Orden, conteo y numeros naturales PDF

Preview

Summary

aritmmetica...

Description

Orden En su función de representar cantidades, existen unos números naturales que representan más que otros. Decimos entonces que hay números naturales mayores o menores que otros, esta relación es llamada orden. Para representar que un número es mayor que otro usaremos el símbolo “mayor que”: , de la siguiente manera: ubicamos el número mayor al lado abierto del símbolo , el menor lo ubicamos al otro lado. Tomemos como ejemplo el y el . Sabemos desde nuestra infancia que el representa una mayor cantidad de elementos que el . Debemos escribir por lo tanto . Esta expresión debe ser leída como “cinco es mayor que tres”.

También usamos el símbolo , que es leído como “menor que”. Podemos entonces representar la relación así: que debe ser leída como “tres es menor que cinco”. Una forma práctica de recordar cómo escribir estas relaciones es recordar una pequeña historia: al comienzo, el pez grande siempre iba en persecución de los pequeños... Pero los peces pequeños se unieron y ahora todos juntos van al acecho del pez grande. Por esta razón la boca del signo siempre va dirigida al pez más grande:

Podemos unir varias relaciones de mayor y menor de la siguiente manera: sabemos que y . Podemos escribir expresando no solamente las dos relaciones anteriores, además se da a entender

conteo Las técnicas de conteo son estrategias matemáticas usadas en probabilidad y estadística que permiten determinar el número total de resultados que puede haber a partir de hacer combinaciones dentro de un conjunto o conjuntos de objetos. Este tipo de técnicas se utilizan cuando es prácticamente imposible o demasiado pesado hacer de forma manual combinaciones de diferentes elementos y saber cuántas de ellas son posibles. Este concepto se entenderá de forma más sencilla a través de un ejemplo. Si se tienen cuatro sillas, una amarilla, una roja, una azul y una verde, ¿cuántas combinaciones de tres de ellas se pueden hacer ordenadas una al lado de la otra? Se podría resolver a este problema haciéndolo manualmente, pensando en combinaciones como azul, rojo y amarillo; azul, amarillo y rojo; rojo, azul y amarillo, rojo, amarillo y azul… Pero esto puede requerir mucha paciencia y tiempo, y para eso haríamos uso de las técnicas de conteo, siendo para este caso necesaria una permutación. Los cinco tipos de técnicas de conteo Las principales técnicas de conteo son las siguientes cinco, aunque no las únicas, cada una con unas particularidades propias y utilizadas en función de los requisitos para saber cuántas combinaciones de conjuntos de objetos son posibles. Realmente, este tipo de técnicas se pueden dividir en dos grupos, en función de su complejidad, siendo uno conformado por el principio multiplicativo y el principio aditivo, y el otro, estando conformado por las combinaciones y las permutaciones. 1. Principio multiplicativo Este tipo de técnica de conteo, junto con el principio aditivo, permiten comprender fácilmente y de forma práctica cómo funcionan estos métodos matemáticos. Si un evento, llamemoslo N1, puede ocurrir de varias formas, y otro evento, N2, puede ocurrir de otras tantas, entonces, los eventos conjuntamente pueden ocurrir de N1 x N2 formas. Este principio se utiliza cuando la acción es secuencial, es decir, está conformada por eventos que ocurren de forma ordenada, como son la construcción de una casa, el elegir los pasos de baile en una discoteca o el orden que se seguirá para preparar un pastel. Por ejemplo: En un restaurante, el menú consiste en un plato principal , un segundo y postre. De platos principales tenemos 4, de segundos hay 5 y de postres hay 3. Entonces, N1 = 4; N2 = 5 y N3 = 3. Así pues, las combinaciones que ofrece este menú serían 4 x 5 x 3 = 60 2. Principio aditivo En este caso, en vez de multiplicarse las alternativas para cada evento, lo que sucede es que se suman las varias formas en las que pueden ocurrir. Esto quiere decir que si la primera actividad puede ocurrir de M formas, la segunda de N y la tercera L, entonces, de acuerdo a este principio, sería M + N + L. Por ejemplo: Queremos comprar chocolate, habiendo tres marcas en el supermercado: A, B y C. El chocolate A se vende de tres sabores: negro, con leche y blanco, además de haber la opción sin o con azúcar para cada uno de ellos. El chocolate B se vende de tres sabores, negro, con leche o blanco, con la opción de tener o no avellanas y con o sin azúcar. El chocolate C se vende de tres sabores, negro, con leche y blanco, con opción de tener o no avellanas, cacahuete, caramelo o almendras, pero todos con azúcar.

