Practico unidad 4 - Sistemas de ecuaciones lineales. Resolucion algebraica. PDF

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UNRC Lineal de Trabajos 2018 Unidad 4 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. ALGEBRAICA y Barrionuevo Gisela Paola Bressan Cecilia Martinez Natalia UNIVERSIDAD NACIONAL DE CUARTO FACULTAD DE CIENCIAS ALGEBRA LINEAL 2018 DE TRABAJOS DE LA UNIDAD 4 SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES. ALGEBRAICA Al resolver cada...

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UNRC -FCE

Álgebra Lineal Guía de Trabajos Prácticos 2018 Unidad 4 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. RESOLUCIÓN ALGEBRAICA

Revisión y Actualización: Barrionuevo Gisela Bersía Paola Bressan Cecilia Martinez Natalia

UNIVERSIDAD NACIONAL DE RÍO CUARTO FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS ALGEBRA LINEAL – AÑO 2018 GUÍA DE TRABAJOS PRÁCTICOS DE LA UNIDAD 4 SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES. RESOLUCIÓN ALGEBRAICA

Al resolver cada uno de los siguientes ejercicios deberá justificar sus respuestas

1) a) Exprese los siguientes sistemas de ecuaciones lineales mediante una ecuación

matricial.

Identifique

cada

una

de

las

matrices

intervinientes.

2x1  4x 2  0 2x3  3x2  0

I) 

s  5  t s  t  2  2

II) 

b) Clasifique ambos sistemas lineales de acuerdo al orden de su matriz de coeficientes. c) ¿Alguno de los sistemas es homogéneo? ¿Cómo lo identifica?

2) Dadas las siguientes ecuaciones matriciales:

 1 1 1  p   3 I)  1 0 1 .  q    2        2 1 2  r   5

x  1 2  4    3 II)  . y    1 4  8 z   2  

2 III) 1  1

1 2 IV)  0  3

4 1 r   0 0 3  .  s   0       5 0   t  0 

0 1 0 0

2  0 x     4   0 . y    2    0  z    6  0

a) Identifique en cada caso la matriz ampliada del sistema lineal.

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b) Exprese el sistema de ecuaciones lineales que se deduce de cada una de las ecuaciones matriciales.

3) Sin resolver los sistemas de ecuaciones lineales y aplicando el Teorema de Rouché-Fröbenius clasifíquelos de acuerdo a su compatibilidad y determine cuántas soluciones tienen.

2 z  t  w  1  I)  t  z  w  2  z  2t  3 

2 v  w  4 II)   w  6  2v

 xyt  2  III) x  2y  2t  1   x  y  1 

4) Exprese simbólicamente el conjunto solución de todos los sistemas de ecuaciones lineales del ejercicio 3), utilice el método de Gauss-Jordan para resolver dichos sistemas.

5) Considere los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:

q  r  p  I) r  2  p  2 2r  2p  q  0 

x  y 1  2z   II)  x  2y  z   2  3y  z  x  5 

2  5q  2 2p  2q  0  IV)  p  4q  0 p  q

5p  20  0 V)  8q  p

2r  3s  t  0  III)  r  s  t  0  r  2s 

2 x  y  0  VI) 5 y  x  0 x  8 y  0 

3a  3b  c  4 a  2b  6  c 

VII) 

a) Resuelva, de ser posible, empleando el Método de la Matriz Inversa (Sugerencia: calcule la inversa aplicando cada uno de los métodos estudiados a fin de obtener mayor desenvolvimiento en ellos).

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b) Resuelva, de ser posible, aplicando la Regla de Cramer. c) Si un sistema de ecuaciones lineales no puede ser resuelto por la Regla de Cramer ni por el Método de la Matriz Inversa, ¿esto significa que dicho sistema es incompatible? d) Determine el tipo de compatibilidad de los sistemas de ecuaciones lineales que no pudo resolver en los incisos a y b, y exprese simbólicamente su conjunto solución

6) A modo de síntesis, clasifique los sistemas de ecuaciones lineales incluidos en la presente Guía de Trabajos Prácticos según la siguiente tabla:

Según el orden de la matriz de coeficientes:

Según la matriz de términos independientes:

Según la cantidad de soluciones:

Método de resolución factible Regla GaussMatriz de Jordan Inversa Cramer (Si/No)

(Si/No)

(Si/No)

2x1  4x 2  0  2x3  3x2  0

s  5  t  s  t  2  2 1 1 1   p  3  1 0 1 .  q   2        2 1 2   r  5  x  1 2 4    3 1 4 8 . y    2   z     4 1  r   0 2 1 0 3  .  s   0   1 5 0   t  0 

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(continuación) Según el orden de la matriz de coeficientes:

