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apuntes completo acerca de los números naturales ...

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Números Naturales

Números Naturales Definición

Son aquellos números utilizados como forma de enumeración de los elementos que están dentro de un conjunto, que a su vez también conforman un conjunto. Los números naturales pueden tener dos finalidades, para especificar el tamaño de un conjunto finito o para describir la posición de un número dentro de una secuencia. Todos los números naturales pertenecen al conjunto Es decir: ℕ = {1, 2, 3, 4, …} Principios 1. los números naturales son infinitos

Da a entender que los números naturales no tiene una cantidad finita, es decir, que aunque imagines una cantidad muy grande siempre habrá cantidades que lo superen.

2. Los números naturales son positivos

ℕ = {1, 2, 3, 4, …}  = {-4, -3, -2, -1, 0,+1,+2,+3,+4 …} El conjunto de los números naturales esta conformado únicamente por números enteros positivos. 3. Los números naturales tienes sucesor y un antecesor

Todos los números naturales tienen un numero sucesor exceptuando el 1 un antecesor.

y también

Números Cardinales Números Cardinales Definición

Son números cuya función es la de indicar la cantidad de elementos dentro de un conjunto un conjunto. Los números cardinales son como una forma de generalización de los elementos de un conjunto.

N 0 = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,…..}

Principios 1. Tienen función de subíndice

N0 Los números cardinales se expresan como un subíndice donde se muestra la cantidad de elementos que hay en el conjunto.

2. Se representa comúnmente con letras mayúsculas

|A| |B| |C| Los cardinales se representan casi siempre como letras mayúsculas que están encerradas por dos barras.

Principio de inclusión-exclusión

Es un método utilizado en la teoría de conjunto como una forma de llevar recuento para calcular el cardinal de una unión de varios conjuntos que no sean disjuntos.

La fórmula da a entender que la unión tanto de A como de B que no son disyuntivas es igual a la suma de los valores de A y B menos el valor de la intersección de los dos puntos. Esta fórmula tiene una versión para cuando tienes tres conjunto que se expresa así:

Como también otra fórmula para grandes cantidades de conjuntos:

Principio básico del conteo

Es una técnica que se utiliza para determinar los posibles resultados cuando hay dos o más característica que pueden variar.

Hay dos principios básicos de conteo, uno comprende la adición y otro la multiplicación. Principio Fundamental de la Adición

El principio establece que si hay un evento que tiene dos probabilidades independientes, y que no halla posibilidad de que un mismo evento ocurra en lugares diferentes al mismo tiempo, resulta ser el total de la suma de todas las posibilidades. Por lo que la formula expresa:

n+m

Ejemplo: una persona puede pagar el servicio de agua potable en cualquiera de las 7 oficinas municipales o bien en cualquiera de los 30 bancos de la ciudad. ¿En cuántos lugares diferentes se puede pagar el servicio de agua potable? Lugares en donde se puede pagar = n + m= 7 + 30 = 37

Principio Fundamental del Producto

Establece que un evento que se puede hacer de n variables diferentes y otro evento que se puede hacer de m formas diferentes, resulta en el producto de las variables de los eventos. Por lo que la formula expresa:

nxm

Ejemplo: un algoritmo tiene 3 procedimientos (A,B,C) y cada procedimiento tiene 4 ciclos (1,2,3,4) ¿Cuántos ciclos tiene el algoritmo? Aplicando el principio fundamental del producto se tiene que Total de ciclos= 3 x 4= 12 El conjunto E de resultados posibles es: E={A1,A2,A3,A4,B1,B2,B3,B4,C1,C2,C3,C4}

Breve historia del sistema numérico Cuando los hombres empezaron a contar usaron los dedos, guijarros, marcas en bastones, nudos en una cuerda y algunas otras formas para ir pasando de un número al siguiente. A medida que la cantidad crece se

