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UNIDAD 4 Ecuaciones Diferenciales 1 4.2 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales Hasta ahora hemos estudiado métodos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias consideradas individualmente. Sin embargo, en la práctica, es posible que se necesite usar más de una ecuación diferencial para ...

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UNIDAD 4

Ecuaciones Diferenciales

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4.2 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales Hasta ahora hemos estudiado métodos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias consideradas individualmente. Sin embargo, en la práctica, es posible que se necesite usar más de una ecuación diferencial para describir matemáticamente una situación física. En la sección 5.4, se vio que las oscilaciones de un cuerpo sujeto a un resorte podrían describirse mediante una ecuación relativamente simple, si uniéramos dos de dichos resortes, entonces necesitaríamos dos ecuaciones diferenciales reunidas, es decir simultaneas, para describir el movimiento.

4.2.1 Teoría preliminar Las ecuaciones diferenciales ordinarias simultáneas comprenden dos o más ecuaciones que contienen las derivadas de dos o más funciones incógnitas de una sola variable independiente. Si x, y y z son funciones de la variable t, entonces

4

d 2x  5 x  y dt 2 2

d2y  3x  y dt 2

x'  3x  y' z '  5 y

x' y'2 z '  t 2

x  y '6 z '  t  1

Son dos ejemplos de sistemas de ecuaciones diferenciales simultáneas.

Solución de un sistema Una solución de un sistema de ecuaciones diferenciales es un conjunto de funciones diferenciales

x = f(t), y = g(t), z = h(t), etc., que satisfacen cada ecuación del sistema en

algún intervalo I.

Eliminación sistemática La primera técnica que consideraremos para resolver tales sistemas se basa en el principio fundamental de eliminación algebraica sistemática de las variables. Veremos que lo análogo de multiplicar una ecuación algebraica por una constante es operar sobre una ecuación diferencial alguna combinación de derivadas. Recuérdese que una ecuación diferencial lineal

an y n  an 1 y n 1  ...  a2 y" a1 y ' a0 y  g (t )

En donde los ai , i=0,1,2,…,n constantes, puede ser escrita como

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(an D n  an 1D n 1  ...  a2 D 2  a1D  a0 ) y  g ( x)

Ejemplo 1 Escribir el sistema de ecuaciones diferenciales

x"2 x' y"  x  3 y  sent

x' y'  4 x  2 y  et , usando la notación de los operadores.

y

Solución Expresar el sistema dado como

x"2 x' y"  x  3 y  sent

x' y'  4 x  2 y  et

( D2  2D  1) x  ( D2  3) y  sent

De modo que

( D  4) x  ( D  2) y  et

Método de Solución. Consideres el sistema simple de ecuaciones lineales de primer orden Dy  2 x Dx  3 y

(1)

2 x  Dy  0 Dx  3 y  0

O equivalentemente,

(2)

Si a la primera ecuación en (2) le aplicamos D, multiplicamos la segunda por 2 y luego restamos, se elimina x. Se obtiene que Consideremos ahora el siguiente sistema de ecuaciones sujeto a las condiciones dadas como un ejemplo para resolver mediante operadores diferenciales. El sistema x'  2 x  y y'  x

Calcular

y (0)  2

y(0.5)

x(0)  6

Igualamos a cero el sistema, ( D  2) x  y  0

Condiciones del sistema

x'2 x  y  0 y ' x  0

x(0.5)

y escribimos en modo de operador diferencial

 x  Dy  0

Aplicamos el operador ( D  2) x  y  0

( D  2)

a la segunda ecuación y sumamos ambas:

 ( D  2) x  D( D  2) y  0 D 2 y  2 Dy  y  0

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Lo anterior implica una solución de la forma

3

y(t )  C1et  C2tet

x(t )  C3et  C4tet

Para reducir a solo dos constantes, relacionamos con la segunda ecuación del sistema, de manera que:

y' (t )  C1et  C2tet  C2et , como y '  x entonces

Por lo que tenemos:

C1  C2  C3

Lo anterior sugiere que

C1et  C2et  C2tet  C3et  C4tet

,

C2  C4

y

y(t )  C1tet  C2tet

x(t )  (C1  C2 )et  C2tet

, aplicando las condiciones iniciales es factible

conocer los valores de las dos constantes. Dado que C2  4

x(0)  6 entonces C1  C2  6 ,

luego como

Finalmente las ecuaciones resultantes son:

