3. Integración por Sustitución Algebraica PDF

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Una forma sencilla de entender las integrales...

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INTEGRACION POR 1 SUSTITUCION UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER FACULTAD DE INGENIERA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y ESTADISTICA

INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN Nunca olvides que basta una persona o una idea para cambiar tu vida para siempre (ya sea para bien o para mal). JACKSON BROWN

En muchas ocasiones, cuando la integración directa no es tan obvia, es posible resolver la integral simplemente con hacer un cambio de variable adecuado; este procedimiento se conoce como integración por sustitución.





2

2  x x 1 dx

Considera el siguiente ejemplo:

una forma de resolver la integral, consiste en encontrar el desarrollo del binomio.

 x x

2







 1 dx   x x4  2 x2 1 dx 2

multiplicar este resultado por x, separar las integrales y luego aplicar las regla básicas de integración.

    x  2 x



2



2 4 2  x x 1 dx   x x  2 x  1 dx 5

3



 x dx

  x5dx   2x 3dx   xdx x6 x4 x2    C 6 2 2 El método empleado para este ejercicio no es muy práctico, para exponentes mayores que 2, por ejemplo ¿qué pasaría si tuviéramos que calcular:





10

2  x x  1 dx

ESP. DANIEL SAENZ C.

INTEGRACION POR 2 SUSTITUCION tendríamos que recordar el desarrollo del binomio de Newton o desarrollo

n a  b   binomial, para , es decir :

a  b n

o,

 n  n 1  n  n  n  n n  ab   b   a n   a n 1 b    a n 2 b 2  ...   0 1 2 1  n   n       

n n n   a b     an r br r 0  r 

a  b

y para nuestro caso:

10     a n  r br r 0  r  10

10

desarrollo que nos un

polinomio de once términos.

donde

 n nn 1n  2..........n  r  1    r! r

Para evitar este tipo de inconvenientes, existe un método que permite encontrar este tipo de integrales de una manera sencilla. dicho método se conoce como integración por sustitución, y consiste en hacer un cambio de variable que permita expresar la integral dada en una integral que tenga la forma de las integrales inmediatas o básicas. Para hacer la integración por sustitución seguimos los siguientes pasos: 1) Hacer la elección de U, digamos U = f(x). Casi siempre U está entre paréntesis, en el caso de funciones trigonométricas sencillas, en expresiones logarítmicas o algunas funciones exponenciales.; elevado a un exponente o dentro de un radical.

2) Hallar la derivada de la expresión U = f(x) , es decir :

3) despejar dx , es decir hacer:

ESP. DANIEL SAENZ C.

dx 

dU f / ( x)

dU  f / ( x) dx

INTEGRACION POR 3 SUSTITUCION 4. Hacer la sustitución en la integral y tratar de dejar toda la expresión en función de U. 5. Encontrar la integral en términos de U , para luego volver a dejar todo en función de x. Si al realizar las sustituciones, no es posible de dejar la integral únicamente en función de U, se debe buscar otro método apropiado para resolver la integral. En la aplicación de la integración por sustitución, se debe expresar las integrales básicas en función de la variable U. es decir

Se han concedido muchos premios Nóbel por mostrar que el universo no es tan simple como podíamos haberlo pensado. Stephen Hawking

1. La integral de

Ejemplo.

 xx

Llamamos

2

U

KU n 1  KU dU  n  1  C n

siempre que

n  1 .



10

 1 dx

a la expresión que se encuentre entre paréntesis:

Encontramos su derivada:

Despejamos dx:

dx 

U  x2  1 .

dU  2x dx

dU 2x

Realizamos las sustituciones en la integral dada y simplificamos los términos semejantes.

ESP. DANIEL SAENZ C.

INTEGRACION POR 4 SUSTITUCION

dU U 10dU 1 10 x x dx xU 1     U dU   2x  2 2





10

2

10

Encontramos la última integral:

sustituimos nuevamente

x 1  xx  1 dx  22 2

10

2



U

1 U 11  x x  1 dx  2 11  C





10

2

por equivalente:

11

C



5

23 3  3x 5x  4 dx

Ejemplo.

Sabemos la integral la podemos expresar como: Llamamos

U

 3x 5x 2

3



5 3

 4 dx

a la expresión que se encuentre entre paréntesis:

U  5x  4 . 3

Encontramos su derivada:

dU  15x2 dx

; Despejamos dx:

dx 

dU 15x 2

Realizamos las sustituciones en la integral dada y simplificamos los términos semejantes.





5 3

5 3

5 3

5

dU U dU 1 3 5 4 3 x x dx x U     U 3 dU 2    15 x 5 5 2

3

2

Encontramos la última integral:

ESP. DANIEL SAENZ C.

3 83 U C 5 x  4 dx  40

 3x  23

3



5

INTEGRACION POR 5 SUSTITUCION sustituimos nuevamente

 3x  23

U



por equivalente:





8 3 3 5 x  4 dx  5x  4 3  C 40 5

3

2. La integral de

1

 U dU   U

1

dx  Ln U  C .

