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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL SAN NICOLÁS Área: ESTABILIDAD Docente: Ing. Neoren Germán FRANCO

MOMENTO ESTÁTICO DE UNA FUERZA O MOMENTO DE 1er ORDEN Se define como momento estático de una fuerza respecto a un punto “o”, al producto de la intensidad de la fuerza “P”, por la distancia normal “d” entre el punto y la recta de acción de la fuerza.

M

O P

 P. d

Cuyas unidades en el sistema internacional son:

M  N .m O P

Pues derivan de: d  m P  N Como vemos se denomina momento estático “de primer orden” debido a que la distancia se encuentra elevada a la primera potencia En el correr de la asignatura veremos que, si la distancia esta elevada al cuadrado o tenemos el producto de dos distancias, nos encontramos ante Momentos de 2do orden, que llamaremos: Momento de inercia y Momento centrifugo, respectivamente. La interpretación física del momento estático de primer orden es la tendencia al giro de la fuerza alrededor del punto. El momento estático tiende a producir un giro del cuerpo rígido alrededor del punto “o”.

Signo del momento Al momento estático le corresponde un signo que definiremos a partir del sentido de giro que tiende a imprimir al cuerpo rígido.

Salvo que se indique lo contrario, vemos que si la rotación es anti horaria, caso M2, el momento es positivo; si es horaria, caso M1 el momento es negativo. Los momentos son valores escalares, por lo que siempre deben tomarse con su signo. Rev.c/2011

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Momento Estático de una Fuerza

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Representación vectorial del momento estático de una fuerza. Dada una fuerza “F” y un punto o centro de momentos “o” en el espacio, vemos que ambos elementos determinan un plano (a). Evidentemente “F” y “o” pertenecen al plano. El momento estático de la fuerza “F” respecto a un punto “o” se representa mediante un vector perpendicular al plano que tiene las siguientes características:    

Punto de aplicación: en el centro de momento por lo que es un vector aplicado. Intensidad: igual al valor numérico del momento F.d Dirección: normal al plano (α) Sentido: de acuerdo al avance del tirabuzón o tornillo rosca derecha.

Triángulo de momentos Si unimos origen y extremo del vector representativo de la fuerza F con el centro de momentos “O”, se forma el triángulo oeO.

o = origen de F e = extremo de F O = Centro de momentos

Observemos que el valor numérico del momento es:

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O F

 F .d

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Pero realizando un análisis geométrico, se entiende que si consideramos “F” como la base del triángulo; y “d” como como la altura del mismo; su área está dada por: Área oeˆO 

F .d 2

Reemplazando las ecuaciones anteriores tenemos que el momento estático está dado por dos veces el área del triángulo oêO (llamado triángulo de momentos).

M

O F

 F . d  2 . área oeˆO

Teorema de los momentos o Teorema de VARIGNON Sean P1 y P2 dos fuerzas dadas cualesquiera, coincidentes en el punto A, cuya resultante es R, tal como se muestra en la figura:

Tomamos momentos de cada una de las fuerzas y su resultante con respecto a un centro de momentos “O” cualquiera. Unamos el punto A con centro de momentos “O”. Por un punto cualquiera A’ de la recta recién definida, trazamos una recta auxiliar SS que es perpendicular a OA. Unimos los puntos M N y Q con el centro de momentos “O”. Proyectamos los puntos A, M, N y Q sobre la recta SS; de esta forma, quedan definidas sobre esa recta las alturas de los tres (3) triángulos.

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Del análisis de la figura vemos que: Sup. OAM = ½ AO. A´M´

(1)

Sup. OAN = ½ AO. A´N´

(2)

Sup. OAQ = ½ AO. A´Q´

(3)

Por ser ambas proyecciones de P2 encontramos que: A´N´=M´Q´

(4)

Reemplazando la igualdad (4) en la ec. (2) tenemos: Sup. OAN = ½ AO. M´Q´

(2’)

Atendiendo a que A´M´ y M´Q´ son segmentos consecutivos, reemplazando en la ecuación (3): Sup. OAQ = ½ AO. A´Q´ = Sup. OAQ = ½ OA (A´M´+ M´Q´) Operando Sup. OAQ = ½ AO. A´M´ + ½ AO. M´Q´ (1)

(2’)

Sup. OAQ = Sup. OAM + Sup. OAN 1 1 1 O O O  M  M M R P P2 1 2 2 2 Simplificando resulta la expresión del enunciado del teorema establecido por el matemático francés Pierre Varignon (1654 – 1722) que se expresa: O

O

O

M R  M P M P 1

2

El momento estático de la resultante de un sistema de fuerzas con respecto a un punto, es igual a la suma algebraica de los momentos de las fuerzas componentes con respecto al mismo punto.

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NOTA 1: Nuestro teorema habla de la suma algebraica, pues los momentos deben ser considerados cada uno con su signo. NOTA 2: A pesar de haber sido demostrado para un sistema de fuerzas concurrentes, el teorema tiene validez para cualquier sistema de fuerzas.

Expresión analítica del momento de una fuerza respecto a un punto Sea F una fuerza dada, la cual está referida a un sistema de ejes coordenados x e y, y a su vez la definimos mediante sus componentes Fx y Fy. Si aplicamos el Teorema de Varignon, vemos que tomando momentos respecto de un centro de momentos O, tenemos: Obsérvese que en estática, en muchas ocasiones, se utiliza el eje positivo de la ordenadas (+y) hacia abajo, ya que están dirigidas hacia abajo las fuerzas derivadas de la gravedad (peso). O

O

O

M F  M F x MF y O

M F   Fx.y  F y. x Esta expresión nos da el valor y el signo del momento de una fuerza respecto a un punto en función de sus componentes. NOTA: Fx y Fy no son solo proyecciones de F sobre ejes x e y sino que la figura, que no es otra cosa que un paralelogramo de fuerzas, nos dice que además Fx y Fy son también componentes de la fuerza F

BIBLIOGRAFIA: Este apunte fue realizado tomando como base el desarrollo de las clases teóricas de la cátedra Estabilidad I de la carrera Ing. Mecánica en la Facultad Regional San Nicolás de la Universidad Tecnológica Nacional; dictada durante 44 años por el Ing. Julio O. Loredo, a las cuales tuve oportunidad de asistir el año 1988, acompañado del aporte de la siguiente bibliografía: “Mecánica Técnica”; Di Pietro D.; Ed. Alsina; 1967 “Estática Grafica – Curso medio”; Panseri E.; Ed. Construcciones Sudamericanas; 1979 “Ingeniería Mecánica - Estática”; Boresi A. – Schmidt R.; Ed. Thomson; 2001 “Introducción a la Estática y Resistencia de Materiales”; Raffo C. M.; Ed. Alsina; 2002 “Mecánica para Ingenieros - Estática”; Bedford - Fowler; Ed. Pearson; 2008 Rev.c/2011

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