hace necesario un sistema de representación más práctico. En diferentes partes del mundo y en distintas épocas se llegó a la misma solución, cuando se alcanza un determinado número se hace una marca distinta que los representa a todos ellos. Este número es la base. Se sigue añadiendo unidades hasta que se vuelve a alcanzar por segunda vez el número anterior y se añade otra marca de la segunda clase. Desde hace 5000 años la gran mayoría de las civilizaciones han contado en unidades, decenas, centenas, millares etc. es decir de la misma forma que seguimos haciéndolo hoy. Sin embargo la forma de escribir los números ha sido muy diversa y muchos pueblos han visto impedido su avance científico por no disponer de un sistema eficaz que permitiese el cálculo. Desde el tercer milenio A.C. los egipcios usaron un sistema describir los números en base diez utilizando los jeroglíficos de la figura para representar los distintos órdenes de unidades. El primer sistema de numeración griego se desarrolló hacia el 600 A.C. Era un sistema de base decimal que usaba los símbolos de la figura siguiente para representar esas cantidades. Se utilizaban tantas de ellas como fuera necesario según el principio de las numeraciones aditivas, La forma clásica de escritura de los números en China se empezó a usar desde el 1500 A.C. aproximadamente. Es un sistema decimal estricto que usa las unidades y los distintas potencias de 10. Utiliza los ideogramas de la figura y usa la combinación de los números hasta el diez con la decena, centena, millar y decena de millar para según el principio multiplicativo representar 50, 700 ó 3000. Entre la muchas civilizaciones que florecieron en la antigua Mesopotamia se desarrollaron distintos sistemas de numeración. En el ssss A.C. se. Inventó un sistema de base 10, aditivo hasta el 60 y posicional para números superiores. Para la unidad se usaba la marca vertical que se hacía con el punzón en forma de cuña. Se ponían tantos como fuera preciso hasta llegar a 10, que tenía su propio signo. De este se usaban los que fuera necesario completando con las unidades hasta llegar a 60. Los mayas idearon un sistema de base 20 con el 5 cómo base auxiliar. La unidad se representaba por un punto. Dos, tres, y cuatro puntos servían para 2, 3 y

4. El 5 era una raya horizontal, a la que se añadían los puntos necesarios para representar 6, 7, 8 y 9. Para el 10 se usaban dos rayas, y de la misma forma se continúa hasta el 20, con cuatro rayas. Casi todos los sistemas utilizados representan con exactitud los números enteros, aunque en algunos pueden confundirse unos números con otros, pero muchos de ellos no son capaces de representar grandes cantidades, y otros requieren tal cantidad de sí Pero sobre todo no permiten en general efectuar operaciones tan sencillas como la multiplicación, requiriendo procedimientos muy complicados que sólo estaban al alcance de unos pocos iniciados. De hecho cuando se empezó a utilizar en Europa el sistema de numeración actual, los abaquistas, los profesionales del cálculo se opusieron con las más peregrinas razones, entre ellas la de que siendo el cálculo algo complicado en sí mismo, tendría que ser un método diabólico aquel que permitiese efectuar las operaciones de forma tan sencilla. El sistema actual fue inventado por los indios y transmitido a Europa por los árabes;. Del origen indio del sistema hay pruebas documentales más que suficientes, entre ellas la opinión de Leonardo de Pisa (Fibonacci) que fue uno de los introductores del nuevo sistema en la Europa de 1200. El gran mérito fue la introducción del concepto y símbolo del cero, lo que permite un sistema en el que sólo diez símbolos puedan representar cualquier número por grande que sea y simplificar la forma de efectuar las operaciones.

Relaciones Binarias

Es la relación que existe entre dos elementos a y b, respectivamente de los conjuntos A y B. esta relación se puede denotar de la siguiente forma: 1. Como pares ordenados (a

, b)

2. Indicando que aRb

3. Como la mezcla de las dos R(a , b)

Ejemplo: Sea el conjunto A= {el conjunto de los números naturales}, una relación binaria del conjunto de A sobre sí mismo puede ser, R= ser múltiplo de. De tal forma que, por ejemplo 4 está relacionado con 2 (es decir, 4 es un múltiplo de 2), por tanto escribimos 4R2 o (4,2). En el caso de no estar relacionados escribiremos a no está relacionado con b tachando la R. Un ejemplo de dos elementos que no están relacionados con esta relación son 3 y 5.

Relaciones de un conjunto Relación de pertenencia Para comenzar, debes comprender la relación entre los conjuntos y los elementos que lo conforman. Cuando un objeto es uno de los elementos de un conjunto decimos que pertenece al conjunto.

Como has visto, es posible representar gráficamente la relación de pertenencia por medio de diagramas de Venn dibujando el elemento dentro de un círculo que representa el conjunto. Ahora aprenderás a representar esta relación por medio de símbolos matemáticos.