3 x2 dx Ejemplo.  4x 3  5 Llamamos

U

a la expresión que se encuentre en el denominador:

U  4x3  5 . Encontramos su derivada:

Despejamos dx:

dx 

dU  12x 2 dx

dU 12x 2

Realizamos las sustituciones en la integral dada y simplificamos los términos semejantes.

dU 1 dU 3x 2 dU   U 12x 2  4U  4  U Encontramos la última integral:

Sustituimos nuevamente

U por equivalente:

3x 2 1 3 dx  3  4 x  5 4 Ln 4 x  5  C ESP. DANIEL SAENZ C.

3x 2 1  dx Ln U  C  4 x3  5 4

INTEGRACION POR 6 SUSTITUCION

3

e

U

dU  eU  C .

ejemplo: encontrar Llamamos

U

e

3 x 1

dx

a la expresión que se encuentre como exponente de e.:

U  3x  1 . Encontramos su derivada:

Luego:

4.

3 x 1 U  e dx   e

dU dU  3 ; Despejamos dx: dx  3 dx

dU 1 U 1 1   e dU  eU  C  e3 x 1  C 3 3 3 3

aU  a dU  Lna  C . U

EJEMPLO:

4

3x5

dx

U

a la expresión que se encuentre como exponente de 4.: U  3x  5 .

Llamamos

Encontramos su derivada:

dU  3 ; Despejamos dx: dx  dU dx 3

Luego:

4

3 x5

dU 1 U 1 4U 1 4 3x  5  C   4 dU  C  dx   4 3 3 3 Ln4 3Ln4 U

ESP. DANIEL SAENZ C.

INTEGRACION POR 7 SUSTITUCION 5. Las integrales de las funciones trigonométricas : Integral Indefinida

 CosUdU  SenU  C

 SenUdU  CosU  C

 Sec UdU  TanU  C 2

 SecUTanUdU  SecU  C

 Csc UdU  CotU  C 2

 CscUCotUdU  CoscU  C Para las funciones trigonometricas se llama como ángulo. Ejemplo: ejemplo: encontrar Llamamos

U

U

a la expresión que aparece

 Sen5 x  3dx

a la expresión que se encuentre como ángulo de la función

U  5x  3 . Encontramos su derivada:

ESP. DANIEL SAENZ C.

dU dU  5 ; Despejamos dx: dx  dx 5

INTEGRACION POR 8 SUSTITUCION Luego:

 Sen5 x  3dx   SenU 

1 dU 1   SenUdU   CosU   C 5 5 5

1 Cos5x  3  C 5

El genio se compone del dos por ciento de talento y del 98 por ciento de perseverante aplicación. Ludwing Van Beethoven

ACTIVIDAD En los siguientes ejercicios realice la integral que se indica:

  x 3



3



 x

2 3  y y  1 dy

1 4 y dy



x

1  4 x dx

2

7

3  2 x dx



2  tSen4t dt

 Cosx2  Senx  dx 3 Sen  xCosxdx



1 4Senx *Cosxdx



3

1 4Senx *Cosxdx  Tanxdx

Cosx  3  2 Senx dx



x  3x  2 3

2

dx

ESP. DANIEL SAENZ C.

 2  3 y  4

4

1 4 y

dy

y 3

1

1 dm 3m m 2

Senx 4  * Cosxdx

 Cotxdx

2r  1  r 2 3 dr y3





 4x  4 3 dx

5

3

x2  2x

3

2

dx 3

2x  3  x  2 dy



3  2x

3 x

2



2

3

dx

INTEGRACION POR 9 SUSTITUCION



3 x2  6 x3  6 x

x  (2x  2)e

dx

2

2x

 Senxe

Cosx

dx

dx

EXISTEN, ciertas integrales que al realizar operación en el integrando se puede expresar como integrales inmediatas cuya solución es una función trigonometrica inversa. Dichas integrales son de la forma:

1.



U   Sen1    C a a 2 U 2 dU

EJEMPLO.



dx Para resolver la integral, se trata de llevar el

5 9x 2

polinomio que esta dentro del radical a una expresión de la forma , para vemos que :

a2 U 2

5  9 x 2  5  32 x 2  5  3x 

2

es decir, la integral nos queda:

 ahora haciendo :

U  3x dx



dx 5  9x 2



5  3x 

2

dU  3dx y al hacer la sustitución : dx dU  2 5 U 2 5  3 x

se tiene que

5  9x

2



que tiene la forma de la integral



dU a 2 U 2

, luego la integral da como resultado:

ESP. DANIEL SAENZ C.

dx

U  Sen 1   C a

con

a2  5

INTEGRACION POR 10 SUSTITUCION



dx 5  9x 2



dx



5  3 x

2



dU 1 3  5 U 2



1 1  3x  U  Sen 1   C  Sen 1    C 3 3 a  5

Las personas intentan hacer una cosa 10 veces, hasta que les queda bien. Yo la hago 100 veces hasta que queda perfecta. Luciano

Pavarotti

EJEMPLO.



