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OPTIMIZAR TEORÍA Y EJEMPLOS...

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Optimización Optimizar consiste en maximizar o minimizar una función eligiendo sistemáticamente valores de entrada y computando el valor de la función. En ciencia, ingeniería y negocios a menudo tenemos interés en los valores máximo y mínimo de una función; por ejemplo, una empresa tiene interés natural en maximizar sus ganancias a la vez que minimiza los costos. Las aplicaciones del cálculo utilizadas en este tipo de problemas son los máximos y mínimos de una función, haciendo uso de los conceptos de graficar y derivación podemos establecer soluciones reales para resolver los problemas con las condiciones dadas. Se usan los criterios de las derivadas para encontrar los máximos y mínimos.

PASOS PARA LA RESOLUCION DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACION 1. 2. 3. 4.

5.

Lea el problema con atención e identifique todas las cantidades dadas y las que se van a determinar. Elaborar un dibujo sencillo, introduzca variables en su dibujo y observe cualquier restricción entre las variables. Escribir una ecuación primaria para la cantidad que se va a maximizar o minimizar. Use todas las variables necesarias para establecer la función primaria si tiene varias variables se reduce la ecuación primaria a una que tenga una sola variable independiente. Esto quizá implique el uso de ecuaciones secundarias que relacionan las variables independientes de la ecuación primaria. Determinar el valor máximo o mínimo deseado mediante las técnicas de cálculo aplicando las derivadas.

EJEMPLO 1 Área máxima Un ganadero tiene 400 pies de cercado con los cuales delimita dos corrales rectangulares adyacentes (ver la figura). ¿Qué dimensiones deben utilizarse de manera que el área delimitada será un máximo? Identificar variables del problema Perímetro=400pies Longitud=X Ancho=Y

Elaborar un dibujo donde se representen las variables del problema

Escribir la ecuación primaria (la incógnita que nos pide el problema es el área máxima) Área A = 2XY

Se busca una ecuación secundaria que relacione variables de la ecuación primaria Perímetro 400 =4X + 3Y Se reduce a una sola variable independiente usando la ecuación secundaria y remplazando una variable en la ecuación primaria 𝑥=

400 − 3𝑌 4

𝐴 = 2(

𝐴=

)𝑦

400−3𝑌 4

1 (400𝑦 − 3𝑌2 ) 2

Despeje de una variable de la ecuación secundaria en este caso x Reemplazar x en la ecuación primaria Simplificar

𝐴 = (400𝑌 − 3𝑌2 ) 1

2

𝐴’ = (400 − 6𝑌) 1

2

0= 2 (400 − 6𝑌) 1

0= 2 (400 − 6𝑌) 1

𝑌=

400

𝑋=

6

=

200

400−3( 4

3

pies

200 ) 3

=50 pies

Derivar la ecuación Igualar a 0 la ecuación Encontrar las variables x y y Despejar la variable y

Encuentra x remplazando la variable y

R// Las dimensiones que se deben utilizar para que el área delimitada sea un 𝟐𝟎𝟎 pies máximo son X=50 pies y Y= 𝟑

EJEMPLO 2 Área máxima Determinar el área del rectángulo mas grande que puede estar inscrito en un círculo de radio R. Elaborar una representación gráfica del problema e identificar todas las variables. x=largo del rectángulo y=ancho del rectángulo R=radio del circulo

.Escribir la ecuación primaria, en este caso se desea maximizar el área de un rectángulo. Área del rectángulo A= xy Escribir una ecuación secundaria que relacione variables del área del rectángulo con el radio R del circulo. Teorema de Pitágoras (2𝑅)2 = 𝑥 2 + 𝑦 2

Se usa la mitad del rectángulo obteniendo un triángulo rectángulo donde la hipotenusa es el diámetro del círculo, es decir 2R

Se reduce a una sola variable independiente usando la ecuación secundaria. 𝑥 = √4𝑅 2 − 𝑦 2

Despeje una de las variables de la ecuación secundaria, en este caso se despejo x

𝐴 = (√4𝑅2 − 𝑦 2 ) 𝑦 𝐴 = 𝑦√4𝑅 2 − 𝑦 2

Se reemplaza x en la ecuación primaria

𝐴 = √𝑦 2 (4𝑅 2 − 𝑦 2 )

* √𝑦 2 = 𝑦 ( se usa con el propósito de facilitar la derivación)

𝐴 = √4𝑅2 𝑦 2 − 𝑦 4 )

1 1 𝐴′ = ( ) (4𝑅 2 𝑦 2 − 𝑦 4 )2−(2)4𝑅 2 y − (4)𝑦 3 Derivar la ecuación resultante 2

0 = (2) (4𝑅 2 𝑦 2 − 𝑦 4 )2−(8)𝑅 2 y − (4)𝑦 3 1

1

*NOTA: el radio R es una constante, ya que es un valor condicional, por lo tanto, su derivada es cero.

