TEMA 1 Nr complexe - tema PDF

Preview

Summary

Warning: TT: undefined function: 32 NUMERE COMPLEXE  Scrieți în formă algebrică următoarele numere complexe:  a) zi i  132   b) zi i 323   c) 2 zi 42 d)  213i z ie)  22311ii z ii  f)  12 2112ii z ...

Description

NUMERECOMPLEXE  1. Scriețiînformăalgebricăurmătoarelenumerecomplexe: a) z  1  i  3  2i   d) z 

b) z  3i  2  3i  

2 i  1  3i

e) z 

c) z   4  2i   2

2  i 2  3i   1 i 1 i

f) z 

 1  2i 2  i   1 i 1  2i

 2. Determinațiconjugatelenumerelorcomplexe: 6

3

 3 i    3 i  b) z     2    2     

 1  3i 2  i  a) z   1  i 1  2i 

3. Determinațiperechiledenumerereale  x , y  pentrucare: a) 2 i  x  yi   3  4i 

x 2 y 3   1  3i  1 i 1 i

b)  x  3i  2  yi   3  9i 

c)

b) z  z  4 3i

c) z  1  i  z  3  2i 

 4. Rezolvațiîn  ecuațiile: a) z  z  3  4i 





2

e) z  3 z  2  i 3 z 

2

d) z 2  2 z  3  0 



 5. Determinațiînfiecaredinurmătoarelecazuri Re( z ) , Im( z ) , z , Arg  z  și arg( z ) : a) z  1  i 

e) z 

2  1 3i

1 i

d) z 

b) z  3  3 3 i 

c) z  

f) z  4  3 i 

g) z  (1  i ) 

1 i  1 i

h) z  (9  9i ) 

12

3



6. Rezolvațiîn  următoareleecuațiicucoeficiențireali: a) z 2  10 

b) z 2  3  0 

c) z 2  7 

e) 2 z2  6 z  5  0 

f) z 2  5 z  9  0 

g)

i) z 2  z  1  0 

j) z 2  z  1  0 

k) z z 1 z  3  0 

d) z 2  4 z  5  0 

1  1  2z  z



2



h)  3 z2  6 z  1  0  2



l) z3  2 z2  2 z  1  0 

 7. Rezolvațiurmătoareleecuațiibinome: a) z 3  1 

3 b) z  i 

4

c) z  1 

     

1 

d) z  1  8



8. Rezolvațiîn  următoareleecuațiicucoeficiențicomplecși: 2 b) z 2  40  42 i  a) z  i  c) i z2 1 5 i z  6 i  2  0 

2 d) iz  2iz  2  i  0 

e) 1  i z2  5  i z  6  4 i  0 

f)  4  3 i z2   2 i  4  z  2  i  0 

  Reprezentareînplanulcomplex  9. Precizați,pentrufiecaredinurmătoarelecazuri,cemulțimedepuncte P( z ) dinplanulcomplexverifică relația(facețidesenul!): 3    Arg(z )  d)  2 a) 1  z  2  i  b) 0  Re( z )  3  c) 1  Im( z )  3  4   z 1  2  e) z  3i  1  5 

 z  2  i  2  f)   2  Re  z   0

 z  1  i  1 g)    z  3  3i  3

h) 2  z  2  3i  4 

i) z  2  z  2  5 

j) z  2  z  2  3 

k) z  i  2  z  1 

l) z  1  z  3  z  4i 

  Indicațiișisoluții 1. Calculdirect,lafracțiiseamplificăcuconjugatanumitorului.Seobținurmătoarelenumerecomplexe: a) z  5  i ;b) z  9  6i ;c) z  12  16 i ;d) z 

1 5 1 1  i ;e) z  3  2i ;f) z   i . 2 2 2 2

1  3i 2  i   (...)  1  3i (sepoatecalculașidirect,maiîntâi z  1  3i șiapoisedetermină 1 i 1  2i 6 3 3 3   3  i    3  i   3  i   3  i    1     (...)   1  i . conjugata);b) z    2   2   2    2           

2. a) z 

3. Seidentificăpartearealășiimaginarădinceidoimembriaiecuațiilor;

 2 y  3 3  ,cusoluția  x, y    2,   ; 2  2 x   4 2x  3y  3  3  ,cusoluțiile  x, y    3,1 și  x , y     , 2  ; b)Seobținesistemul:     2   xy 6 9  x y  7 ,cusoluția x, y    0, 7  . c)Seobținesistemul:  x  y   7 a)Seobținesistemul: 

4. Seconsideră z  x  iy ,deci z  x  iy și z  x  y șiseidentificăpartearealășiimaginarădin 2

2

ceidoimembriaiecuațiilor;

 x2  y2  x  3

a)Seobținesistemul: 



deunde z  

y4

,deunde z  

 y  3 0 7  3i ;c)Seobținesistemul:  ,deunde z  4 3i ;d)Seobținesistemul: 8  x  2y  2  0

