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TRABAJO ACERCA DE CINEMATICA DE MECANISMO Y CALCULO DE VELOCIDADES Y ACELERACIONES ...

Description

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MECANISMOS Homero Jiménez Rabiela Benjamín Vázquez González

Departamento de Energía

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Mecanismos Los autores agradecen el apoyo institucional de la Universidad Autónoma Metropolitana y de la Unidad Azcapotzalco en lo general así como de la División de Ciencias Básicas e Ingeniería y del Departamento de Energía en lo particular.

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Contenido 1.

Introducción. .................................................................................................................................................. 5

2.

Fundamentos. ............................................................................................................................................... 5

3.

4.

5.

6.

7.

2.1.

Pares cinemáticos. ................................................................................................................................. 5

2.2.

Eslabones, cadenas cinemáticas y mecanismos. .................................................................................. 8

2.3.

Límites y ocultamiento de pares cinemáticos de revoluta. .................................................................. 11

2.4.

Inversión cinemática. ........................................................................................................................... 13

2.5.

Mecanismo plano de cuatro eslabones. .............................................................................................. 15

2.6.

Ley de Grashof. ................................................................................................................................... 18

Análisis de posiciones. ................................................................................................................................ 20 3.1.

Ecuación de cierre de circuito. ............................................................................................................. 20

3.2.

Análisis gráfico de la posición. ............................................................................................................. 21

3.3.

Análisis de algebra compleja de la posición. ....................................................................................... 24

3.4.

Eslabonamientos equivalentes. ........................................................................................................... 25

Análisis de velocidades. .............................................................................................................................. 31 4.1.

Ventaja mecánica. ............................................................................................................................... 31

4.2.

Mecanismos de retorno rápido. ........................................................................................................... 33

4.3.

Centros instantáneos de velocidad. ..................................................................................................... 35

4.3.1.

Teorema de Aronhold-Kennedy de los tres centros. .................................................................... 36

4.3.2.

Teorema de la razón de velocidades angulares. .......................................................................... 38

4.4.

Análisis gráfico de la velocidad: Polígono de velocidades. .................................................................. 40

4.5.

Contacto directo y contacto por rodadura. ........................................................................................... 45

Análisis de aceleraciones. ........................................................................................................................... 59 5.1.

Análisis gráfico de la aceleración: Polígono de aceleraciones. ........................................................... 59

5.2.

Contacto directo y contacto por rodadura. ........................................................................................... 67

Levas. .......................................................................................................................................................... 79 6.1.

Clasificación de levas y seguidores. .................................................................................................... 80

6.2.

Diagramas de desplazamiento. ........................................................................................................... 85

6.3.

Diseño gráfico de perfiles de levas. ..................................................................................................... 87

6.4.

Derivadas del movimiento del seguidor. .............................................................................................. 94

6.5.

Seguidores de gran velocidad. ............................................................................................................ 98

6.6.

Movimientos estándar de los seguidores............................................................................................. 98

6.7.

Fronteras entre secciones. ................................................................................................................ 108

6.8.

Semejanzas entre levas y mecanismos de cuatro barras. ................................................................ 114

Engranajes. ............................................................................................................................................... 116

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8.

7.1.

Terminología y definiciones. .............................................................................................................. 116

7.2.

Ley fundamental del engranaje. ......................................................................................................... 119

7.3.

Propiedades de la involuta. ................................................................................................................ 120

7.4.

Engranes intercambiables. ................................................................................................................ 124

7.5.

Fundamentos de la acción de los dientes de engranes. .................................................................... 125

7.6.

Trenes de engranes. .......................................................................................................................... 133

7.6.1.

Trenes de engranes de ejes paralelos y definiciones. ................................................................ 133

7.6.2.

Ejemplos de trenes de engranes. ............................................................................................... 134

7.6.3.

Determinación del número de dientes. ....................................................................................... 137

7.6.4.

Trenes de engranes epicíclicos. ................................................................................................. 138

7.6.5.

Trenes epicíclicos de engranes cónicos. .................................................................................... 142

7.6.6.

Solución de trenes planetarios. .................................................................................................. 143

Introducción a mecanismos de circuito abierto. ........................................................................................ 145 8.1.

8.1.1.

Movilidad. .................................................................................................................................... 146

8.1.2.

Ecuación de desplazamiento (geometría analítica). ................................................................... 154

8.1.3.

