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Material seleccionado por Mg. Ana Rubio Duca y Prof. Analía V. Gimene

1.5 Exponentes  1  Usodelaregladelproductoparaexponentes.  2  Usodelaregladel cocienteparaexponentes.  3  Usodelaregladel exponentenegativo.  4  Usodelaregladel exponentecero.  5  Usodelareglaparaelevar unapotenciaaotra potencia.  6  Usodelareglaparaelevar unproductoauna potencia.  7  Usodelareglaparaelevar uncocienteauna potencia.

Comprendiendo el álgebra Cuando multiplicamos expresiones con la misma base, mantenemos la base y sumamos los exponentes: 2

3

5

En esta sección analizaremos las reglas de los exponentes.

1 Usodelaregladelproductoparaexponentes Considera la multiplicación x3  x5. Podemos simplificar esta expresión como sigue: x3  x5  (x  x  x)  (x  x  x  x  x)  x8 Este problema puede simplificarse usando la regla del producto para exponentes.* Regla del producto para exponentes Si m y n son números naturales y a es cualquier número real, entonces am  an  amn

Para multiplicar expresiones exponenciales, mantén la base común y suma los exponentes. x3  x5  x35  x8

EJEMPLO 1 Simplifica. Solución a) 23  24  234  27  128 c) h  h9  h1  h9  h19  h10

a) 23  24

b) d2  d5

c) h  h9

b) d2  d5  d25  d7 Resuelve ahora el ejercicio 13

8

 2  2  256 *Las reglas que se dan en esta sección también se aplican para exponentes racionales o fraccionarios.

Material seleccionado por Mg. Ana Rubio Duca y Prof. Analía V. Gimene 40 Capítulo 1 Conceptos básicos

2 Usodelaregladelcocienteparaexponentes Considera la división x 7 ÷ x4. Podemos simplificar la expresión como sigue: 1

x7 x4



1

1

1

x  x x  x  x  x  x  x  x x  x3 x  x  x x 1

1

1

1

Este problema podría ser simplificado por medio de la regla del cociente para exponentes.

Comprendiendo el álgebra Cuando dividimos expresiones con la misma base, mantenemos la base y restamos los exponentes:

Regla del cociente para exponentes Si a es cualquier número real diferente de cero y m y n son enteros diferentes de cero, entonces am  amn an

56  564  52 (o 25) 54

Para dividir expresiones en forma exponencial, mantén la base y resta los exponentes.

x7 x4 a)

EJEMPLO 2 Simplifica.

= x7 - 4 = x3

64

b)

62

4

Solución a) 6 2 = 64 - 2 = 62 = 36

b)

6

x7 x3

c)

x7 = x7 - 3 = x4 x3

c)

y2 y5 y2 y5

= y 2 - 5 = y-3

Resuelve ahora el ejercicio 15

3 Usodelaregladelexponentenegativo Observa que en el ejemplo 2 inciso c) la respuesta contiene un exponente negativo. Realiza el inciso c) nuevamente cancelando los factores comunes. 1

1

y2

y y 1  3  5     y y y y y y y 1

Comprendiendo el álgebra Cuando simplificamos expresiones con una base elevada a un exponente negativo, la respuesta es una fracción cuyo numerador es 1 y el denominador es la base elevada a un exponente positivo: 43 

1 1  64 43

1

Al reducir factores comunes y usar el resultado del ejemplo 2 inciso c), podemos 1 razonar que y -3 = 3 . Este es un ejemplo de la regla del exponente negativo. y

Regla del exponente negativo Para cualquier número real a diferente de cero y cualquier número entero positivo m, tenemos 1 am  m a

Una expresión elevada a un exponente negativo es igual a 1 dividido entre la expresión con el signo del exponente cambiado.