Igualar la ecuación a 0

Despejar la variable y 1 2 3 1 1 0=( ) ((4𝑅 2 𝑦 2 − 𝑦 4 )) (8𝑅 y − 4𝑦 ) 2 1 2

2

0= 0= 0= 0=

4(2𝑅 2 y − 𝑦 3 ) *Factor común

1 𝑏 𝑎−𝑏 =𝑎

1

2 2(4𝑅 2 𝑦 2 − 𝑦 4 )

2(2𝑅 2 y − 𝑦 3 )

1

2 (4𝑅 2 𝑦 2 − 𝑦 4 )

4𝑅 2 y − 2𝑦 3

1

2 (4𝑅 2 𝑦 2 − 𝑦 4 )

4𝑅 2 y

2𝑦 3 − 1 1 2 2 (4𝑅 2 𝑦 2 − 𝑦 4 ) (4𝑅 2 𝑦 2 − 𝑦 4 ) 4𝑅 2 y

2𝑦 3 = 1 1 2 2 (4𝑅 2 𝑦 2 − 𝑦 4 ) (4𝑅 2 𝑦 2 − 𝑦 4 )

𝑎+𝑐 𝑎 𝑐 = + 𝑏 𝑏 𝑏

4𝑅 2 𝑦 = 2𝑦3 √

4𝑅 2 =𝑦 2

𝑦 = √2𝑅 2 = √2𝑅

𝑥 = √4𝑅 2 − (√2𝑅)

2

Encontrar la variable x

𝑥 = √4𝑅 2 − 2𝑅 2 = √2𝑅 2 = √2𝑅 A=(√2𝑅)(√2𝑅) = 2𝑅 2

Encontrar el área del rectángulo usando la ecuación primaria y sustituyendo valores

R// El área máxima del rectángulo inscrito en un círculo de radio R es un cuadrado de área 𝟐𝑹𝟐

EJEMPLO 3 Longitud mínima Dos fábricas se localizan en las coordenadas (x, 0) y (-x, 0) con su suministro eléctrico ubicado en (0, h) (ver la figura). Determinar y de manera tal que la longitud total de la línea d e transmisión eléctrica desde el suministro eléctrico hasta las fábricas sea un mínimo Identificar variables del problema Longitud de la línea eléctrica=L Distancia al suministro eléctrico=h Distancia a una fábrica desde (0,0) =x Distancia desde (0,0) hasta la intersección de las líneas eléctricas=y

Elaborar un dibujo donde se representen las variables del problema

Escribir la ecuación primaria, es este caso se busca la longitud total de la línea eléctrica Longitud de la línea eléctrica 𝐿 = (ℎ − 𝑦) + 2𝑠

Ecuación secundaria que relacione variables de la primaria. Teorema de Pitágoras 𝑠 = √𝑥 2 + 𝑦 2

𝐿 = (ℎ − 𝑦) + 2√𝑥 2 + 𝑦 2

Reemplazar la variable s en la ecuación

1 2 (2)𝑦 Derivar la ecuación resultante 1 𝐿′ = (−1) + () 2(𝑥 2 + 𝑦 2 )− 2 *Nota: x y h son valores constantes, ya que son distancias invariables que condicionan el problema, entonces su derivada es 0 1 1 − 2 (2)𝑦 0 = (−1) + () 2(𝑥 2 + 𝑦 2 ) 2 1 1 1 − 1 = ( ) 2(𝑥 2 + 𝑦 2 )2 (2)𝑦 2