Método matricial. ........................................................................................................................ 162

8.2. 9. "

Mecanismos tridimensionales de circuito cerrado. ............................................................................ 146

Mecanismos tridimensionales de circuito abierto. ............................................................................. 165

Bibliografía. ............................................................................................................................................... 167"

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1. Introducción. Al final de la Unidad de Enseñanza aprendizaje el alumno será capaz de analizar cualitativa y cuantitativamente las características cinemáticas de los eslabones que constituyen un mecanismo. Los eslabones serán considerados cuerpos rígidos. En ingeniería, mecanismo y máquina son términos usados frecuentemente. Algunos textos sugieren que si la idea predominante es transferir movimiento, el dispositivo será denominado mecanismo; cuando la idea predominante es transferir potencia el dispositivo será denominado máquina. El estudio del movimiento de un cuerpo rígido o cuerpos rígidos interconectados puede dividirse en dos partes. La primera que trata solo con aspectos geométricos y de las características del movimiento, es denominada cinemática. En cinemática no se hace referencia a las fuerzas que causan el movimiento. Dado el movimiento de un (o más) miembro (s), los demás miembros son analizados en relación a sus restricciones geométricas. En la segunda parte, llamada cinética, los movimientos característicos son analizados con referencia a las fuerzas involucradas. Las inercias de las diferentes partes en movimiento juegan un papel importante en cinética. Para el mismo sistema, la palabra mecanismo es usada si se estudia la cinemática, y la palabra máquina es usada cuando se estudia la cinética.

2. Fundamentos. Se entenderá por cuerpo rígido al formado por un conjunto de puntos materiales, ubicados temporalmente en lugares geométricos, cuyas distancias mutuas permanecen invariantes bajo la aplicación de una fuerza o de un par. Un cuerpo rígido conserva, por lo tanto, su forma y dimensiones durante el movimiento.

2.1.

Pares cinemáticos.

Una clave para comprender un mecanismo radica en la naturaleza de sus conexiones, llamadas pares cinemáticos, y en el tipo de movimientos relativos que permiten. Si consideramos el movimiento relativo de dos cuerpos rígidos desconectados en un espacio tridimensional, seis coordenadas independientes son requeridas para describir este movimiento relativo. En otras palabras, este movimiento relativo tiene seis grados de libertad (GDL), tres de los cuales son traslaciones a lo largo de tres direcciones mutuamente perpendiculares. Los tres restantes son rotaciones alrededor de ejes definidos por cada una de estas direcciones. Recordemos que un eje es dado por una línea en el espacio mientras que una dirección es indicada por todas las líneas paralelas a la misma. Cuando estos cuerpos son conectados, formando un par cinemático, uno o más (máximo cinco) de estos seis GDL son restringidos. Los pares cinemáticos son clasificados de acuerdo a los GDL que son retenidos, es decir, la naturaleza del movimiento relativo el cual es permitido. Los GDL de un par cinemático son dados por el número de coordenadas

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independientes requeridas para especificar completamente el movimiento relativo. Hay muchas formas diferentes de construcción física de un par cinemático, sin embargo, solo el movimiento relativo entre los cuerpos define el tipo de par cinemático. Par cinemático de revoluta (R).- Un par cinemático de revoluta, ilustrado en la Figura 1.1.1, permite solo rotación relativa entre los cuerpos rígidos 1 y 2 alrededor de un eje. Tiene, por lo tanto, un GDL expresado por la variable 𝜃 . Ambos cuerpos pueden rotar en el mismo sentido uno más rápido que el otro para que haya movimiento relativo.

Figura 1.1.1

Figura 1.1.2

Par cinemático prismático (P).- Como se muestra en la Figura 1.1.2, un par cinemático prismático permite solo una traslación rectilínea entre los cuerpos 1 y 2. Por lo tanto tiene un GDL expresado por la variable 𝑠. Par cinemático de tornillo (H) (RP).- Como se muestra en la Figura 1.1.3, un par cinemático de tornillo también tiene un GDL, puesto que el movimiento relativo entre los cuerpos 1 y 2 puede ser expresado por una variable 𝜃 o 𝑠 . Estas dos variables están relacionadas por la ecuación ∆! !!

=!

∆! !

-----

(1.1.1)

Donde 𝐿 es el paso de la cuerda. Puede notarse que los pares cinemáticos R y P son casos particulares del par cinemático de tornillo con 𝐿 igual a cero e infinito, respectivamente.

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Figura 1.1.3

Figura 1.1.4

Par cinemático cilíndrico (C) (RP).- Como se muestra en la Figura 1.1.4, un par cinemático cilíndrico tiene dos GDL porque permite rotación alrededor del eje longitudinal y traslación en la dirección del mismo, entre los elementos conectados. Las variables de este par son 𝜃 y 𝑠 . Par cinemático esférico (S) (RRR).- Como se muestra en la Figura 1.1.5, una esfera y su alojamiento forman un par cinemático esférico. Tiene tres GDL rotacionales, puesto que tres coordenadas angulares independientes son necesarias para describir completamente el movimiento relativo.

Figura 1.1.5

Figura 1.1.6

Par cinemático plano (E) (RPP).- Como se muestra en la Figura 1.1.6, un par cinemático plano tiene tres GDL; dos de éstos son traslaciones relativas en el plano 𝑥𝑦 y el tercero es la rotación alrededor de un eje en la dirección 𝑧. Las variables del par son 𝑠! , 𝑠! y 𝜃; donde las dos primeras se refieren a la traslación relativa de un punto sobre el cuerpo 2 a lo largo de las direcciones 𝑥 e 𝑦 , respectivamente, y la tercera se refiere a la rotación relativa (entre los cuerpos 1 y 2) en la dirección 𝑧.