EJEMPLO 3 Escribe cada expresión sin exponentes negativos. a) 72

b) 8a6

c)

Solución a) 7 -2 = c)

1 c

-5

1 2

7

=

1 49

= 1 , c -5 = 1 ,

b) 8a -6 = 8 # 1 5

c

=

1 c -5

1 8 = a 6 a6

1 c5 # = c5 1 1 Resuelve ahora el ejercicio 37

Material seleccionado por Mg. Ana Rubio Duca y Prof. Analía V. Gimene Sección 1.5 Exponentes

41

Consejo útil 1 = c5. En general, para cualquier número real a c -5 1 diferente de cero y cualquier entero positivo m, -m = am. Cuando un factor del numerador a o del denominador está elevado a cualquier potencia, el factor puede moverse al otro lado de la fracción, siempre y cuando el signo del exponente esté cambiado. Así, por ejemplo, En el ejemplo 3 inciso c) mostramos que

2a3 2  3 2 b2 ab

a2b4 b 4c3  2 3 c a

NOTA: al usar este procedimiento, el signo de la base no cambia, solo cambia el signo del exponente. Por ejemplo, 1 -c-3 = - 1c-3 2 = - 3 c

Por lo general, no dejamos expresiones exponenciales con exponentes negativos. Cuando decimos que una expresión exponencial se simplificará, queremos decir que la respuesta debe escribirse sin exponentes negativos o cero.

EJEMPLO 4 Simplifica.

a)

5xz 2 y -4

b) 4 -2 x-1 y2

c) - 33x 2y-6

Solución a)

5xz2 4

b) 42x1y 2 

 5xy 4z2

y

c) 33x2y6  (3 3)x2 

y2 1 1 2  1 y  2 4 x 16x

27x2 1  6 6 y y Resuelve ahora el ejercicio 41

Observa que las expresiones en el ejemplo 4 no incluyen sumas o restas. La presencia de un signo más o menos lo convierte en un problema muy diferente, como lo veremos a continuación.

EJEMPLO 5 Simplifica.

a) 41  61

b) 2  32  7  62

Solución a) 4 -1 + 6-1 =

1 1 + 4 6

3 2 + 12 12 3 + 2 5 = = 12 12 =

Regla del exponente negativo Reescribe con el mínimo común denominador, 12.

1 1 + 7# 2 32 6 2 1 7 1 = # + # 1 9 1 36

b) 2 # 3 -2 + 7 # 6-2 = 2 #

2 7 + 9 36 8 7 = + 36 36

Regla del exponente negativo

=

=

Reescribe con el mínimo común denominador, 36.

8 + 7 15 5 = = 36 36 12 Resuelve ahora el ejercicio 75

Material seleccionado por Mg. Ana Rubio Duca y Prof. Analía V. Gimene 42 Capítulo 1 Conceptos básicos

4 Usodelaregladelexponentecero La siguiente regla que estudiaremos es la regla del exponente cero. Cualquier número diferente de cero dividido entre sí mismo es 1. Por lo tanto, x5 = 1. x5 Por medio de la regla del cociente para los exponentes,

x5 x5 Como x0 =

x5 x

5

y

= x5 - 5 = x0.

x5 = 1, entonces x5 x0  1.

Regla del exponente cero Si a es cualquier número real diferente de cero, entonces a0 = 1

La regla del exponente cero ilustra que cualquier número real diferente de cero con un exponente 0 es igual a 1. Debemos especificar que a  0, ya que 0 0 está indefinido.

EJEMPLO 6 Simplifica (asume que la base no es 0). a) 1620

b) 7p0

c) y0

d) (8x  9y)0

Solución a) 1620  1

b) 7p0  7  p0  7  1  7

c) y0  1  y0  1  1  1 d) (8x  9y)0  1  (8x + 9y)0  1  1  1 Resuelve ahora el ejercicio 33

5 Usodelareglaparaelevarunapotenciaaotrapotencia Considera la expresión (x 3)2. Podemos simplificar esa expresión como sigue: (x3)2  x3  x 3  x33  x6

Comprendiendo el álgebra Cuando elevamos una potencia a otra potencia, mantenemos la base y multiplicamos los exponentes:

Este problema también podría simplificarse por medio de la regla para elevar una potencia a otra potencia (también conocida como regla de la potencia).

