Modul Trigonometri Kelas X Matematika Wajib KD 3.7 PDF

Preview

Summary

TRIGONOMETRI Trigonometri adalah cabang matematika yang memperlajari tentang sudut segitiga dan fungsi trigonometri seperti sinus, cosinus, dan tangen. A. Ukuran Sudut Ukuran besar sudut dinyatakan dalam satuan derajat atau satuan radian.  Hubungan satuan derajat dan satuan radian 180° ∗ 1 radian =...

Description

TRIGONOMETRI Trigonometri adalah cabang matematika yang memperlajari tentang sudut segitiga dan fungsi trigonometri seperti sinus, cosinus, dan tangen. A. Ukuran Sudut Ukuran besar sudut dinyatakan dalam satuan derajat atau satuan radian. 

Hubungan satuan derajat dan satuan radian ∗



∗

1 radian =

1° =

180° 𝜋

*ingat

𝜋 radian 180

1 putaran = 360°

Mengubah satuan radian ke bentuk satuan derajat Contoh :

7 180° 7 180° 7 7 𝜋 radian = 𝜋 × = 𝜋× = × 180° = 210° 6 𝜋 6 𝜋 6 6 3 3 180° 3 180° 3 ∗ 𝜋 radian = 𝜋× = π× = × 180° = 36° 15 15 𝜋 15 π 15 5 5 ∗ putaran = × 360° = 300° 6 6 ∗



Mengubah satuan derajat ke bentuk satuan radian Contoh : ∗

∗

∗



∗

𝜋 1 = 𝜋 radian 180 3 𝜋 2 120° = 120 × = 𝜋 radian 3 180 3 3 putaran = × 360° = 270° 4 4 3 𝜋 3 putaran = 270 × = 𝜋 radian 4 180 2 60° = 60 ×

Latihan soal 

1. Ubahlah bentuk berikut ke dalam satuan derajat a. b. c.

19 𝜋 12

11 𝜋 6 2 9

radian radian

putaran

2. Ubahlah bentuk berikut ke dalam satuan radian a. 135°

b. 240°

3. Diketahui sudut 𝐴 =

2 6

5 4

putaran dan sudut 𝐵 = 𝜋 radian. Hasil penjumlahan kedua sudut

tersebut adalah .... (345°)

B. Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku Dari tiga besaran panjang sisi segitiga siku-siku, dapat ditentukan enam buah perbandingan, yang sering dikenal dengan “Perbandingan Trigonometri” sinus α =

𝑏 𝑐 𝑎 tangen α = 𝑏

cosinus α =

𝑐

𝑎

∟

cosecan 𝛼 =

𝛼

𝑏

𝑎 𝑐

secan 𝛼 =

𝑐 𝑏

*perlu dingat

depan miring

tangen α =

depan samping

cosinus α =

𝑐 𝑎

cotangen 𝛼 =

sinus α =

𝑏 𝑎

samping miring

Pada segitiga siku-siku berlaku rumus Phytagoras, yaitu :

𝑎

𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2

𝑐 ∟

𝑎2 = 𝑐 2 − 𝑏 2 𝑏 2 = 𝑐 2 − 𝑎2

𝛼

𝑏

Contoh soal #1 : Diketahui segitiga KLM siku-siku di L dan sin M =

Penyelesaian : sin M = 𝐾 8 𝐿

8 17

=

depan miring

15

. Nilai dari cos M adalah ...

, maka sisi di depan sudut 𝑴 = 𝟖 dan sisi miring = 17 Dari gambar di samping diperoleh : 𝐿𝑀2 = 𝐾𝑀2 − 𝐾𝐿2 𝐿𝑀2 = 172 − 82

17

∟

8 17

𝑀

Jadi, nilai dari cos M =

𝐿𝑀2 = 289 − 64 = 225 𝐿𝑀 = √225 = 15

samping miring

=

15 17

 Latihan soal #1 3. (Soal PAS tahun 2017 kota Semarang)

1. (Soal PAS tahun 2018 kab. Magelang) Perhatikanlah gambar segitiga siku-siku di

𝑃

bawah ini !

