Optimizacion - OPTIMIZAR MATEMÁTICA 2 PDF

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OPTIMIZAR MATEMÁTICA 2...

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Optimización Optimizar consiste en maximizar o minimizar una función eligiendo sistemáticamente valores de entrada y computando el valor de la función. En ciencia, ingeniería y negocios a menudo tenemos interés en los valores máximo y mínimo de una función; por ejemplo, una empresa tiene interés natural en maximizar sus ganancias a la vez que minimiza los costos. Las aplicaciones del cálculo utilizadas en este tipo de problemas son los máximos y mínimos de una función, haciendo uso de los conceptos de graficar y derivación podemos establecer soluciones reales para resolver los problemas con las condiciones dadas. Se usan los criterios de las derivadas para encontrar los máximos y mínimos.

PASOS PARA LA RESOLUCION DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACION 1. Lea el problema con atención e identifique todas las cantidades dadas y las que se van a determinar. 2. Elaborar un dibujo sencillo, introduzca variables en su dibujo y observe cualquier restricción entre las variables. 3. Escribir una ecuación primaria para la cantidad que se va a maximizar o minimizar. 4. Use todas las variables necesarias para establecer la función primaria si tiene varias variables se reduce la ecuación primaria a una que tenga una sola variable independiente. Esto quizá implique el uso de ecuaciones secundarias que relacionan las variables independientes de la ecuación primaria. 5. Determinar el valor máximo o mínimo deseado mediante las técnicas de cálculo aplicando las derivadas.

EJEMPLO 1 Área máxima Un ganadero tiene 400 pies de cercado con los cuales delimita dos corrales rectangulares adyacentes (ver la figura). ¿Qué dimensiones deben utilizarse de manera que el área delimitada será un máximo? Identificar variables del problema Perímetro=400pies Longitud=X Ancho=Y

Elaborar un dibujo donde se representen las variables del problema

Escribir la ecuación primaria (la incógnita que nos pide el problema es el área máxima) Área A = 2XY

Se busca una ecuación secundaria que relacione variables de la ecuación primaria Perímetro 400 =4X + 3Y Se reduce a una sola variable independiente usando la ecuación secundaria y remplazando una variable en la ecuación primaria x=

400−3Y 4

A=2

Y ( 400−3 )y 4

1 A= ( 400 y−3 Y 2 ) 2

Despeje de una variable de la ecuación secundaria en este caso x Reemplazar x en la ecuación primaria Simplificar

1 A= ( 400 Y −3 Y 2) 2 1 A ’= (400−6 Y ) 2

Derivar la ecuación

1 0 ¿ ( 400−6 Y ) 2

Igualar a 0 la ecuación

1 0 ¿ ( 400−6 Y ) 2

Encontrar las variables x y y

Y=

400 200 = 3 6

400−3( X=

pies

200 ) 3

Despejar la variable y

Encuentra x remplazando la variable y = 50 pies

4

R// Las dimensiones que se deben utilizar para que el área delimitada sea un 200 pies máximo son X=50 pies y Y= 3

EJEMPLO 2 Área máxima Determinar el área del rectángulo mas grande que puede estar inscrito en un círculo de radio R. Elaborar una representación gráfica del problema e identificar todas las variables. x=largo del rectángulo y=ancho del rectángulo R=radio del circulo

.Escribir la ecuación primaria, en este caso se desea maximizar el área de un rectángulo. Área del rectángulo A= xy Escribir una ecuación secundaria que relacione variables del área del rectángulo con el radio R del circulo. Teorema de Pitágoras (2 R)2=x 2 + y 2 Se usa la mitad del rectángulo obteniendo un triángulo rectángulo donde la hipotenusa es el diámetro del círculo, es decir 2R

Se reduce a una sola variable independiente usando la ecuación secundaria. x= √ 4 R 2− y 2

Despeje una de las variables de la ecuación secundaria, en este caso se despejo x

2 2 A=( √ 4 R − y ) y

Se reemplaza x en la ecuación primaria

A= y √4 R 2− y 2 2 2 2 A=√ y (4 R − y )

*

√ y 2= y

( se usa con el propósito de facilitar la derivación)

2 2 4 A=√ 4 R y − y ¿

()

A'=

1 ( 4 R2 y 2 − y 4 ) 2

−1 2

2

(2)4 R y −(4) y

3

Derivar la ecuación resultante *NOTA: el radio R es una constante, ya que es un valor condicional, por lo tanto, su derivada es cero.