En base a esto, la pregunta que se pretende responder es: ¿cuantas variedades distintas de chocolate se pueden comprar? W = número de formas de seleccionar el chocolate A. Y = número de formas de seleccionar el chocolate B. Z = número de formas de seleccionar el chocolate C. El siguiente paso consiste en una simple multiplicación. W = 3 x 2 = 6. Y = 3 x 2 x 2 = 12. Z = 3 x 5 = 15. W + Y + Z = 6 + 12 + 15 = 33 variedades de chocolate diferentes. Para saber si se debe utilizar el principio multiplicativo o el aditivo, la pista principal es si la actividad en cuestión tiene una serie de pasos a realizarse, como era el caso del menú, o existen varias opciones, como es el caso del chocolate. 3. Permutaciones Antes de entender cómo hacer las permutaciones, es importante entender la diferencia entre una combinación y una permutación. Una combinación es un arreglo de elementos cuyo orden no es importante o no cambia el resultado final. En cambio, en una permutación, habría un arreglo de varios elementos en los que sí es importante tenerse en cuenta su orden o posición. En las permutaciones, hay n cantidad de elementos distintos y se selecciona una cantidad de ellos, que sería r. La fórmula que se utilizaría sería la siguiente: nPr = n!/(n-r)! Por ejemplo: Hay un grupo de 10 personas y hay un asiento en el que solo pueden caber cinco, ¿de cuántas formas se pueden sentar? Se haría lo siguiente: 10P5=10!/(10-5)!=10 x 9 x 8 x 7 x 6 = 30.240 formas diferentes de ocupar el banco. 4. Permutaciones con repetición Cuando se quiere saber el número de permutaciones en un conjunto de objetos, algunos de los cuales son iguales, se procede a realizar lo siguiente: Teniéndose en cuenta que n son los elementos disponibles, algunos de ellos repetidos. Se seleccionan todos los elementos n. Se aplica la siguiente fórmula: = n!/n1!n2!...nk! Por ejemplo: En un barco se pueden izar 3 banderas rojas, 2 amarillas y 5 verdes. ¿Cuántas señales diferentes se podrían hacer izando las 10 banderas que se tienen? 10!/3!2!5! = 2.520 combinaciones de banderas diferentes. 5. Combinaciones En las combinaciones, a diferencia de lo que sucedía con las permutaciones, el orden de los elementos no es importante. La fórmula a aplicar es la siguiente: nCr=n!/(n-r)!r! Por ejemplo: Un grupo de 10 personas quieren hacer limpieza en el barrio y se preparan para formar grupos de 2 miembros cada uno, ¿cuántos grupos son posibles? En este caso, n = 10 y r = 2, así pues, aplicando la fórmula: 10C2=10!/(10-2)!2!=180 parejas distintas.

Nú Números meros o ordinales rdinales Los números se pueden ordenar. De esto se encargan los números ordinales: son algo así como los números naturales perseguidos por un circulito en una bandeja y con una nomenclatura que da problemas a la hora de decidir si se dice así o de otra forma. Ejemplo: ¿cómo se dice 57º?… Tiene para pensar un buen rato, ¿verdad? La respuesta (por si tienes que comparar con lo que pensabas o te has mareado de verdad) es quincuagésimo séptimo. ¡Ahí queda eso! Números cardinales y ordinales Vamos a ver cuál es la diferencia entre los números cardinales y los números ordinales. Los números cardinales se encargan de informarnos de la cantidad de elementos que existen en un grupo. Los números ordinales se encargan de indicar el orden o posición dentro de una sucesión de elementos. Vamos a verlo con un ejemplo:

La imagen anterior muestra un grupo de niños ordenados. El número 5 es un número cardinal que nos indica el total de niños que hay. Los números con fondo amarillo que acompañan a los nombres de los niños son todos, números ordinales. ¿Qué nos están indicando estos números ordinales? Nos están indicando el orden o posición de cada niño dentro de su fila. De este modo sabemos que: •

Juan es el primero (1º) o está en la primera (1ª) posición.

•

Paula es la segunda (2ª) o está en la segunda posición.

•

Marta es la tercera (3ª) o está en la tercera posición.

•

Odilo es el cuarto (4º) o está en la cuarta (4ª) posición.

•

Cristina es la quinta (5ª) o está en la quinta posición.

Convertir un número cardinal en un número ordinal

Convertir un número cardinal en ordinal es muy, muy sencillo. Tan solo debemos agregar al número ordinal un pequeño círculo a modo de superíndice a su derecha. En la siguiente imagen puedes ver varios ejemplos:

Números ordinales del 1 al 100 Ahora vamos a ver cómo se nombran los número ordinales del 1 al 100 y un poco más. Fíjate bien porque algunos de ellos parecen verdaderos trabalenguas. En la tabla se muestran la manera más común de llamar a los números ordinales. Debajo de la tabla haremos mención a algunos casos de nomenclatura especiales. TABLA DE NÚMEROS ORDINALES 1º – 1ª