9

𝐴

12

∟

𝐵

𝑄

𝐶

16

Nilai tan R dari gambar di atas adalah ...

Nilai cosec C dari segitiga tersebut adalah ... a. b. c.

4 5

d.

3

e.

5

3 4

b.

5 3

c. 4.

Diketahui ⊿ ABC siku-siku di B. Jika panjang AB

= 6 cm dan BC = 12, maka nilai tan ∠C = ...

a.

d. 2

1 2

b.

e.

2√5 5

c.

a.

4 3

2. (Soal PAS tahun 2017 kota Semarang)

√5 5

𝑅

√5 2

3√7 8

d.

√7 8

e.

3 4

9 8

√7 3

(Soal PAS tahun 2018 kab. Magelang) Diketahui segitiga KLM siku-siku di L. Jika 1

cos K = , maka nilai (sin K . tan K) = ...

a.

b. c.

𝑎2 −1 𝑎2 +1

𝑎

d.

𝑎 𝑎2 +1

e.

𝑎 𝑎2 −1

𝑎2 −1 𝑎

𝑎2 +1 𝑎

Contoh soal #2 :

 Latihan soal #2

Perhatikan gambar berikut !

5. (Soal PAS tahun 2018 kab. Magelang)

2

adalah ...

𝐶

6√3

Jika cos B = , nilai 𝑝 yang memenuhi adalah ... 3

Penyelesaian :

2 3



Diketahui cos B =



Pada gambar, cos B =



....(*) samping miring

dari (*) dan (**) diperoleh : cos 𝐵 = cos 𝐵 2 6√3 = 3 𝑝 𝑝=

6√3 × 3 = 9√3 2

2 3

dan

panjang sisi AB = 2√5 cm, maka panjang sisi AC

∟

𝐵

𝑝

Segitiga ABC siku-siku di B. Jika sin C =

𝐴

=

6√3 𝑝

...(**)

a. 4√10

b. 3√10 c. 2√10 d. 3√5

e. 2√5

*kunci jawaban : 1. E

2. B

3. E

4. D

5. D

C. Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa Berikut merupakan nilai perbandingan trigonometi pada sudut-sudut istimewa. α

0°

cos α

1

csc α

−

ctg α

−

sin α

30° 1 2

0

tan α

1 √3 2 1 √3 3

0

sec α

2

2 √3 3

1

√3

45°

60°

90°

1 √2 2

1 √3 2

1

√3

−

2

−

1 √2 2 √2 √2 1

1 2

2 √3 3 1 √3 3

1 0

1

0

Keterangan : " − " berarti tak terdefinisi/ undefined Contoh soal #1 : Perhatikan gambar berikut ini !

12 𝑐𝑚

𝐴

𝐵

∟

60°

𝐶

Panjang sisi AC adalah ...

Penyelesaian : 𝐴

Perhatikan bahwa :

12 𝑐𝑚



𝐵

∟

? 60°

12 𝐴𝐶 1 12 ⇔ √3 = 2 𝐴𝐶 sin 60° =

𝐶

yang diketahui adalah sisi depan ∠𝑪



yang dicari adalah sisi miring



perlu diingat juga, jika perbandingan trigonometri yang melibatkan depan dan miring adalah sinus

√3 12 = 2 𝐴𝐶 12 . 2 ⇔ 𝐴𝐶 = √3

⇔

⇔ 𝐴𝐶 =

⇔ 𝐴𝐶 =

24

√3

×

√3 √3

24√3 = 8√3 3

Jadi, panjang sisi 𝐴𝐶 = 8√3

Contoh soal #2 : Seseorang yang berjarak 30 m melihat ke puncak sebuah pohon dengan sudut elevasi 𝟑𝟎°. Jika tinggi

pandangan orang tersebut adalah 180 cm, berapakah tinggi pohon tersebut?

