada sumbu

( )

( )

x

y

Titik koordinat (x,y)

…

0

(…,…)

0

…

(…,…)

Ambil titik P(0,0) dan subtitusikan ke …

30

benar/salah?

Karena nilai P(0,0) bernilai … maka daerah penyelesaian …. daerah penyelesaian untuk Program Linear

: Page 15

(Gambar daerah penyelesaiannya!) y

0

x

untuk (Gunakan prinsip seperti langkah yang telah dipelajari sebelumnya agar mendapatkan titik koordinat (x,0) dan (0,y)!)

Pada sumbu y:

Pada sumbu

( )

( )

x

y

Titik koordinat (x,y)

…

0

(…,…)

0

…

(…,…)

Ambil titik P(0,0) dan subtitusikan ke …

4

benar/salah?

Karena nilai P(0,0) bernilai … maka daerah penyelesaian …. daerah penyelesaian untuk

:

(Gambar daerah penyelesaiannya!)

Program Linear

Page 16

Untuk y

0

x

Untuk (Gambar daerah penyelesaiannya!) Maka daerah penyelesaian

Program Linear

sebagai berikut:

Page 17

Berdasarkan ketiga daerah penyelesaian dari

,

jika dijadikan menjadi satu dalam satu bidang cartesius maka daerah penyelesaiannya akan membentuk suatu irisan. Nah, irisan inilah yang disebut sebagai daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan. Coba gambarkan irisan dari ketiga daerah penyelesaian tersebut!

Program Linear

Page 18

Setelah kalian dapat menggambarkan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan. Maka bagaimana cara kita menentukan sistem pertidaksamaan linear dua variabel dari sebuah lukisan daerah penyelesaian???

Perlu diingat bahwa sebuah lukisan daerah penyelesaian mempunyai garis pembatas. Garis pembatasan ini merupakan garis lurus dengan yang terhubung oleh dua titik koordinat. Jika kita misalkan dua titik tersebut itu adalah A dan B, maka titik A dan B dapat dituliskan sebagai (

) dan (

).

Ingat kembali penentuan persamaan garis lurus sebagai berikut:

1. Persamaan garis lurus yang memotong sumbu koordinat di titik (0, ) dan ( adalah:

)

y

0

x

2. Persamaan garis lurus yang melalui dua titik yaitu

(

) dan

(

)

ditentukan oleh. 𝑦 𝑦

𝑦 𝑦

𝑥 𝑥

𝑥 𝑥

Dalam penentuan sistem pertidaksamaan linear dua variabel dari lukisan daerah penyelesaian dapat dilakukan dengan langkah-langkah berikut ini: i. Tentukan garis batas dari lukisan. ii. Substitukan nilai (0,0) ke dalam variabel x dan y. Jika benilai benar maka daerah terarsir melewati daerah P(0,0). Jika bernilai salah maka daerah arsir tidak melewati P(0,0). Program Linear

Page 19

CONTOH SOAL

y

2

1

x -1

0

2

Berdasarkan lukisan daerah penyelesaian di atas terdapat dua garis: Garis I dihubungkan oleh titik koordinat (-1,0) dan (0,1), sedangkan garis II dihungkan dengan tiitk koordinat (2,0) dan (0,2). Mari tinjau garis I:

Mari tinjau garis II

(-1,0) dan (0,1)

(2,0) dan (0,2)

Maka persamaan garis lurusnya:

Maka persamaan garis lurusnya:

(

)

( )

(

)

( )

Berdasarkan luksian penyelesaian pertidaksaman di atas menunjukkan bahwa daerah penyelesaian menuju atau melewati garis P(0,0). Maka substitusi harus bernilai benar. Substitusi (0,0) ke

Substitusi (0,0) ke ( ) Program Linear

( ) Page 20

Maka dapat dituliskan bahwa pertidaksamaan yang terlukis dalam daerah penyelesaian adalah

dan

Namun perlu diteliti lagi bahwa ada garis batasan lain selain kedua pertidaksamaan tersebut yaitu yang membatasi sumbu Garis tersebut adalah

dan

secara konstan.

.

dan

daerah penyelesaian tersebut terdiri atas pertidaksamaan yaitu dan

.

LATIHAN SOAL 2 A. Gambarlah grafik himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan dengan dua variabel berikut ini! Untuk 1. 2. 3. 4.

dan

5. 6. 7.

21 dan

8. 9.

dan

10.

Program Linear

Page 21

B. Perhatikan gambar di bawah ini dan tentukan pertidaksamaan-pertidaksamaan di setiap daerah penyelesaian! 1.

y

2.

y

3 1 -1 0

-3

0

x

1

x

-3

y

3.

4

2 0

5

x

4.

5. y 2

0

-2

3

10

x

-2

-

0

2

x

-1

-4

Program Linear

Page 22

B. Merancang Model Matematika

Apa itu model Matematika??

Tujuan Tujuan Pembelajara Pembelajaran: Siswa dapat dapat Siswa merancang merancang model model matematika matematika melalui melalui masalah masalah program linear. program linear.

Model matematika adalah hasil interpretasi dalam merumuskan persoalan sehari-hari dalam bentuk kalimat matematika dengan menggunakan persamaan, pertidaksamaan ataupun fungsi. Agar lebih jelasnya, mari kita simak contoh soal di bawah ini!

Contoh 1. Seorang peternak ikan memiliki 20 kolam untuk memelihara ikan koki dan ikan koi . Setiap kolam dapat menampung ikan koki saja sebanyak 24 ekor, atau ikan koi saja sebangak 36 ekor. Jumlah ikan yang direncanakan akan dipelihara tidak lebih dari 600 ekor. Jika banyak kolam berisi ikan koki adalah x, dan banyak kolam berisi ikan koi adalah y, maka model matematika untuk masalah ini adalah … . Program Linear

Page 23

Jawab: Untuk mempermudah gunakan table: Ikan Koki

Ikan Koi

Persediaan 20 600

Jenis Ikan Banyakya

Dari table dapat disusun model matematika sebagai berikut:

(Diberikan tanda pertidaksamaan “

karena diketahui persedian atau kapasistas

maksimumnya)

Karena peternak tersebut akan memelihara ikan koki dan ikan koi, tentu saja ikannya tidak kurang dari nol.

model matematika yang terbentuk yaitu ,

2. Arneta ingin membuat puding buah dan es buah. Untuk membuat pudding buah, ia membutuhkan 3 kg mangga dan 2 kg melon. Sedangkan untuk membuat es buah, ia membutuhkan 1 kg mangga dan 4 kg melon. Jika Arneta me...