2 

 x 2  y 2  x  4 7  4i ;b)Seobținesistemul:   6 y3 

 2  x 2  y 2   4x 3x 2  y 2  3 ,deunde ,deunde z  1,1,  3 i, 3 i ;e)Seobținesistemul:   2 2  xy  0  3  x  y   2 y  0  1 i 3  z  0,  . 2  





5. a) Re( z )  1 , Im( z )  1 , z  2 , Arg(z )  b) Re( z )  3 , Im( z )  3 3 , z  6 , Arg(z ) 

 4



 2k  ,cu k   și arg  z  

 2k ,cu k   și arg  z  

 4



;

;

3 3 c) z  i , Re( z )  0 , Im( z )  1 , z  1 , Arg( z )    2 k ,cu k   și arg  z    ; d) z  i , Re( z )  0 , Im( z )  1 , z  1 , Arg( z )    2 k ,cu k  și arg  z    ;

1 3 1 3 10  i , Re( z )  , Im(z )  , z  , Arg( z)  arctg  3  2k ,cu k   și 5 5 5 5 5 arg  z   arctg  3 ;

e) z 

 3  3  4  4 6 6 6 g) z  2 , Re( z )  2 , Im( z )  0 , z  2 , Arg( z )    2 k ,cu k  și arg  z    ; 3 3 3 h) z  2  9  2  9 i , Re( z )  2  93 , Im( z )  2 93 , z  2  93 2 , Arg( z )   2 k ,cu k  și 4 3 arg  z   . 4 6. Pentrua),b),c)calculdirect:a) z1,2   i 10 ;b) z1,2   i 3 ;c) z1,2   7 .Pentrud),e),f)se 3i calculează  șiseaplicăformuladerezolvareaecuațieidegradul2:d) z1,2  2  i ;e) z1,2  ; 2 1 i 7 5 i 11 2 f) z1,2  .Pentruh),i),j)se ;g)ecuațiasemaiscrie 2 z  z  1  0 ,cusoluțiile z 1,2  4 2 1  i 3 32 3 ;i) z1,2  ; calculează  șiseaplicăformuladerezolvareaecuațieidegradul2:h) z1,2  3 2 1 i 3 ;k) z1  0 , z2,3   i , z 4,5   3 ;l)ecuațiasescrie  z  1  z 2  z  1  0 șiaresoluțiile j) z1,2  2  1 i 3 z1  1 și z 2,3  . 2 2k 2k 7. a)1  cos0  i sin 0 , zk  cos  i sin , k  0,1, 2 ; 3 3   4k  1   4k  1    i sin , k  0,1, 2 ; b) i  cos  i sin , z k  cos 2 2 6 6  2k 1   i sin  2k 1  , k  0,1, 2,3 ; c) 1  cos  i sin , z k  cos 4 4 k k  i sin , k  0,1,..., 7 . d)1  cos 0  i sin 0 , zk  cos 4 4 f) Re( z )  4 , Im( z )  3 , z  5 , Arg( z)  arctg    2 k  ,cu k   și arg  z   arctg   ;

8. Toatesubpunctelefolosescdeterminarearădăciniipătrateaunuinumărcomplex(punctelea)șib) direct,celelaltepentru  ).

3 

a) z  x  iy ,  x  iy   i (șiegalitateamodulelor 2



x2  y 2



2

x2  y2  0   1 )seobținesistemul:  2xy  1   x2  y2  1 

1  1 i  ;b) z  x  iy , x  iy 2  40  42i (șiegalitateamodulelor 2 x 2  y 2  40   58 )seobținesistemul:  2xy   42 careconducelasoluția z   7  3i  ; x 2  y 2  58 

careconducelasoluția z  



x2  y 2



2

c)   2i ,secautăacelnumărcomplexcareridicatlapătratesteegalcu  2i: z1  x  iy

 x  iy 2   2i ,seprocedeazăcamaisusșiseobține   z12  1  i 2 iarsoluțiileecuațieiinițialesunt: z1  2 și z2  3  i ; d)   8i ,secautăacelnumărcomplexcareridicatlapătratesteegalcu 8i : z1  x  iy

 x  iy 2   8i ,seprocedeazăcamaisusșiseobține   z12  4 1  i 2 iarsoluțiileecuațieiinițialesunt: z1  i și z2  2  i ; e)   16  30i ,secautăacelnumărcomplexcareridicatlapătratesteegalcu 16  30i : z 1  x  iy

 x  iy 

2

2  16  30i ,seprocedeazăcamaisusșiseobține   z1   5  3i  iarsoluțiileecuațieiinițiale 2

sunt: z1  1  i și z2  2  3i ; f)   32  24i ,secautăacelnumărcomplexcareridicatlapătratesteegalcu 32  24i :z 1 x  iy

 x  iy 

2

  32  24i ,seprocedeazăcamaisusșiseobține   z21   2  6i iarsoluțiileecuațieiinițiale

sunt: z1  i și z 2  

2

2 i . 5

  

4 ...