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Fundamentos de algebra...

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Versión 2012.

División algebraica Por: Sandra Elvia Pérez Márquez

De la misma forma que en la multiplicación, para efectuar la división de expresiones algebraicas se debe tener en consideración el orden: primero los signos, luego los coeficiente y por último las literales. Para lo tanto, es importante recordar:

Reglas de los signos para la división a) Signos iguales, resultado es positivo

el

(+) =+ (+) (−) (−)

Regla del cociente para los exponentes

Al dividir dos números enteros, se debe tomar en consideración lo siguiente:

En el cociente de dos potencias de la misma base, la base se mantiene y los exponentes se restan.

a) Si se puede realizar la división y el resultado, es un entero

35 =5 7

=+

b) Signos diferentes, resultado es negativo

División de los números reales

el

(−) =− (+) (+) =− (−) Con base en esta regla podemos establecer que cualquier fracción negativa se puede expresar como:

2 −2 2 − = = 5 5 −5

b) Si al realizar la división no es un entero, se debe simplificar la fracción

21 7 = 6 3 Se multiplica numerador por denominador, y el resultado se coloca en el numerador y se multiplica denominador por numerador y el resultado se coloca en el denominador

ad c 𝑎 ( )( ) = d b bc

𝑎𝑚 𝑎𝑛

= 𝑎𝑚−𝑛

𝑥5 = 𝑥 5−3 = 𝑥 2 𝑥3 Recuerda que los exponentes siempre deben quedar positivos, por tal motivo, si el exponente del denominador es mayor al del numerador () usamos la regla del exponente negativo.

𝑎−𝑛=

1 𝑎𝑛

𝑥5 1 = 𝑥 3−5 = 𝑥−2 = 2 𝑥5 𝑥

Tabla 1. Consideraciones para realizar una división algebraica.

La división algebraica, al igual que la multiplicación algebraica, se lleva a cabo en tres modalidades: a) Monomio entre monomio b) Monomio entre polinomio c) Polinomio entre polinomio 1 ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.

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a) División de monomio entre monomio Ejemplos: Operaciones

 18x 5  3 3x 2 5  5x y 2)  5xy 2 1)

Regla de signos para el cociente

( )  ( ) ( )  ( )

4

3)

12x y   9x2 y3z 2

4)

7a bc  4 2 21a c

4

( )  ( ) ( )  ( )

Simplificación de coeficientes

Dividimos literales (reglas de los exponentes)

18 6 3 5 1 5 12 4  9 3

x5 2 x x3 x 2y 5  xy 3 xy2

7 1  21 3

a 4bc b  a4 c2 c

x4y x2  x 2 y 3z 2 y2 z2

Resultado

 6x2 x y3 2

4x  2 2 3y z

b 3c

b) División de polinomio entre monomio En la división de polinomio entre monomio se puede separar cada uno de los términos entre el monomio que se divide y se resuelve como si fueran divisiones independientes.

Ejemplos: 1)

5 4 3 4x  8x  6x  2 2x

Se separan cada uno de los términos del polinomio entre el monomio. 5 4 3 5 4 3 4x  8x  6x 4x 8x 6x    2 2 2 2 2x 2x 2x 2x

Se realiza la división de cada término. 5 4 3 4x  8x  6x  2x 3  4x 2  3x 2x 2

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2)

2 5 5 4 3 4x y  12 x y  8 x y  3 2x y

Se separan cada uno de los términos del polinomio entre el monomio. 2 5 5 4 3 2 5 5 4 3 4 x y 12 x y  8 x y 4x y 12 x y 8x y    3 3 3 3 2x y 2x y 2x y 2x y

Se realiza la división de cada término.

4 x2 y5 12 x5 y4  8 x3 y 2 y 4 2 3  6 x y  4 3 2x y x

3)

2 6 5 4 3 7 8a b  7a b 15a b  3 8 4a b

Se separan cada uno de los términos del polinomio entre el monomio. 2 6 5 4 3 7 2 6 5 4 3 7 8a b  7 a b  15a b 8a b 7a b 15a b    4a 3b 8 4a 3b 8 4a 3b 8 4a 3b 8

Se realiza la división de cada término. 2 6 5 4 3 7 2 8a b  7a b  15a b 2 7a 15   4 3 8 2 4a b 4b 4b ab

c) División de polinomio entre polinomio ¿Recuerdas cómo realizar la siguiente división? 5 56 Recordemos juntos: Antes de comenzar, ve cuáles son los componentes de una división.

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Divide el primer número del dividendo entre el divisor y el resultado lo escribes en el cociente:

5 1 5

Multiplica el cociente por el divisor y cambia el signo ya que se va a restar 5 1  5 Resta y baja el siguiente número. Repite el proceso dividiendo

6  1 colocándolo en el cociente, se 5

multiplica por el divisor y se le cambia el signo para restar:

Este tipo de divisiones las aprendiste en la primaria, para realizar la división de un polinomio entre un polinomio realiza el mismo procedimiento.

Ejemplos: 2 3 1) 15 x  20 x 10 x 

x 1

Ordena los dos polinomios en orden descendente

20 x 3  15 x 2 10 x  x 1 Divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor y el resultado lo colocas en el cociente. Luego multiplica el cociente por cada término del divisor y cambia el signo para la resta, acomodándolo debajo de su término semejante:

Se efectúa la resta y se baja el término que sobró.

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Repite el proceso: divide el primer término del resultado de la resta entre el primer término del divisor y el resultado lo deberás poner en el cociente. Después multiplica el cociente por cada término del divisor y cambia el signo para la resta, acomodándolo debajo de su término semejante.

Se efectúa la resta y se baja el término que sobró y repite el proceso. ¿Cuándo terminaste? Cuando ya no se puede dividir el primer término del residuo entre el primer término del divisor, en este caso

5 ya no se puede simplificar. x

El resultado de la división será:

20 x 2  5x  5 

5 x 1

El resultado de la división de un polinomio entre un polinomio se escribe de la siguiente forma: 5 ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.

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Cociente 

Re siduo Divisor

3

2)

4x  3x  2  2x 2  3

Se recomienda llenar con ceros los términos que no aparecen al ordenar el polinomio en orden descendente, tanto en el numerador como en el denominador. 3 2 4 x  0 x  3 x 2  2x 2  0x  3

En este caso, ya no se puede seguir dividiendo, por lo tanto, el resultado es:

2x 

3x  2 2 x2  3

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