Elevar una potencia a otra potencia (regla de la potencia) Si a es cualquier número real y m y n son enteros, entonces (am)n  am  n

(a4)3  a 43  a12

Para elevar una expresión exponencial a una potencia, mantén la base y multiplica los exponentes. (x3)2  x3  2  x6

EJEMPLO 7 Simplifica (asume que la base no es 0). a) (22)3

b) (z5)4

c) (23)2

Solución a) 12 223 = 2 2

#3

= 2 6 = 64 1 1 # 2 c) 12 -32 = 2 -3 2 = 2 -6 = 6 = 64 2

4

b) 1z-5 2 = z-5

#4

= z-20 =

1 z20

Resuelve ahora el ejercicio 81

Material seleccionado por Mg. Ana Rubio Duca y Prof. Analía V. Gimene Sección 1.5 Exponentes

43

Consejo útil Con frecuencia los estudiantes confunden la regla del producto am  an  am  n con la regla de la potencia (am)n  am  n Por ejemplo, (x3)2 = x6, no x5, y (y2)5 = y10, no y7.

6 Usodelareglaparaelevarunproductoaunapotencia Considera la expresión (xy) 2. Podemos simplificar esta expresión como sigue:

(xy)2  (xy)(xy)  x  x  y  y  x2y2 Esta expresión también podría simplificarse por medio de la regla para elevar un producto a una potencia.

Comprendiendo el álgebra Cuando elevamos un producto a una potencia, elevamos cada factor del producto a la potencia: (3  5)2  32  52  9  25  225

Elevar un producto a una potencia Si a y b son números reales y m es entero, entonces (ab)m  ambm

Para elevar un producto a una potencia, eleva todos los factores dentro del paréntesis a la potencia fuera de los paréntesis.

a) (9x3)2

EJEMPLO 8 Simplifica. Solución

b) (3x5y4)3

a) (9x3)2  (9)2(x3)2  81x6 b) (3x5y4)3  33(x5)3(y4)3 1 = 3 # x15 # y -12 3 1 # x15 # 112 = 27 y 15 x = 27y 12

Regla del producto a una potencia Regla del exponente negativo, regla de la potencia Regla del exponente negativo

Resuelve ahora el ejercicio 93

7 Usodelareglaparaelevaruncocienteaunapotencia x 2 Considera la expresión a b . Podemos simplificar esta expresión como sigue: y

Comprendiendo el álgebra Cuando elevamos un cociente a un exponente, escribimos el numerador elevado a ese exponente dividido entre el denominador elevado también a ese exponente. 3

23

8 2 a b = 3 = 5 125 5

x2 x 2 x x x #x a b = # = # = 2 y y y y y y Esta expresión también podría simplificarse por medio de la regla para elevar un cociente a una potencia.

Elevar un cociente a una potencia Si a y b son números reales y m es entero, entonces am a m a b = m, b b

b Z 0

Material seleccionado por Mg. Ana Rubio Duca y Prof. Analía V. Gimene 44 Capítulo 1 Conceptos básicos

Para elevar un cociente a una potencia, eleva al exponente fuera del paréntesis todos los factores que están dentro del paréntesis.