Primero/a

56º – 56ª

Quincuagésimo/a sexto/a

2º – 2ª

Segundo/a

57º – 57ª

Quincuagésimo/a séptimo/a

3º – 3ª

Tercero/a

58º – 58ª

Quincuagésimo/a octavo/a

4º – 4ª

Cuarto/a

59º – 59ª

Quincuagésimo/a noveno/a

5º -5ª

Quinto/a

60º – 60ª

Sexagésimo/a

6º – 6ª

Sexto/a

61º – 61ª

Sexagésimo/a primero/a

7º – 7ª

Séptimo/a

62º – 62ª

Sexagésimo/a segundo/a

8º – 8ª

Octavo/a

63º – 63ª

Sexagésimo/a tercero/a

9º – 9ª

Noveno/a

64º – 64ª

Sexagésimo/a cuarto/a

10º – 10ª Décimo/a

65º – 65ª

Sexagésimo/a quinto/a

11º – 11ª Undécimo/a

66º – 66ª

Sexagésimo/a sexto/a

12º – 12ª Duoécimo/a

67º – 67ª

Sexagésimo/a séptimo/a

13º – 13ª Décimo/a tercero/a

68º – 68ª

Sexagésimo/a octavo/a

TABLA DE NÚMEROS ORDINALES 14º – 14ª Décimo/a cuarto/a

69º – 69ª

Sexagésimo/a noveno/a

15º – 15ª Décimo/a quinto/a

70º – 70ª

Septuagésimo/a

16º – 16ª Décimo/a sexto/a

71º – 71ª

Septuagésimo/a primero/a

17º – 17ª Décimo/a séptimo/a

72º – 72ª

Septuagésimo/a segundo/a

18º – 18ª Décimo/a octavo/a

73º – 73ª

Septuagésimo/a tercero/a

19º – 19ª Décimo/a noveno/a

74º – 74ª

Septuagésimo/a cuarto/a

20º – 20ª Vigésimo/a

75º – 75ª

Septuagésimo/a quinto/a

21º – 21ª Vigésimo/a primero/a

76º – 76ª

Septuagésimo/a sexto/a

22º – 22ª Vigésimo/a segundo/a

77º – 77ª

Septuagésimo/a séptimo/a

23º – 23ª Vigésimo/a tercero/a

78º – 78ª

Septuagésimo/a octavo/a

24º – 24ª Vigésimo/a cuarto/a

79º – 79ª

Septuagésimo/a noveno/a

25º – 25ª Vigésimo/a quinto/a

80º – 80ª

Octogésimo/a

26º – 26ª Vigésimo/a sexto/a

81º – 81ª

Octogésimo/a primero/a

27º – 27ª Vigésimo/a séptimo/a

82º – 82ª

Octogésimo/a segundo/a

28º – 28ª Vigésimo/a octavo/a

83º – 83ª

Octogésimo/a tercero/a

29º – 29ª Vigésimo/a noveno/a

84º – 84ª

Octogésimo/a cuarto/a

30º – 30ª Trigésimo/a

85º – 85ª

Octogésimo/a quinto/a

31º – 31ª Trigésimo/a primero/a

86º – 86ª

Octogésimo/a sexto/a

32º – 32ª Trigésimo/a segundo/a

87º – 87ª

Octogésimo/a séptimo/a

33º – 33ª Trigésimo/a tercero/a

88º – 88ª

Octogésimo/a octavo/a

34º – 34ª Trigésimo/a cuarto/a

89º – 89ª

Octogésimo/a noveno/a

35º – 35ª Trigésimo/a quinto/a

90º – 90ª

Nonagésimo/a

36º – 36ª Trigésimo/a sexto/a

91º – 91ª

Nonagésimo/a primero/a

37º – 37ª Trigésimo/a séptimo/a

92º – 92ª

Nonagésimo/a segundo/a

38º – 38ª Trigésimo/a octavo/a

93º – 93ª

Nonagésimo/a tercero/a

TABLA DE NÚMEROS ORDINALES 39º – 39ª Trigésimo/a noveno/a

94º – 94ª

Nonagésimo/a cuarto/a

40º – 40ª Cuadragésimo/a

95º – 95ª

Nonagésimo/a quinto/a

41º – 41ª Cuadragésimo/a primero/a 96º – 96ª

Nonagésimo/a sexto/a

42º – 42ª Cuadragésimo/a segundo/a 97º – 97ª

Nonagésimo/a séptimo/a

43º – 43ª Cuadragésimo/a tercero/a

98º – 98ª

Nonagésimo/a octavo/a

44º – 44ª Cuadragésimo/a cuarto/a

99º – 99ª

Nonagésimo/a noveno/a

45º – 45ª Cuadragésimo/a quinto/a

100º – 100ª Centésimo/a

46º – 46ª Cuadragésimo/a sexto/a

200º – 200ª Ducentésimo/a

47º – 47ª Cuadragésimo/a séptimo/a 300º – 300ª Tricentésimo/a 48º – 48ª Cuadragésimo/a octavo/a

400º – 400ª Cuadringentésimo/a

49º – 49ª Cuadragésimo/a noveno/a

500º – 500ª Quingentésimo/a

50º -50ª Quincuagésimo/a

600º – 600ª Sexcentésimo/a

51º – 51ª Quincuagésimo/a primero/a 700º – 700ª Septingentésimo/a 52º – 52ª Quincuagésimo/a segundo/a 800º – 800ª Octingentésimo/a 53º – 53ª Quincuagésimo/a tercero/a 900º – 900ª Noningentésimo/a 54º – 54ª Quincuagésimo/a cuarto/a

1000º

Milésimo

55º – 55ª Quincuagésimo/a quinto/a

1000ª

Milésima...