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Puede notarse que los seis pares cinemáticos descritos anteriormente son ilustrados a través de ensambles implicando área de contacto entre los elementos. Sin embargo, en la construcción física el contacto de área no es obligado, por ejemplo, un par cinemático P puede obtenerse entre superficies planas insertando algunos balines en la interface, o un par cinemático de R puede obtenerse entre un eje recto y su pieza continente insertando un rodamiento de rodillos en la interface. Históricamente, estos seis tipos de pares cinemáticos son denominados pares inferiores para diferenciarlos de aquellos pares cuyas piezas 1 y 2 tienen contacto lineal o puntual denominados pares superiores. En las Figuras de la 1.1.1 a la 1.1.5, el contacto entre los elementos del par cinemático mostrado se obtiene por la geometría de los cuerpos rígidos en contacto. Estos son conocidos como pares cinemáticos con cierre de forma. Si el contacto es asegurado por una fuerza externa (por ejemplo, la de un resorte), tenemos un par cinemático con cierre de fuerza. Los GDL de los pares inferiores descritos de la Figura 1.1.1 a la Figura 1.1.6 varían de uno a tres. En las Figuras 1.1.7 a 1.1.9 se muestran pares cinemáticos superiores con cuatro, cuatro y cinco grados de libertad, respectivamente; en los tres casos así como en el de la Figura 1.1.6 el cierre, de fuerza, es asegurado por la fuerza de gravedad.

Figura 1.1.7

2.2.

Figura 1.1.8

Figura 1.1.9

Eslabones, cadenas cinemáticas y mecanismos.

Los cuerpos rígidos que se unen para formar un par cinemático, conjunto de dos cuerpos rígidos con movimiento entre sí, son conocidos como eslabones. Una cadena cinemática es una serie de eslabones conectados por pares cinemáticos. La cadena es de circuito cerrado si cada eslabón está conectado al menos a otros dos eslabones. En caso contrario la cadena es de circuito abierto. Un eslabón conectado únicamente a otro eslabón es conocido como un eslabón singular. Si está conectado a dos eslabones es denominado eslabón binario. Similarmente, si un eslabón está conectado a tres eslabones, es conocido como eslabón ternario. Eslabones cuaternarios y de orden mayor son definidos de igual manera. Por definición, una cadena de circuito cerrado no puede contener ningún eslabón singular. Una cadena de circuito cerrado consistente solo de eslabones binarios es denominada cadena simple. En caso contrario, es denominada cadena compuesta.

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Un mecanismo es una cadena cinemática con un eslabón fijo. La expresión eslabón fijo implica el marco de referencia y el movimiento relativo, con respecto a este marco. Un mecanismo generado a partir de una cadena simple puede ser fácilmente identificado por un circuito cerrado, y puede ser representado por la secuencia de pares cinemáticos ocurriendo en el circuito. Por ejemplo, el mecanismo mostrado en la Figura 1.2.1 puede ser escrito simbólicamente como un mecanismo RRRR y el de la Figura 1.2.2 puede ser escrito simbólicamente como RRRP.

Figura 1.2.1

Figura 1.2.2

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Los GDL de un mecanismo están dados por el número de variables independientes necesarias para definir completamente el movimiento relativo entre todos sus eslabones. Para evitar la confusión entre GDL de par cinemático y GDL de un mecanismo, a los GDL de un mecanismo les denominaremos movilidad del mecanismo. Cadenas cinemáticas de circuito abierto.- En este caso, todos los eslabones son singulares. Manipuladores.- Los manipuladores diseñados para simular el movimiento de nuestro brazo y mano son ejemplos de cadenas cinemáticas de circuito abierto. Un manipulador típico consiste de una base soporte con eslabones conectados en serie, conteniendo el eslabón final una herramienta o “mano”. Ordinariamente, los eslabones se conectan por pares cinemáticos de revoluta y/o prismáticos, en ocasiones la mano puede incluir un par de tornillo. Sistemas recientes de este tipo incluyen manipuladores tipo maestro esclavo para manipular materiales radioactivos. El manipulador esclavo reproduce el movimiento del brazo y mano de un operador controlando el manipulador maestro. Robots.- Manipuladores programables, denominados robots, pueden seguir una secuencia de pasos dirigida por un programa de computadora. A diferencia de máquinas dedicadas a una sola tarea, los robots pueden ser re-instrumentados y reprogramados para una variedad de tareas. Los robots típicos incluyen tareas de pintura en aerosol, ensamble de partes y soldadura. La configuración de circuito abierto de los robots implica problemas con la precisión de la posición. Este problema es algunas veces superado usando plantillas y sistemas de herramientas adaptivas. También es posible lograr precisión en la posición incorporando sensores retroalimentados en el sistema de control del robot. Sensores de estado interno pueden detectar variables tales como la posición de un par cinemático. Sensores de estado externo pueden medir proximidad, contacto, fuerza, y torque. Máquinas con la capacidad sensorial para ver y escuchar están disponibles en algunos sistemas de robot. Sistemas retroalimentados de función sensorial permiten comportamiento adaptivo del robot. Un transductor de fuerza incorporado en una mano robot puede retroalimentar una señal para el sistema de control, con lo cual altera el p...