Netwerken Oplossen van complexe netwerken PDF

Preview

Summary

Download Netwerken Oplossen van complexe netwerken PDF

Description

5EE: Oplossen van complexe netwerken

1. Oplossen van complexe netwerken 1.1 Opfrissing gemengde schakelingen We gaan er vanuit dat iedereen de begrippen spanning, stroomsterkte en weerstand kennen. Ook de wet van Ohm, de wet van Pouillet en de wetten inzake temperatuursgevoeligheid mogen geen geheimen meer hebben om de oplosmethoden van deze leereenheid te kunnen verstaan. In het derde jaar is aandacht besteed aan enkele eenvoudige netwerken: serieschakelingen, parallelschakelingen en gemengde schakelingen. Ook de theorie van gelijkstroombronnen is hier van belang. Bij wijze van herhaling volgen enkele oefeningen op te toetsen of inderdaad iedereen deze begrippen en wetmatigheden onder de knie heeft. Oefening 1 R1 = 3

R2 = 4

R4 = 5

R3 = 3

R6 = 12 R5 = 7 R7 = ?

I5 = 3A

U = 30V

Oefening 2 In een serie-parallelschakeling van galvanische elementen zijn twee groepen van drie in serie geschakelde elementen in parallel geschakeld. Ieder element heeft een e.m.k. van 1,5V , een inwendige weerstand van 0,2 en een capaciteit van 1,2 Ah. Bereken de bronspanning van de verkregen batterij, de inwendige weerstand, de capaciteit en de stroomsterkte in een belastingsweerstand van 10,95 . Bepaal tevens de kortsluitstroom.

Veel netwerken kunnen onmogelijk worden opgelost met de vroeger geziene middelen. Daarom gaan we enkele nieuwe maar ingewikkeldere oplossingsmethoden bekijken en toepassen. Deze worden verder in de cursus besproken.

Van Der Meersch Marc

Blz.:1.1

PTI-Zottegem

5EE: Oplossen van complexe netwerken 1.2 De superpositiemethode Indien in een netwerk meerdere bronnen of e.m.k.’s aanwezig zijn, dan zal elke bron een stroom sturen door heel het netwerk, onafhankelijk van de andere aanwezige spanningsbronnen. Op dit principe is de oplossingsmethode door superpositie gesteund. Met andere woorden, deze methode is gebaseerd op het feit dat de stromen in een samengestelde elektrische kring, gelijk zijn aan de algebraïsche som van de deelstromen die het gevolg zijn van iedere spanningsbron afzonderlijk. Werkwijze: Je stelt zoveel schema’s op als er bronnen zijn in de samengestelde keten. Elk schema bevat slechts één bron, de andere worden vervangen door hun inwendige weerstand. In ieder schema bepaal je nu de zin en de grootte van de stromen in de verschillende takken. De werkelijke stroom bekom je door de algebraïsche som van de stromen in de deelketens te maken. Voorbeeld: +

Van Der Meersch Marc

Blz.:1.2

PTI-Zottegem

5EE: Oplossen van complexe netwerken

Oefingen: 1.

E1 = 12,8V Ri1 = 2

R1 = 8

E2 = 12V Ri2 = 3

R2 = 12

R3 = 8

Van Der Meersch Marc

Blz.:1.3

PTI-Zottegem

5EE: Oplossen van complexe netwerken 2.

3.

Van Der Meersch Marc

Blz.:1.4

PTI-Zottegem

5EE: Oplossen van complexe netwerken 1.3 De wetten van Kirchhoff Evenals de superpositiemethode worden de wetten van Kirchhoff gebruikt op de grootte van de stromen te berekenen in vertakte netten. Kirchhoff heeft twee wetten opgesteld, die we gaan gebruiken bij het oplossen. Deze worden hieronder besproken.