(2)𝑦 −𝑏 1 1 ) )𝑎 = 𝑏 1=( 1 ( 1 𝑎 (𝑥 2 + 𝑦 2 ) 2 1=

(2)𝑦

Igualar la ecuación a 0

Despejamos para encontrar el valor de y

1

(𝑥 2 + 𝑦 2 ) 2

12

((𝑥 2 + 𝑦 22)) = (2𝑦)2

𝑥 2 + 𝑦 2 = 4𝑦 2 𝑥 2 = 3𝑦 2

𝑥 2 = 3𝑦 2 𝑦=

𝑥

√3

R// para que la longitud sea un mínimo la distancia y es de entre las 3 líneas debe de será en el punto (0,

𝒙

√𝟑

)

𝒙

√𝟑

, es decir la intersección

EJEMPLO 4 Dos astabanderas están aseguradas con cables sujetos a un solo punto entre las astas. Vea la figura. ¿Dónde debe ubicarse el punto a fin de minimizar la cantidad de cable usado? Identificar los datos y variables Ct= cable total X= distancia de la segunda asta al punto 30-x=distancia primera asta al punto

Realizar un dibujo con los datos y variables

Escribir la ecuación primaria, en este caso se busca minimizar la cantidad de cable usado

CT=C1 + C2 Se usa el teorema de Pitágoras para encontrar C1 y C2 𝐶1 = √(30 − 𝑥)2 + 202 𝐶2 = √𝑥 2 + 102

Teorema de Pitágoras

𝐶𝑡 = √(30 − 𝑥)2 + 202 + √𝑥 2 + 102

Derivamos la ecuación

1 1 1 1 − (2 )(30 − 𝑥 )(−1) ) + (𝑥 ( 2 + 102 )2−(2)𝑥 𝐶𝑡′ = ( ) ((30 − 𝑥)2 + 2022) 2 2

Igualamos a 0 la ecuación derivada

1 1 1 1 − − (2 )(30 − 𝑥 )(−1) + ) (𝑥 ( 2 + 102 )2 (2)𝑥 0 = ( ) ((30 − 𝑥)2 + 2022) 2 2

Despejamos la variable x

1 1 1 1 − (2)( ) (𝑥 ( 2 + 102 )2 − 30 − 𝑥 )(−1) + (2)𝑥 0 = ( ) ((30 − 𝑥)2 + 2022) 2 2

0=

(−1)(30 − 𝑥 )

𝑥 +1 1 2 ((30 − 𝑥)2 + 2022 ) (𝑥 2 + 102 )

𝑎−𝑏 =

1 𝑎𝑏

(30 − 𝑥)

𝑥 =1 1 2 ((30 − 𝑥)2 + 2022 ) (𝑥 2 + 102 ) (30 − 𝑥)

2

𝑥

2

)1 )1 = ( ( 2 (𝑥 2 + 102 ) ((30 − 𝑥)2 + 2022 )

Se eleva al cuadrado toda la ecuación

(30 − 𝑥 )2 (𝑥 2 + 102 ) = 𝑥 2 ((30 − 𝑥)2 + 202 )

(900 − 60𝑥 + 𝑥 2 )(𝑥 2 + 100) = 𝑥 2 ((900 − 60𝑥 + 𝑥 2 ) + 400)

(900 − 60𝑥 + 𝑥 2 )(𝑥 2 + 100) = 𝑥 2 (−60𝑥 + 𝑥 2 + 1300)

(900𝑥 2 − 30𝑥 3 + 𝑥 4 ) + (90000 − 3000𝑥 + 100𝑥 2 ) = (−60𝑥 3 + 𝑥 4 + 1300𝑥 2 )

𝑥 4 + 1000𝑥 2 − 30𝑥 3 − 3000𝑥 + 90000 = −30𝑥 3 + 𝑥 4 + 1300𝑥 2 0 = 300𝑥 2 + 3000𝑥 − 90000

Factorizar

X=10pies

30-x=20 pies R//el punto entre las astas debe estar a 20 pies de la primera asta

EJEMPLO 5 Si dos pasillos perpendiculares entre si miden 10 pies y 15 pies respectivamente ¿Cuál es la longitud de la viga de acero más larga que pueda transportarse horizontalmente de modo que pueda doblar en la esquina? No considerar el ancho de la viga. Encontrar las variables del problema V=longitud de viga

Realizar un dibujo donde ser representen las variables y datos del problema

La ecuación primaria del problema se encuentra sumando V1 +V2 y usando teorema de Pitágoras V=V1 +V2 𝑉2 = √𝑥 2 + (10) 2