dx Para resolver la integral, se trata de llevar el

5  4x  x 2

a U

2 2 polinomio que esta dentro del radical a una expresión de la forma , para ello completamos un trinomio cuadrado perfecto y luego lo factorizamos:

5  4 x  x2  5  4  4  4 x  x2



 9  4  4x  x 2  9 2 x 



2

es decir, la integral nos queda:

 ahora haciendo : sustitución :



dx 5  4x  x 2

U  2 x dx

5  4x  x 2

ESP. DANIEL SAENZ C.





dx 9  2  x

se tiene que

dx 9  2  x2

2

dU  dx 

dU 9 U 2

y al hacer la

INTEGRACION POR 11 SUSTITUCION

que tiene la forma de la integral



U   Sen1    C a a 2 U 2 dU

con

a2  9

, luego la integral da como resultado:



dx

dx



5  4x  x 2

9  2  x 

2



dU 9 U2

U   2 x   Sen  1    C  Sen 1  C  3  a EJEMPLO.



dx Para resolver la integral, se trata de llevar el

8x  x 2

a U

2 2 polinomio que esta dentro del radical a una expresión de la forma , para ello completamos un trinomio cuadrado perfecto y luego lo factorizamos:

8x  x 2  16  16  8 x  x 2



 16  16  8 x  x2  16  4  x 



2

es decir, la integral nos queda:

 ahora haciendo : sustitución :



dx 8x  x 2

U  4 x dx 8x  x 2

ESP. DANIEL SAENZ C.







dx 16  4  x

se tiene que

dx 16  4  x 

2



2

dU  dx



dU 16 U 2

y al hacer la

INTEGRACION POR 12 SUSTITUCION



que tiene la forma de la integral

dU a 2 U 2

U   Sen 1   C con a 

a 2  16

,

luego la integral da como resultado:



dx 8 x  x2



dx 16  4  x2



dU 16  U 2

 U   4 x   Sen 1    C  Sen 1   C  a  4 

Pregúntate si lo que estás haciendo hoy te acerca al lugar en el que quieres estar mañana JAMES BROWN,.

2.

1 dU 1  U    a 2 U 2 a Tan  a   C

La forma de encontrar estas integrales es similar al procedimiento anterior. Ejemplo: encontrar la integral de:

dx  4  3x 2

Para resolver la integral, se trata de llevar el polinomio que esta

en el denominador a una expresión de la forma tenemos:

4  3x2  4 

 3 x 2

2

4

a2 U 2 ,

para ello

 3 x

2

es decir, la integral nos queda:

dx dx   4  3x 2  4  3x

 

ahora haciendo : sustitución :

U  3x

ESP. DANIEL SAENZ C.

se tiene que

2

dU  3dx

y al hacer la

INTEGRACION POR 13 SUSTITUCION

1 dx dU   4  3x2 3  4  U 2 que tiene la forma de la integral

dU 1 1  U  Tan    C  a2  U 2 a a

con

a2  4

, luego la integral da como resultado:

dx dU 1   4  3 x2 3  4  U 2 

 3x    3 x 1  1 1 1  C    Tan 1 Tan   2 C 2 3  2 2 3    

Ejemplo: encontrar la integral de:

dx  22  18 x  9 x2

Para resolver la integral, se trata de llevar el polinomio

que esta en el denominador a una expresión de la forma ello tenemos:

a 2  U 2 , para

22 18 x  9 x 2  22  9  9 18x  9 x 2  13  3  3 x 2 es decir, la integral nos queda:

dx dx   22  18x  9 x 2  13  3  3 x 2 ahora haciendo : sustitución :

U  3 3x

se tiene que

dU  3dx

dx dU 1   22 18 x  9 x 2 3  13 U ESP. DANIEL SAENZ C.

2

y al hacer la

INTEGRACION POR 14 SUSTITUCION

que tiene la forma de la integral

a 2  13

1 dU 1  U  Tan    C  a 2 U 2 a a

con

, luego la integral da como resultado:

dx dU 1   22 18x  9 x2 3  13  U 2 1 1 1  3  3x   3  3x      C    C  Tan 1  Tan 1  3  13 3 13  13   13   1 1 U  Sec   C U U 2  a2 a a dU

3.

Quien de veras sea tu amigo, te socorrerá en la necesidad, llorará si te entristeces, no podrá dormir si tu velas y compartirá contigo las penas del corazón. Estos son signos seguros para distinguir al fiel amigo del adulador enemigo. SHAKESPEARE

ESP. DANIEL SAENZ C.

INTEGRACION POR 15 SUSTITUCION ACTIVIDAD. ENCONTRAR LAS SIGUIENTES INTEGRALES

x 

dx

e x dx  4  e 2x

25 x 2  5

dy y2  2y  5

4dt  t 1  Ln 2t

ydx

dx  8  4x2



1 y 4

dx  1  3x  12

 3x 



dx 4 x2  9 dx 4 x  x2

dx  x 2  6x  10

ESP. DANIEL SAENZ C.



dx

 x  3 3  x 

2



 25

Sec 2 6 xdx 1  Tan 2 6 x

dx  2  2x  x2

 x  2 

dx x2  4x  3...