1.3.1 De eerste wet van Kirchhoff Een vertakt net vertoont knooppunten, d.w.z. punten waar drie of meer geleiders samenkomen. Het is duidelijk dat er in een knooppunt geen opstapeling van elektrische lading kan plaats grijpen. De algebraïsche som van de stroomsterkten die in een knooppunt samenkomen, is gelijk aan nul. Men geeft aan de stromen die naar het knooppunt toevloeien het “+”-teken en aan de stromen die ervan wegvloeien het “-“-teken. Met andere woorden, in elk knooppunt van een elektrische keten is de som van de toegevoerde stromen gelijk aan de som van de afgevoerde stromen.

Of;

I1 + I3 + I5 = I 2 + I 4 I1 + I3 + I5 - I2 - I4 = 0

1.3.2 De tweede wet van Kirchhoff In elke gesloten stroomkring is de algebraïsche som van de e.m.k.’s gelijk aan de algebraïsche producten van de stromen met de overeenstemmende weerstanden: E = I.R

Beschouwen we onderstaand voorbeeld. Hiervan vind je het deel ACDB opnieuw aangegeven in de figuur op volgende bladzijde.

Van Der Meersch Marc

Blz.:1.5

PTI-Zottegem

5EE: Oplossen van complexe netwerken Je kiest een willekeurige omloopzin, gewoonlijk volgens de wijzers van een uurwerk, dat men denkbeeldig plaatst in het midden van de beschouwde keten. De e.m.k..’s worden positief (+) aangegeven, als de e.m.k. op zichzelf een stroom zou veroorzaken in dezelfde zin als de gekozen omloopzin. De e.m.k.’s worden negatief (-) aangeduid als de e.m.k. uit zichzelf een stroom zou veroorzaken in tegengestelde zin aan de gekozen omloopzin. In nevenstaande figuur zie je dat de e.m.k. E2 op zichzelf (zie pijltje bij de bron) een stroom zou sturen volgens de aangenomen omloopzin. E2 moet dus positief aangeduid worden. Elke stroom wordt met een “+” of “-“ aangeduid, al naargelang hij volgens de aangenomen omloopzin loopt. In keten ACDB leidt dit tot volgende vergelijking: E2 = I3.Ru+ I2Ri2

De hiernaast staande keten is een ander gedeelte van het voorbeeld. Hier is: E1 = I3.Ru+ I1Ri1

1.3.3 Te volgen werkwijze Met de wetten van Kirchhoff kun je de nodige vergelijkingen opstellen om een vertakt net op te lossen. Het schema tekenen van de samengestelde keten met alle gegevens. De pijltjes bij de bron tekenen. Deze pijltjes duiden de stroom aan die de bron op zichzelf zou sturen. Een willekeurige omloopzin (veelal wijzerzin) kiezen en aanduiden in de verschillende deelstroomkringen (mazen) van de samengestelde keten. Deze omloopzin moet dezelfde zijn voor alle mazen. De zin van de stromen in de verschillende takken willekeurig bepalen. Zoveel knooppuntvergelijkingen (eerste wet) opstellen als er knooppunten zijn min één. De geleiders die hetzelfde potentiaal bezitten vormen één knooppunt. Het nodig aantal maasvergelijkingen opstellen. Je hebt steeds zoveel onafhankelijke vergelijkingen (knooppunt –en maasvergelijkingen samen) nodig als er onbekende stromen zijn. Je neemt eerst de meest eenvoudige mazen b.v. geen bron, één bron, enz… Het stelsel van vergelijkingen langs algebraïsche weg oplossen. Opmerking: Bekom je een negatieve stroomwaarde, dan betekent dit dat in werkelijkheid de zin van de stroom tegengesteld is aan de willekeurig aangenomen stroomzin.

Van Der Meersch Marc

Blz.:1.6

PTI-Zottegem

5EE: Oplossen van complexe netwerken Oefeningen: 1.

2.

3.

4.

Van Der Meersch Marc

Blz.:1.7

PTI-Zottegem

5EE: Oplossen van complexe netwerken 5.