Teorema de Pitágoras

𝑉1 = √𝑦 2 + (15) 2

𝑉 = √𝑦 2 + (15) 2 + √𝑥 2 + (10) 2

Usar una ecuación secundaria para dejar una sola variable independiente Triángulos semejantes

𝑦=

150 𝑥

150 2

Despejar la variable y

𝑉 = √( ) + 225 + √𝑥 2 + 100 𝑥

𝑦 10 = 𝑥 15

Usar triángulos semejantes

Reemplazar la variable y en la ecuación primaria

Derivar la función 21 1 1 150 − 1) (𝑥 2 + 100)2−(2)𝑥 𝑉′ = ( ) ((150 2 (2) ( ) (−150)(1) + ( 2 ) + 225) 2 𝑥2 𝑥 𝑥

Igualar la función derivada a 0 1 −

2 1 150 2 1 150 (−150)(1) 1 − ) + ( ) (𝑥 2 + 100)2 (2)𝑥 0 = ( (( ) + 225) (2) ( ) 2 2 2 𝑥 𝑥 𝑥

Despejar la variable x

1 −

2 1 1 150 (−150)(1) 1 150 − 0 = ( ) (( ) + 225) (2) ( ) + ( ) (𝑥 2 + 100)2 (2)𝑥 2 𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2

0= 0= 0=

1

150 (( 𝑥 ) + 225) 2

1

1 −22500 )+ 1𝑥 3 𝑥 2 (𝑥 2 + 100)

1( 2

150 (( 𝑥 ) + 225) 2

150 (−150)(1) 1 𝑥 ) + 1 2 𝑥 𝑥 2 (𝑥 2 + 100)

1( 2

−22500

1+ 2

150 2 𝑥 3 (( ) + 225) 𝑥 22500

1= 2

22500 𝑥 3 (( 2 ) + 225) 𝑥 22500

22500 𝑥 6 (( 2 ) + 225) 𝑥

Simplificar

1

1

(𝑥 2 + 100) 2

22500 𝑥 3 (( 2 ) + 225) 𝑥 ( ) 506250000

1 𝑎𝑏

2 (𝑥 2 + 100)

𝑥

2 1 2

𝑥

𝑎−𝑏 =

2

𝑥 ) =( 1 2 2 (𝑥 + 100)

𝑥2 = 2 (𝑥 + 100)

22500 506250000(𝑥 2 + 100) = 𝑥 8 (( 2 ) + 225) 𝑥

Se eleva al cuadrado toda la ecuación

22500𝑥 8 8 (506250000𝑥2 + 50625000000) = (( 2 ) + 225𝑥 ) 𝑥 506250000𝑥2 + 50625000000 = 22500𝑥 6 + 225𝑥 8

0 = 225𝑥 8 + 22500𝑥 6 −506250000𝑥 2 − 50625000000

0 = 225𝑢4 + 22500𝑢3 − 506250000𝑢 − 50625000000

𝑢 = 131.0370697

Simplificar Sustituir 𝑢 = 𝑥 2

Despejar u y luego encontrar x

𝑥 = 11.44714243pies

reemplazar x en la ecuación primaria 2 150 √ ) + 225 + √11.447142432 + 100 𝑉= ( 11.44714243

𝑉 = 35.1𝑝𝑖𝑒𝑠

R// la viga debe de medir aproximadamente 35.1 pies para poder pasar por el pasillo

EJEMPLO 6 Si un lado de un campo rectangular va a tener como límite natural un rio, halle las dimensiones del terreno rectangular más grande que puede cercarse con 240 metros de maya para los otros 3 lados. (Máximo) Elaborar una representación grafica del problema y encontrar todas las variables y datos del problema x=largo del terreno y=ancho del terreno perímetro x+2y=240 metros

la ecuacion primaria del problema es para buscar el área máxima Área Del Rectángulo A=xy La ecuación secundaria para reducir a una sola variable la ecuación primaria es el perímetro Perímetro 240=x+2y

𝑥 = 240 − 2𝑦

𝐴 = (240 − 2𝑦)𝑦

𝐴 = (240𝑦 − 2𝑦 2 )

𝐴′ = (240 − 2𝑦) 0 = (240 − 4𝑦)