Se usa el símbolo que se muestra en la parte izquierda de la siguiente figura, como el símbolo de la pertenencia. Si queremos representar que cierto objeto no pertenece a determinado conjunto, usaremos el mismo símbolo atravesado por una línea, como se muestra en la figura de abajo a la derecha.

Relación de contenencia Si todos los elementos de un conjunto A pertenecen a otro conjunto B se dice que A esta en B, es decir, A es subconjunto de B. El símbolo ⊂ se utiliza para indicar si un conjunto está contenido en otro conjunto Ejemplo. Considere los siguientes conjuntos: M = {1, 3, 5, 7} N = {2, 4, 6, 8 } Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} Observe que todos los elementos del conjunto M se encuentran también en el conjunto Q; decimos entonces que M está contenido en Q y lo denotamos así: M ⊂ Q. En este caso también se dice que M es subconjunto de Q. Observe que N también es un subconjunto de Q entonces N ⊂ Q.

Relación de igualdad Se dice que dos conjuntos son iguales si tienen exactamente los mismos elementos. Una forma práctica de establecer si dos conjuntos son iguales es determinar si se contienen el uno al otro.

Relaciones de equivalencia

Una relación binaria es de equivalencia cuando cumple la propiedad de ser reflexiva, simétrica y transitiva. Ejemplo: Dada la relación de equivalencia siguiente: “dos números están relacionados siempre y cuando su diferencia sea un número par” (es decir, aRb ↔ a-b es par), sobre el conjunto de los números enteros; demostrar que es una relación de equivalencia.

Para ello, tenemos que demostrar que se cumplen las cuatro propiedades que hemos mencionado en la definición: 1. Es reflexiva: para todo elemento de los números enteros aRa, ya que a-a=0, que se considera un número par. 2. Es simétrica: para cualesquiera dos elementos de los números enteros, se tiene que si aRb→bRa, ya que si a-b es un número par, entonces b-a también es un número par (aunque con signo distinto). Por ejemplo: 3R5 porque 3-5= -2 (número par), y 5R3 porque 5-3=2 (número par). 3. Es transitiva: Si se cumple que aRb y bRc → aRc, ya que si a-b es un número par y b-c es un número par entonces a-c que también se puede escribir como a-c=a-b+b-c=(a-b)+(b-c) es un número par por ser suma de dos números pares. Por ejemplo: 5R9 (9-5=4 par) y 9R15 (9-15=-6 par), entonces 5R15 (5-15=-10 par).

Relaciones De Orden

Una relación binaria es de orden cuando cumple las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva. Cuando además cumple la propiedad conexa, diremos que el conjunto está totalmente ordenado, en caso contrario diremos que el conjunto está parcialmente ordenado. Ejemplo: La relación ser múltiplo de sobre el conjunto de los números naturales N, es una relación de orden. Vamos a comprobar que se cumplen todas las propiedades: 1. Es reflexiva: ya que para todo elemento x, del conjunto N se cumple que xRx. Por ejemplo: 2R2, ya que 2=2∙1. 2. Es antisimétrica: Dados dos elementos cualesquiera se cumple que el uno está relacionado con otro, pero no al contrario: xRy, pero x noR y. Por ejemplo: 4R2, pero 2 noR 4. 3. Es transitiva: Si un número es múltiplo de otro, que a su vez es múltiplo de otro, en entonces el primer número es múltiplo del úlitmo: xRy, e yRz, entonces xRx. Por ejemplo: 18R9, 9R3, entonces 18R3. 4-Pero no se cumple la propiedad conexa, ya que dados dos elementos cualesquiera, estos no tienen por qué estar relacionados. Por ejemplo: si consideramos el 4 y el 5, entonces 4 noR 5, y además 5 noR4. Luego, la relación ser múltiplo de no es una relación de orden total, por tanto R(N) es un conjunto parcialmente ordenado.

Operación binaria Operaciones como la suma, resta, multiplicación o división de números son consideradas operaciones binarias, ya que asocian a un par de números con un resultado. En general, una operación binaria tiene dos características esenciales:

1.

Se aplica a un par de elementos con una naturaleza determinada.

2. Asocia a dicho par con otro único elemento de la misma naturaleza determinada; la asociación se realiza por medio de un criterio definido. Propiedades de las operaciones binarias Cuando un conjunto tiene definida una operación binaria se puede formar un sistema algebraico que posee una estructura definida, la cual está ligada a las diferentes propiedades que posea la operación binaria.