La estimación entonces queda

y (0)  2 entonces

se obtiene que: C1  2 y

x (t )  6e t  4te t

y (t )  2e t  4te t

x(0.5)  13.189770 y (0.5)  6.594885

Revisemos la teoría de resortes acoplados, de manera que estemos en posibilidad de plantear y resolver sistemas de ecuaciones diferenciales. Dos masas, m1 y m2 , están unidas a dos resortes, A y B, de masa insignificante cuyas constantes de resorte son k1 y k 2 , respectivamente, y los resortes se fijan como se ve en la figura anexa. Sean x1 (t ) y x2 (t) los desplazamientos verticales de las masas respecto a sus posiciones de equilibrio. Cuando el sistema está en movimiento, el resorte B queda sometido a alargamiento y a compresión, a la vez; por lo tanto, su alargamiento neto es x2  x1 . Entonces, según la ley de Hooke, vemos que los resortes A y B ejercen las fuerzas k1x1 y k2 ( x2  x1 ) , respectivamente, sobre Si no se aplican fuerzas externas al sistema, y en ausencia de fuerza de m1 . amortiguamiento, la fuerza neta sobre m1 es k1x1  k2 ( x2  x1 ) . De acuerdo con la segunda ley de Newton podemos escribir. m1

d 2 x1 dt 2

  k1 x1  k 2 ( x 2  x1 )

De igual forma, la fuerza neta ejercida sobre la masa m2 solo se debe al alargamiento neto de B; esto es, k2 ( x2  x1 ) . En consecuencia, m2

d 2 x2 dt 2

  k 2 ( x 2  x1 )

En otras palabras, el movimiento del sistema acoplado se representa con el sistema de ecuaciones diferenciales simultáneas de segundo orden m1x1"  k1x1  k2 ( x2  x1 ) m2 x2 "  k2 ( x2  x1 )

Plantee el sistema de ecuaciones suponiendo que k1  6 , k2  4 , m1  1 , m2  1 , y que las masas parten de sus posiciones de equilibrio con velocidades unitarias opuestas.

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Verifique que la solución del sistema es:

x1 (t )  

2 3 sen 2t  sen2 3t 10 5

x2 (t )  

2 3 sen 2t  sen2 3t 5 10

Ejercicios

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4.2.2 Soluciones de Sistemas de Ecuaciones mediante Transforma de Laplace. Ahora veamos el desarrollo de un sistema de ecuaciones mediante Transformada de Laplace. Sea el sistema

 x'  6 x  y  6t   y '  4 x  3 y  10t  4

sujeto a las condiciones:

  x(0)    y (0)  

1 2 1 5

Resolviendo por Transformada de Laplace. Transformando tenemos que:

factorizando obtenemos:

1 6  sx( s)  2  6 x( s )  y ( s )  2  s  1 sy( s )   4 x( s)  3 y ( s)   10  4 5 s s2 

6 1   x( s)s  6  y ( s)  2  2  s   y ( s)s  3  4 x( s)   10  4  1  s 5 s2 

 12  s 2  x( s )s  6  y ( s )   2s 2   50  20 s  s 2   y ( s )s  3  4 x( s )  5s 2 

desarrollando miembro derecho nos queda: Multiplicamos por

( s  3)

la primer ecuación y obtenemos:

 12  s 2 s  3  x( s )s  6s  3  y ( s )s  3   2s 2   50  20s  s 2   y ( s )s  3  4 x( s )  5s 2 

Al sumar ambas ecuaciones nos queda:





x( s ) s 2  9 s  14 

Factorizando el miembro izquierdo obtenemos: Expandiendo el miembro derecho tenemos: Despejando y expandiendo queda:

x( s ) 

y(s)  

x(s )

La Transformada inversa es:

y (t )  

s  3   50  202 s  s

x( s )s  7 s  2 

12  s

2

5s

2

s  3   50  202 s  s

2

5s

23  1  107  1  4  1  1    2 2  50  s  2  175  s  7  7  s  s 

en la ecuación

46  1  107  1  10  1  1    6 2  25  s  2  175  s  7  7  s  s 

2s

2

2s 2 s 10 28 13 x(s)s  7s  2    2  2 s s 10

Obtenemos transformada inversa y obtenemos: Sustituimos lo que vale

12  s 2

x(t ) 

107 7t 4 23 2t e   2t  e 175 7 50

y ( s )s  3  4 x( s ) 

 50  20 s  s 2

46 2t 107 7t 10 e  e   6t 25 75 7

Al evaluar las ecuaciones obtenemos los resultados exactos: y (0.2)  2.363079

5s 2

y obtenemos que:

x(0.2)  2.194276

y

La solución del sistema es:

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x(t ) 

107 7t 4 23 2t e   2t  e 175 7 50 46 107 7t 10 y (t )   e 2t  e   6t 25 75 7

Ejercicios sección 4.2 1. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones mediante la aplicación de Transformada de Laplace. x'4 x  y '  7t

x' y '2 y  3t

x(0)  1, y (0)  2

x' ' y'  4t

 x' ' y ' y  6t 2  10 x(0)  3, y (0)  1

2. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones mediante la aplicación de Operador Diferencial. dx  2 y  et dt dy  8x  t dt

x(0)  1 , y (0)  1

dx  x  2y dt dy  5x  y dt

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