EJEMPLO 9 Simplifica. Solución a) ¢

53 125 5 3 = 6 ≤ = 2 2 3 x x 1x 2

b) ¢

2x -2 y

3

≤

2 -41 x-22 - 4

-4

=

1y 32

-4

2 -4 x8 

=

a) ¢

5 3 ≤ x2

b) ¢

≤

2x -2 y3

-4

Elevar un cociente a una potencia Regla de la potencia

-12

y x 8y12 

=

24 8 12 xy

=

16

Regla del exponente negativo



Resuelve ahora el ejercicio 99

a Considera a b . Por medio de la regla para elevar un cociente a una potencia, obtenemos b a -n b n a -n bn a b = -n = n = a b a b b a -n

Comprendiendo el álgebra y n y n x -n a b = a b = n y x x

Al usar este resultado, observamos que cuando tenemos un número racional elevado a un exponente negativo, podemos tomar el recíproco de la base y cambiar el signo del exponente como sigue.



8 -3 9 3 a b = a b 9 8

¢

x2 ≤ y3

-4

= ¢

≤

y3 x

4

2

Ahora trabajaremos algunos ejemplos que combinan varias propiedades de los números. Por lo general, siempre que la misma variable aparezca arriba y abajo de la barra de fracción, movemos la variable con el exponente menor al lado opuesto de la barra de fracción. Esto tendrá como resultado que el exponente de la variable sea positivo cuando se aplique la regla del producto. Los ejemplos 10 y 11 ilustran este procedimiento.

EJEMPLO 10 Simplifica.

a) ¢

15x2y 4 

2

5x y 

≤

2

b) ¢

6x4y -2 

3 -1

12xy z 

≤

-3

Solución Las expresiones exponenciales pueden simplificarse en más de una forma. En general, es más fácil simplificar primero la expresión que está dentro de los paréntesis. a) ¢ b) ¢

15x2 y 4 

≤ = 1 3y 322 = 9y 6 2

5x2y 6x4y -2 



12xy 3z-1

≤

-3

x4 # x -1z = ¢ 3 2≤ 2y # y = ¢

x3z - 3 ≤ 2y 5 

= ¢

2y 5 3 ≤ x3z # 2 3y 5 3 = 3#3 3 x z 8y 15 = 9 3 xz

-3

Mueve x, y-2 y z-1 al otro lado de la barra de fracción y cambia los signos de los exponentes.

Regla del producto Toma el recíproco de la expresión dentro de los paréntesis y cambia el signo del exponente.





Eleva un cociente a una potencia.





Resuelve ahora el ejercicio 109

Material seleccionado por Mg. Ana Rubio Duca y Prof. Analía V. Gimene

45

Sección 1.5 Exponentes

EJEMPLO 11 Simplifica

1 2p-3 q 52 - 2 

1

p-5q4 - 3 

.

2

Solución Primero, utiliza la regla de la potencia. Después simplifica. 12p -3q 52 - 2 

1p-5 q42 - 3

=



2 -2p6q-10 p15q-12

Regla de la potencia

q-10 # q12 = =

2 15

2p

Mueve 2-2, p6 y q-12 al otro lado de la barra de fracción y cambia los signos de los exponentes.

# p-6

q -10 + 12

Regla del producto

4p15 - 6 q2

=

4p9 Resuelve ahora el ejercicio 115

Resumen de las reglas de los exponentes Para todos los números reales a y b y todos los enteros m y n: am # an = am + n am = am - n, an

Regla del producto Regla del cociente

a -m =

Regla del exponente negativo

a Z 0

1 , am

a Z 0

a0 = 1,

Regla del exponente cero

a Z 0

Elevar una potencia a otra potencia

# 1 a 2 = am n

Elevar un producto a una potencia

1ab2m = ambm

Elevar un cociente a una potencia

a a b b

m n



m

am = m, b

b Z 0

CONJUNTO DE EJERCICIOS 1.5 Ejercicios de práctica Llena los espacios en blanco con la palabra, frase o símbolo(s) indicados en la siguiente lista. aditivo

exponente cero 1 9 producto

inverso recíproco

1. La regla a  a  a para exponentes. m

n

mn

elevar una potencia

indefinido

9

cociente

elevar un cociente

exponente negativo

es llamada la regla del

am = am - n es llamada la regla del an para exponentes. 1 3. Para a  0, la regla a - m = m es llamada la regla del a . 2. Para a  0, la regla

elevar un producto 1 8 8

7. La regla (ab)m  ambm es llamada la regla de a una potencia.

4. Para a  0, la regla a0  1 es llamada la regla del .

a m am 8. La regla a b = m es llamada la regla de b b una potencia. 1 9. Si x  0, entonces es el de x. x 10. Si y es cualquier número real, entonces –y es el aditivo de y.