𝑦=

240 4

=60 metros

𝑥 = 240 − 2(60)=120 metros

Despejar una variable de la ecuación secundaria Reemplazar la variable x en la ecuación primaria Simplificar derivar la ecuación resultante Igualar a 0 la ecuación derivada Despejar y para encontrar su valor Reemplazar y en la ecuación para encontrar

R// las dimensiones del terreno para que sea su máxima área debe de ser de 60 metros y 120 metros. Ejemplo 7 Se desea construir una caja sin tapa con base rectangular a partir de una hoja rectangular de cartón de 16 cm de ancho y 21 cm de largo recortando un cuadrado en cada esquina y doblando los lados hacia arriba calcular el lado del cuadrado para el cual se obtiene una caja de volumen máximo. Elaborar un dibujo donde se representen las dimensiones y variables del problema. X=lado del cuadrado que se recorta

Encontrar la ecuación primaria usando la ecuación del volumen de la caja

V=base x ancho x altura Volumen

𝑉 = 4𝑥 3 − 72𝑥 2 + 336𝑥

𝑉 = (16 − 2𝑥 )(21 − 2𝑥 )(𝑥) Simplificar

𝑉′ = 12𝑥 2 − 144𝑥 + 336

Derivar la ecuación resultante

0 = 12𝑥 2 − 144𝑥 + 336 0= X1=

Igualar la ecuación derivada a o

−148 ± √1482 − 4(12)(336) 2(12)

Encontrar el valor de x

28 3

X2=3

Para comprobar la respuesta la usamos la ecuación del volumen y reemplazamos datos viendo cual es el máximo volumen 𝑉 = (16 − 2(3))(21 − 2 (3))((3))=450𝑐𝑚3

20 3

20 3

20 3

𝑉 = (16 − 2 ( )) (21 − 2 ( )) (( )) = −58 R//El lado del cuadrado a cortar es de 3 cm para obtener un volumen máximo

Ejemplo 8 Encuentre las dimensiones del cilindro circular recto con volumen máximo que puede inscribirse en un cono circular recto de 8 pulgadas de radio y 12 pulgadas de altura.

encontrar las variables y datos del problema r=radio del cilindro h=altura del cilindro 8 pulg.=radio del cono 12 pulg.= altura del cono

Elaborar un gráfico con las variables del problema

La ecuación primaria del problema seria la formula de volumen del cilindro para maximizarlo

Volumen de un cilindro 𝑉 = 𝜋𝑟 2 ℎ

Para reducir la ecuación primaria a una sola variable se usa como ecuación secundaria triángulos semejantes Triángulos semejantes

h = 12 −

12𝑟 8

12 − ℎ 12 = 𝑟 8

Despejamos una variable, en este caso h

12𝑟 V = 𝜋𝑟 2 (12 − 8 ) 12𝜋𝑟 3 ) V = (12𝜋𝑟 2 − 8

Derivamos la ecuación resultante

9𝜋𝑟 2 ) 2

Igualamos a 0 la ecuación derivada

3𝑟 0 = 3𝜋𝑟(8 − ) 2 r1=0

𝑟2 =

Simplificar

9𝜋𝑟 2 ) 2

V′ = (24𝜋𝑟 − 0 = (24𝜋𝑟 −

Sustituimos en la ecuación primaria la variable h

Despejamos la variable r

16 𝑝𝑢𝑙𝑔 3

16 12 ( ) 3 h = 12 − = 4𝑝𝑢𝑙𝑔 8

Reemplazamos r en la ecuación para encontrar h

R// las dimensiones para tener el volumen del cilindro máximo es de radio

𝒓=

𝟏𝟔 𝟑

𝒑𝒖𝒍𝒈 y de altura 𝟒𝒑𝒖𝒍𝒈

Ejemplo 9 Se producirá una lata para jugo en forma de cilindro circular recto con volumen de 32 pulgadas cubicas. Encuentre las dimensiones de la lata de modo que para hacerla se use la menor cantidad de material. Elaborar una ilustración del problema con todas las variables.