()

0=

1 (4 R 2 y 2− y 4 ) 2

−1 2

(8)R 2 y −(4) y3

Igualar la ecuación a 0

Despejar la variable y

( ) (( 1 2

0=

1 1

4 R2 y 2 − y 4) 2

)(

)

8 R2 y−4 y 3 −b 1 a = b 1 a

2

0=

4 (2 R2 y*Factor − y 3) común 1 4 2

2( 4 R y − y ) 2

0=

2

2(2 R 2 y− y 3 ) 1 4 2

(4 R y −y ) 2

2

2

4 R y−2 y

0=

3 1

( 4 R2 y 2− y 4 )2 4 R2 y

0=

−

1 4 2

(4 R y −y ) 2

2

4 R2 y 1 4 2

(4 R y −y ) 2

2

2

4 R y=2 y

√

2 y3 1

a+c a c = + b b b

( 4 R 2 y 2− y 4 ) 2 2 y3

=

1 4 2

(4R y −y ) 2

2

3

4 R2 =y 2

y= √ 2 R

√

2

¿ √2 R Encontrar la variable x

2

2 x= 4 R −(√ 2 R )

x= √ 4 R 2−2 R 2= √ 2 R2 =√2 R A= (√ 2 R )( √2 R ) =2 R

2

Encontrar el área del rectángulo usando la ecuación primaria y sustituyendo valores

R// El área máxima del rectángulo inscrito en un círculo de radio R es un cuadrado de área 2 R 2

EJEMPLO 3 Longitud mínima Dos fábricas se localizan en las coordenadas (x, 0) y (-x, 0) con su suministro eléctrico ubicado en (0, h) (ver la figura). Determinar y de manera tal que la longitud total de la línea de transmisión eléctrica desde el suministro eléctrico hasta las fábricas sea un mínimo Identificar variables del problema Longitud de la línea eléctrica=L Distancia al suministro eléctrico=h Distancia a una fábrica desde (0,0) =x Distancia desde (0,0) hasta la intersección de las líneas eléctricas=y

Elaborar un dibujo donde se representen las variables del problema

Escribir la ecuación primaria, es este caso se busca la longitud total de la línea eléctrica Longitud de la línea eléctrica L=( h− y ) +2 s

Ecuación secundaria que relacione variables de la primaria. Teorema de Pitágoras 2 2 s=√ x + y

2 2 L=( h− y ) +2 √ x + y

Reemplazar la variable s en la ecuación

−1

()

1 2 ( x 2+ y 2 ) 2 ( 2 ) y L'= (−1)+ 2

Derivar la ecuación resultante

*Nota: x y h son valores constantes, ya que son distancias invariables que condicionan el problema, entonces su derivada es 0 −1

()

Igualar la ecuación a 0

1 2 ( x 2 + y 2) 2 ( 2 ) y 0=(−1)+ 2 1−1

()