Van Der Meersch Marc

Blz.:1.8

PTI-Zottegem

5EE: Oplossen van complexe netwerken 1.4 Driehoek-ster transformatie Voor de linkse schakeling zoals voorgesteld in fig. 9.1 is het niet zo eenvoudig de verschillende takstromen (zie laatste oefeningen op de wetten van Kirchhoff) en de vervangingsweerstand te bepalen tussen de punten a en d. Door toepassing van de driehoek-ster transformatie kan men de schakeling omrekenen tot de rechtse figuur, die heel wat eenvoudiger opgelost kan worden.

Fig. 9.1 De ster –en equivalente driehoekschakeling Bij de driehoek-ster transformatie vervangen we een driehoekschakeling door een equivalente sterschakeling, zoals voorgesteld in fig. 9.2. Weerstand R1, R2 en R3 van de driehoekschakeling worden vervangen door de weerstanden R12, R23 en R31 van de sterschakeling. Bij deze vorming moeten natuurlijk de vervangingsweerstanden tussen a en b, b en c, c en a voor beide schakelingen respectievelijk gelijk zijn.

Fig. 9.2 Omzetten van driehoek naar ster We bepalen nu in de driehoekschakeling respectievelijk Rab, Rbc en Rca. Daar R1 parallel staat met de serieschakeling van R2 en R3 kunnen we a..d.h.v. de R1 R 2 Rab en daarna op analoge vereenvoudigde formule voor parallelschakeling R vp R1 R 2 manier Rbc en Rca bepalen. Van Der Meersch Marc

Blz.:1.9

PTI-Zottegem

5EE: Oplossen van complexe netwerken Volgende regels moeten dus gelden:

Van Der Meersch Marc

Blz.:1.10

PTI-Zottegem

5EE: Oplossen van complexe netwerken Bepaal nu de drie weerstanden van de sterschakeling indien de drie weerstanden van de driehoekschakeling onderling gelijk zijn (R1 = R2 = R3 = R).

Voorbeeld: Bepaal de drie weerstanden van de equivalente sterschakeling voor de onderstaande driehoekschakeling. Bereken tevens RV tussen a en d.

Van Der Meersch Marc

Blz.:1.11

PTI-Zottegem

5EE: Oplossen van complexe netwerken 1.5 Ster-driehoek transformatie Indien de drie weerstanden van een sterschakeling gekend zijn, kunnen de drie weerstanden van de equivalente driehoekschakeling afgeleid worden uit de gelijkheden (I), (II) en (III).

Dit geschiedt als volgt:

Van Der Meersch Marc

Blz.:1.12

PTI-Zottegem

5EE: Oplossen van complexe netwerken Voorbeeld: Bepaal de drie weerstanden van de equivalente driehoekschakeling voor de sterschakeling.

Van Der Meersch Marc

Blz.:1.13

PTI-Zottegem

5EE: Oplossen van complexe netwerken 1.6 De methode van Thévenin Beschouwen we een lineair netwerk, bestaande uit weerstanden en lineaire bronnen, dan kunnen we in dit netwerk een component afzonderen waarin we geïnteresseerd zijn en de rest van het netwerk vervangen door een spanningsbron (Eth) en een serieweerstand (Rth).

Fig. 14.1 De methode van Thévenin

Werkwijze *We zonderen de component waarin we geïnteresseerd zijn af van de rest van het netwerk en geven de raakpunten met de rest van het netwerk een naam; *De grootte van de serieweerstand (Rth) is de grootte van de weerstand die men ondervindt als men van de ene klem naar de andere gaat. Hierbij vervangen we de bronnen door hun inwendige weerstand en laten we de component waarin we geïnteresseerd zijn weg. Deze waarde kan men uitrekenen met de rekenregels voor serie/parallel- of gemengde schakelen van weerstanden; *De grootte van de e.m.k. van de spanningsbron (Eth) is deze spanning die we aantreffen als we eveneens de component waarin we geïnteresseerd zijn, weglaten. Deze spanning kan men met een netwerkmethode naar keuze berekenen; *De elektrische grootheden voor de component waarin we geïnteresseerd zijn kunnen we dan in het eenvoudige rekenmodel berekenen..