La ecuación primaria será el área del cilindro ya que se desea minimizar el material que se necesita para la lata. Área de un cilindro

𝐴 = 2𝜋𝑟ℎ + 2 𝜋𝑟 2

La ecuación secundaria será el volumen del cilindro ya que relaciona el volumen es la condición del problema y relaciona las dimensionales. Volumen de un cilindro

32𝑝𝑢𝑙𝑔3 = 𝜋𝑟 2 ℎ ℎ=

32 𝜋𝑟 2

𝑉 = 𝜋𝑟 2 ℎ

Volumen =32 pulg3 Despejar la variable h Reemplazar h en la ecuación primaria

32 2 𝐴 = 2𝜋𝑟 (𝜋𝑟 2 ) + 2 𝜋𝑟

32 2 𝐴 = 2𝜋𝑟 (𝜋𝑟 2 ) + 2 𝜋𝑟 64 𝐴 = ( ) + 2 𝜋𝑟 2 𝑟

Simplificar

(1)64 𝐴′ = ( 2 ) + 4𝜋𝑟 𝑟

64 0 = ( 2 ) + 4𝜋𝑟 𝑟 64 + 4𝜋𝑟 3 0= 𝑟2

Derivar la ecuación resultante

Igualar la ecuación a 0 Simplificar

0 = 64 + 4𝜋𝑟 3 64 = 𝑟3 4𝜋

𝑟= √ 3

ℎ=

3 16 64 =√ 𝜋 4𝜋

32

16 𝜋√ 𝜋 3

Despejar la variable r Sustituir r en la ecuación ℎ =

2

32

𝜋𝑟2

R// las dimensiones que se deben usar para minimizar el uso de material es de radio

√ 𝝅 y altura

𝟑

𝟏𝟔

𝟑𝟐

𝟑 𝟏𝟔 𝝅√ 𝝅

𝟐

Ejemplo 10 Una página impresa debe tener márgenes izquierdo y derecho de 2 pulgadas de espacio en blanco y márgenes superior e inferior de 1 pulgada de espacio en blanco. El área de la porción impresa es de 32 pulgadas cuadradas. Determine las dimensiones de la página de modo que se use la menor cantidad de papel.

Elaborar un dibujo que represente las variables y datos del problema X= ancho de la hoja Y= largo de la hoja

La ecuación primaria sería el área de un rectángulo ya que se desea minimizar la cantidad de papel. Área del rectángulo(hoja)

𝐴 = (𝑥 + 4)(𝑦 + 2)

La ecuación secundaria sería el área de la región impresa ya que es la condición del problema Área de la región impresa

32 =𝑦 𝑥

32 𝐴 = (𝑥 + 4) ( + 2) 𝑥

32 = 𝑥𝑦

Despejar una variable de la ecuación secundaria, en este caso y

Simplificar

128 𝐴 = 𝑥 + 2𝑥 + 40 −128 𝐴′ = 𝑥 2 + 2 −128 +2 0= 𝑥2 𝑥2 =

128 2

Derivar la ecuación Igualar a 0 la ecuación ya derivada

Despejar x

𝑥 = √64 = 8𝑝𝑢𝑙𝑔 𝑦=

32 = 4 𝑝𝑢𝑙𝑔 (8)

Reemplazar x en la ecuación para encontrar y

Estas son las dimensiones del área del texto impreso para encontrar las dimensiones de la hoja de papel usamos las dimensiones (𝑥 + 4) 𝑦 (𝑦 + 2) 𝑦 + 2 = 6 𝑝𝑢𝑙𝑔

𝑥 + 4 = 12 𝑝𝑢𝑙𝑔

R// las dimensiones de la hoja deben de ser de 6 pulgadas x 12 pulgadas

EJERCICIO 1 Una esquina de una hoja de papel de 8.5 pulg * 11 pulg se dobla sobre el otro borde del papel como se muestra en la figura. Encuentre el ancho x del doblez de modo que la longitud L del pliegue sea mínima.

.R//la longitud mínima cuando x = 6.375 pulg

EJERCICIO 2 Un muro de 10 pies de altura está a 5 pies de un edificio, como se muestra en la figura. Encuentre la longitud L de la escalera más corta, apoyada en el muro, que llega desde el suelo hasta el edificio.

R// la longitud L de la escalera mas corta es de20.81 pies

EJERCICIO 3 Se desea construir una caja rectangular cerrada con base cuadrada y volumen de 32 000 cm3. Encuentre las dimensiones de la caja que requiera la menor cantidad de material.

R//la base es de 40 cm x 40 ...