Según la matriz de términos independientes:

Según la cantidad de soluciones:

Método de resolución factible Regla GaussMatriz de Jordan Inversa Cramer (Si/No)

1 2  0  3

0 1 0 0

2 x 4   . y  2     z  6

(Si/No)

(Si/No)

 0  0    0   0 

q  r   p  r  2  p  2 2r  2p  q  0  x  y 1  2z   x  2y  z  2 3y  z  x  5  2r  3s  t  0   r st  0  r  2s 

2  5q  2 2p  2q  0   p  4q  0 p  q

5p  20  0  8q  p 2 x  y  0  5 y  x  0 x  8 y  0 

3a  3b  c  4  a  2b  6  c 

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE RÍO CUARTO FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS ALGEBRA LINEAL – AÑO 2017 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES: EJERCICIOS APLICADOS

Ejercicio 1 Suponga un mercado de bienes cuyas funciones de oferta (O) y demanda (D) son las siguientes:

O  7 p  3q  56 D  3 p  5q  200 a)

Plantea un sistema de ecuaciones lineales y obtiene el valor de

equilibrio para p y q aplicando el método de la matriz inversa. b)

Interpreta el significado económico de cada uno de los valores

obtenidos. c)

Grafica en el plano cartesiano las ecuaciones de oferta y demanda.

Ejercicio 2 Una empresa constructora, “Construyendo S.R.L.”, se dedica desde 1999 a la fabricación de casas de tres estilos muy demandados por los clientes: casas modernas, casas tipo chalet y casas campestres. Debido a la experiencia acumulada hasta la fecha, esta empresa tiene estandarizados los insumos y cantidades de materiales que lleva cada tipo de casa, de manera que para cada casa tipo chalet requiere 20 unidades de madera, 5 de acero, 17 de mano de obra, 7 de pintura y 16 de vidrio; para cada casa campestre necesita 25 unidades de madera, 5 unidades de pintura, 13 unidades de mano de obra, 6 unidades de acero y 8 unidades de vidrio; y para cada casa moderna insume 7 unidades de acero, 12 unidades de vidrio, 18 unidades de madera, 21 unidades de mano de obra y 9 unidades de pintura. Para la temporada 2016 esta empresa ha recibido los siguientes pedidos: 5 casas tipo chalet, 7 estilo moderno y 12 estilo campestre. Los precios de los insumos, por unidades, se estiman para 2014 en los siguientes valores: acero $1500, madera $800, vidrio $500, pintura $100 y mano de obra

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$1000. Como máximo, el constructor tiene capacidad para fabricar 30 casas anuales.

a) Plantea un sistema de ecuaciones lineales en forma matricial y establece el orden de la matriz de coeficientes. b) ¿Qué cantidad de cada insumo necesita, en total, para producir todos los estilos de casas pedidos? c) ¿Cuál será el costo total del plan de producción? Ejercicio 3 Suponga una economía que se encuentra formada por tres industrias: metalúrgica (M), telecomunicaciones (T) y servicios (S). Cada una utiliza como insumo una parte de su propia producción a la vez que debe satisfacer las demandas de insumos de las dos industrias restantes y la demanda externa proveniente de economías extranjeras. En la siguiente matriz se muestra en qué proporciones cada industria requiere de su propia producción como así también de la producción de las dos industrias restantes para poder producir una unidad de producto (las filas muestran la cantidad demandada de insumos de cada industria, y las columnas muestran la cantidad requerida de insumos para producir una unidad de producto, por ejemplo: la

primer columna indica que

la

industria

Metalúrgica requiere 0,2 unidades del insumo M, 0,2 unidades del insumo T y 0,3 unidades del insumo S para producir una unidad de su producto; en cambio la primer fila indica que la industria M debe satisfacer su propia demanda de 0,2 unidades, la industria T le demanda 0,1 unidades y la industria S requiere de 0,2 unidades de M)

M M T S

T

S

 0,3 0,1 0, 2  0, 2 0, 2 0, 5    0, 3 0, 3 0,1

a) Considerando que la demanda externa es de 45, 50 y 51 unidades para las industrias M, T y S respectivamente, calcula cuáles son los

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niveles de producción de cada insumo que permiten el equilibrio del mercado. Utiliza de ser posible la Regla de Cramer. b) Interpreta el significado económico de los coeficientes de la segunda columna.

La bibliografía utilizada para la realización de esta Guía de Trabajo Práctico puede ser consultada en el Programa vigente de la Asignatura.

IMPORTANTE Se solicita que toda persona que lea este texto y detecte algún tipo de error, por más sencillo que parezca, que lo informe a las autoras para que lo analicen y lo corrijan. Muchas gracias

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