Voorbeeld: De belaste spanningsdeler Stel dat we een voeding bezitten, maar we wensen een vaste spanning te bekomen die kleiner is, dan zouden we een spanningsdeler kunnen bouwen. We gaan bij wijze van voorbeeld eens kijken wat de nadelen zijn, indien we de spanningsdeler gaan belasten. We zijn geïnteresseerd in de spanning over en de stroom door RL, welke we als belasting gebruiken. Omdat we iets willen weten over RL, zonderen we deze af van de rest van de schakeling en benoemen we de raakpunten b.v. met “A” en “B”; we tekenen een rekenmodel volgens Thévenin: Fig. 14.2 De spanningsdeler

Van Der Meersch Marc

Blz.:1.14

PTI-Zottegem

5EE: Oplossen van complexe netwerken

Fig. 15.1 Nieuw rekenmodel volgens Thévenin Om het nieuwe rekenmodel te vervolledigen, moeten we nog eerst Rth en Eth berekenen: Belangrijke tip: zolang we met het netwerk zelf bezig zijn (grijze gedeelte), denken we de afgezonderde component steeds weg! Bepalen van Rth: We denken RL weg (zie fig. 15.2); We vervangen alle bronnen door hun inwendige weerstand; heel dikwijls veronderstellen we deze nul (zie fig. 15.3). We berekenen met de formules voor serie-/parallel- en gemengd schakelen van weerstanden Rth;

R1 en R2 staan nu parallel, de begin -en eindpunten (1) en (2) van de respectievelijke weerstanden hangen aan elkaar, ze zijn over elkaar heen aangesloten:

Fig. 15.2 Eigenlijk netwerk

Fig. 15.3 Bepalen Rth

Bepalen van Eth: We denken RL weg (zie fig. 15.2). We kiezen één maal volledig willekeurig een nulpotentiaal als referentie (onze massa). T.o.v. dit punt doen we verder alle spanningsberekeningen. Stel dat we onze massa aan punt “B” leggen: Nulpotentiaal gekozen in “B”: EB = 0V Potentiaal in “A

We vullen nu het Théveninmodel verder aan met de waarde voor Eth en Rth. We plaatsen RL terug in de schakeling en krijgen dan de situatie van Fig. 16.1. Met het Théveninmodel zijn de gezochte grootheden voor R nu simpel te berekenen:

Eth = EAB = EA – EB = 7,5V – 0V = 7,5V

Van Der Meersch Marc

Blz.:1.15

PTI-Zottegem

5EE: Oplossen van complexe netwerken

Fig. 16.1 Nieuw model

Eth 7,5V 144 ,23 A Rth R L 5k 47 k De stroomwaarde is positief, dus IRL vloeit van “A” naar “B” URL = IRL . RL = 144,23 A x 47k = 6,78V I RL

Van Der Meersch Marc

I AB

Blz.:1.16

PTI-Zottegem

5EE: Oplossen van complexe netwerken Oefeningen op het berekenen van netwerken d.m.v. het Théveninmodel: 1)

Bereken de spanning die op de klemmen van R3 staat, wanneer we R3 wegnemen; Bereken de spanning wanneer we R3 laten staan; Als we R3 laten staan, in welke zin vloeit er dan stroom door R3? Hoe groot is deze stroom dan? 2)

Bereken de spanning die over R2 staat; Bereken de waarde van de stroom die door R2 vloeit; In welke zin vloeit deze stroom? 3)

Bereken de spanning die over R5 staat; Tot welke waarde stijgt deze spanning als we R5 zouden wegnemen? In welke zin vloeit deze stroom door R5? Hoe groot is deze stroom? Van Der Meersch Marc

Blz.:1.17

PTI-Zottegem

5EE: Oplossen van complexe netwerken 4)

Bereken de spanning over R6; Hoeveel spanning staat er over R6 als we hem doorknippen? Hoeveel stroom vloeit er door R6? In welke zin vloeit deze stroom?

Van Der Meersch Marc

Blz.:1.18

PTI-Zottegem...