Penyelesaian :

𝐴

180 cm = 1,8 m



𝐶

30°

? 𝐵

30 m

*catatan : Sudut elevasi adalah sudut yg dibentuk oleh pandangan pengamat yg mengarah ke atas/

ke

suatu

objek

terhadap bidang horisontal

30 m

Perhatikan segitiga ABC yang terbentuk. Untuk mencari tinggi pohon, pertama perlu dicari dulu panjang BC.



Dalam mencari BC, bisa menggunakan tangen, karena telah diketahui sisi depan ∠𝑨 dan sisi

samping ∠𝑨

tan 30° =

depan 𝐵𝐶 = samping 30

1 𝐵𝐶 √3 = 3 30 1 30 × √3 = 𝐵𝐶 3 30 𝐵𝐶 = √3 3



𝐵𝐶 = 10√3

Tinggi pohon = 𝐵𝐶 + tinggi pandangan pengamat

Tinggi pohon = 10√3 + 1,8

Jadi, tinggi pohon adalah (10√3 + 1,8) m

Contoh soal #3 : Tentukanlah nilai dari (sin2 45° + cos 2 45°) !

Penyelesaian :

sin2 45° + cos 2 45° = (sin 45°)2 + (cos 45°)2 sin2 45°

+

cos 2 45°

2

2

2 2 1 1 2 2 4 √2 √2 = ( √2) + ( √2) = ( ) + ( ) = + = = 1 2 2 4 4 4 2 2

 Latihan soal

5. (UN 2018) Dony berdiri dengan jarak 24 m dari sebuah

1. Perhatikan gambar berikut. 𝐴

𝐵

pohon dan melihat puncak pohon dengan sudut pandang 30°. Jika tinggi Dony diukur dari tanah

30°

∟

sampai ke mata 150 cm, tinggi pohon adalah ... m.

b. 1,5 + 8√3

𝐶

6. Amir berbaring memandang puncak sebuah

2. (UN 2017) menyandarkan

tangga

ke

pohon dengan sudut elevasi 30° dan Beni

dinding

berada tepat 6 m di depan Amir. Jika tinggi

rumahnya untuk mengganti genteng yang

pohon 10 m, berapakah jarak Beni terhadap

bocor. Panjang tangga tersebut adalah 3 m dan

pohon tersebut?

membentuk sudut sebesar 60° dengan tanah.

a. 10

Jarak dasar tangga dengan dinding adalah ... a. 6 m

b. 3√3 m

c. 3√2 m

d. √3 m

7.

Sebuah galah bersandar pada sebuah tembok, jika sudut antara galah dan tembok 60° dan

jarak antara ujung galah bawah dengan tembok

b. 8√3

d. 24√3

e. 36√3

4. Seorang anak dengan tinggi 120 cm menaikkan layang-layang di sebuah lapangan. Jika sudut yang dibentuk oleh benang layang-layang dengan arah mendatar adalah 45°, sedangkan panjang benang tadi adalah 12 meter, jarak layang–layang tersebut dari tanah adalah ... m a. 6

b. 6√2

c. 6√2 + 1,2

d. 6√2 + 120

e. 12√2

e. 10√3 + 6

c. 10√3

d. 10√3 − 6

(Soal PAS tahun 2017 kab Magelang) sin 60° + cos 30° + tan 45° = sec 60° × cosec 30°

a. √3 + 1 b. √2 + 1 c.

12 m, maka panjang galah ... m. c. 24

b. 10√2

e. 1,5 m

3. (Soal PAS tahun 2017 kota Semarang)

a. 8

e. 9,5

c. 13,5

Tentukanlah panjang sisi AB dan panjang sisi BC.

Eko

d. 1,5 + 8√2

a. 1,5 + 12√3

1 2

d. e.

(√3 + 1)

1 (√2 + 1) 4

1 (√3 + 4

1)

*kunci jawaban : 1a. 4√3 4. C

1b. 4 5. B

2. E 6. D

3. B 7. E...