5. El valor de 00 es

11. La forma simplificada de 32 es

.

6. La regla (am)n  am  n es llamada la regla de a otra potencia.

1 12. La forma simplificada de a b 2

a

.

-3

es

.

Material seleccionado por Mg. Ana Rubio Duca y Prof. Analía V. Gimene 46 Capítulo 1 Conceptos básicos

Practica tus habilidades Evalúa cada expresión. 13. 2 3 # 2 2

14. 32 # 33

17. 9-2

18. 7-2

21. 150

22. 24 0

25. 12 # 422

26. 1 6 # 522

87 86 1 20. -2 3 2 24. 1322 3 4 28. a b 5

37 35 1 19. -3 5 2 23. 12 32 4 2 27. a b 7

15.

16.

Evalúa cada expresión. b) 1 -3 2-2

29. a) 3-2 30. a) 4 -3

b) 1 -42

1 -1 31. a) a b 2 3 -2 32. a) a b 5

1 -1 b) a -  b 2 3 -2 b) a -  b 5

-3



c) -3 -2



c) -4 -3



1 -1 c) - a b 2 3 -2 c) - a b 5

d) - 1 -32-2



-3 d) - 1 - 42



1 -1 d) - a -  b 2 3 -2 d) - a -  b 5

Simplifica cada expresión y escribe la respuesta sin exponentes negativos. Considera que todas las bases representadas por variables son diferentes de cero. 33. a) 5x0

b) - 5x0

c) 1 - 5x2 0

d) -1 -5x20

34. a) 7 y

b) 17 y2

c) -7 y

d) 1 -7y 20

35. a) 3xyz0

b) 1 3xyz20

c) 3x1 yz20

d) 31xyz20

36. a) x0 + y 0

b) 1 x + y2 0

c) x + y 0

d) x0 + y

0

0

0

Simplifica cada expresión y escribe la respuesta sin exponentes negativos. 1 y -1 10x4 42. y -1 15ab5 46. 3c-3

37. 7y -3 41. 45.

9 x -4 17m-2n-3 43. 2 9-1x -1 47. y

38.

3a b -3 5x -2 y -3 

z-4

8 5x -2 13x -3 44. z4 8-1 z 48. -1 -1 x y

39.

40.









Simplifica cada expresión y escribe la respuesta sin exponentes negativos. 49. 2 5 # 2 -7

50. a 3 # a5

87 85 m-6 57. 5 m 53.

54. 58.

61. 3a -2 # 4a -6

43 4 -1 p0 p-3

62. 1 -8v421 -3v-52

51. x6 # x-4

52. x-4 # x3

55.

7-5 7-3 5w -2 59. w -7

x -7 x4 x -7 60. -9 x

63. 1 -3p-221 -p32

64. 12x -3 y -4216x -4 y 72

56.



3

65. 15r 2 s -221-2r 5 s22 

69.



33x5 y -4 

11x3y 2 

66. 1-6p-4q 6212p3q2 

70.



16x -2 y 3z-2 



- 2x4y 

67. 12x4y 7214x3 y -52 

71.



9xy -4z3 

- 3x -2yz 

68. 72.

27x y



2



9xy 1x -2 214x2 2 x3

Evalúa cada expresión. 73. a) 41 a + b20

b) 4 a 0 + 4b 0

c) 14 a + 4b20

d) -4 a 0 + 4b0

74. a) -30 + 1 -32 0

b) -30 - 1 -3 20

c) -30 + 30

d) -30 -...