Los niveles y diferentes tipos de estructuras algebraicas están sujetos a la naturaleza de las propiedades que se cumplen para una operación en un conjunto dado. Así, las estructuras de grupo, anillo y campo se diferencian por el número de operaciones y las propiedades que éstas cumplen en un conjunto numérico dado.

La primera de estas propiedades es inherente al concepto de operación binaria: a cada par de elementos de cierta naturaleza se le asigna un resultado de ésa misma naturaleza.

Ejemplo: Si se aplica la suma a los números naturales, el resultado será otro número natural:

� + � = � ∀ �, �, � ∈ ℕ Si se tuviesen los números naturales 3 y 4, el resultado de su suma es 7, otro número natural. Esto quiere decir que una operación binaria es cerrada; o sea, una operación definida en un conjunto S da como resultado un elemento de ese conjunto S.

Grupo La estructura algebraica más simple que se estudia es el grupo. Este define a un conjunto que posee una operación binaria y se cumplen tres propiedades: asociación, elemento neutro y elemento inverso. Sea G un conjunto no vacío con una operación binaria (∗) definida. G es un grupo si cumple que: 1. (� ∗ �) ∗ � = � ∗ (� ∗ �)

2. ∃ � ∈ � , � ∗ � = � ∗ � ⇒ � Para cualquier ,, ∈ �

.

Grupo abeliano El grupo abeliano añade la propiedad conmutativa a la definición de grupo. Se dice que (�, ∗) es un grupo abeliano (o conmutativo) si la operación (∗) cumple con

�∗� =�∗�

∀ �, � ∈ �

Anillo Conocido el grupo, se puede ampliar esta estructura a una más completa; que pueda abarcar no sólo nuevas propiedades para una operación binaria, sino que permite definir una nueva operación dentro del conjunto al cual se asocia la primera operación binaria. Este tipo de criterio se presenta en los anillos. Sea A un conjunto no vacío, donde se definen las operaciones (∗) y (⋄). El sistema (� , ∗, ⋄) es un anillo, si se cumplen ∀ �, �, � ∈ �:

Para la primera operación se satisface 1. La asociación, (� ∗ �) ∗ � = � ∗ (� ∗ �) 2. La conmutación, � ∗ � = � ∗ � 3. La existencia del elemento neutro, � ∗ � = � 4. La existencia de elementos inversos Para la segunda operación se satisface 5. La asociación, (� ⋄ �) ⋄ � = � ⋄ (� ⋄ �) 6. La distribución por la izquierda sobre la primera operación, � ⋄ (� ∗ �) = (� ⋄ �) ∗ (� ⋄ �) La distribución por la derecha sobre la primera operación, (� ∗ �) ⋄ � = (� ⋄ �) ∗ ( � ⋄ �)

La primera operación define al grupo abeliano (�, ∗). Por lo que un anillo es un grupo abeliano para la primera operación definida; dicha estructura de grupo se conoce como la estructura aditiva del anillo.

Un caso peculiar es el elemento neutro de la primera operación, e, que es conocido como el cero del anillo; se debe hacer hincapié que el término cero no se refiere al número 0, ya que A puede ser un conjunto no-numérico.

Ejemplo: El sistema (ℝ, +,∙) es un anillo, ya que los números reales cumplen las propiedades de asociación, existencia de elemento neutro, existencia de elementos inversos y conmutación para la suma:    

(� + �) + � = � + (� + �) �+�=�+� 0+�=� � + (−�) = 0

Mientras tanto, la multiplicación cumple con la asociación, y la distribución sobre la suma:   

(� ∙ �) ∙ � = � ∙ (� ∙ �) � ∙ (� + �) = (� ∙ �) + (� ∙ �) (� + �) ∙ � = (� ∙ �) + (� ∙ �)

Campo Si a la segunda operación se le agrega la posibilidad de la existencia de elementos inversos, se obtendrá la estructura algebraica más completa: el campo o cuerpo. Dicha estructura contiene las propiedades ya estudiadas en el Álgebra Superior al momento de formalizar el conjunto de los números reales y de los números complejos: cerradura, asociación, conmutación, elemento neutro y elementos inversos para las operaciones de suma y multiplicación; y la distribución de multiplicación sobre la suma. ℚ, ℝ y ℂ son los únicos campos numéricos; esto no quiere decir que sean los únicos, ya que pueden establecerse operaciones con conjuntos no-numéricos....