Despejamos para encontrar el valor de y

1 2 2 2 1= 2 ( x + y ) ( 2 ) y 2

(2 ) y ( (( x + y ) ) 1 )a 1

1=

−b

1 2 2

2

=

1 ab

( 2) y

1=

1 2 2

(x + y ) 2

(( x + y ) ) =( 2 y ) 1 2 2 2

2

2

2

x + y =4 y 2

2

2

2

x =3 y x =3 y

y=

2

2

x √3

R// para que la longitud sea un mínimo la distancia y es de intersección entre las 3 líneas debe de será en el punto (0,

x √3 x ) √3

, es decir la

EJEMPLO 4 Dos astabanderas están aseguradas con cables sujetos a un solo punto entre las astas. Vea la figura. ¿Dónde debe ubicarse el punto a fin de minimizar la cantidad de cable usado? Identificar los datos y variables Ct= cable total X= distancia de la segunda asta al punto 30-x=distancia primera asta al punto

Realizar un dibujo con los datos y variables

Escribir la ecuación primaria, en este caso se busca minimizar la cantidad de cable usado

CT=C1 + C2 Se usa el teorema de Pitágoras para encontrar C1 y C2

C 1= √(30−x ) +20 2

2

2 2 C 2= √ x +10

Teorema de Pitágoras Ct= √(30−x ) +20 + √ x +10 2

2

2

2

Derivamos la ecuación −1

()

−1

()

1 1 2 2 2 ( x +10 2 ) 2 ( 2) x ( 30−x ) +202 ) ( 2 ) ( 30−x ) (−1 )+ Ct '= ( 2 2 Igualamos a 0 la ecuación derivada −1

()

()

−1

()

−1

1 1 2 2 2 2 ( x +102) 2 ( 2 ) x 0= (( 30− x ) +20 ) ( 2) ( 30−x ) (−1 )+ 2 2 Despejamos la variable x −1

()

0=

0=

1 1 2 ( 30− x )2 +202 ) 2 ( 2) ( 30−x ) (−1 )+ ( x +102) 2 ( 2 ) x ( 2 2

(−1 )( 30−x ) 1 2 2

x

+

a−b=

1 22

( (30−x )2+ 20 ) ( x 2+10 ) ( 30−x )

( ( 30−x ) 2 +20

(

1 2 2

1 ab

x

=

1

( x2 +102 ) 2

)

(30−x )

)( 2

1

( ( 30−x)2 +202 ) 2

=

x 1

( x 2+ 102) 2

)

2

Se eleva al cuadrado toda la ecuación

2 2 2 2 2 2 ( 30−x ) ( x +10 ) =x ( (30−x ) +20 )

( 900−60 x+ x 2 ) (x 2+100 ) =x 2 ( ( 900−60 x + x 2) + 400 )

( 900−60 x + x 2 )(x 2+100 ) =x 2 ( −60 x+x 2 +1300 ) ( 900 x 2−30 x3 +x 4) +( 90000−3000 x +100 x 2)= (−60 x 3 +x 4 +1300 x2 ) x 4 +1000 x2 −30 x 3−3000 x +90000=−30 x3 +x 4 +1300 x 2 0=300 x 2 +3000 x−90000 X=10pies 30-x=20 pies R//el punto entre las astas debe estar a 20 pies de la primera asta EJEMPLO 5 Si dos pasillos perpendiculares entre si miden 10 pies y 15 pies respectivamente ¿Cuál es la longitud de la viga de acero más larga que pueda transportarse horizontalmente de modo que pueda doblar en la esquina? No considerar el ancho de la viga. Encontrar las variables del problema V=longitud de viga

Realizar un dibujo donde ser representen las variables y datos del problema

La ecuación primaria del problema se encuentra sumando V1 +V2 y usando teorema de Pitágoras V=V1 +V2 Teorema de Pitágoras V 2=√ x + ( 10 ) 2

2

2 V 1=√ y + (15 )

2

2 2 V =√ y +( 15 ) +√ x +( 10 ) 2

2

Usar una ecuación secundaria para dejar una sola variable independiente Triángulos semejantes y 10 = 15 x

Usar triángulos semejantes

150 x

y=

Despejar la variable y

√( )

150 2 +225+ √ x 2 +100 x

V=

Reemplazar la variable y en la ecuación primaria

Derivar la función

( )( ( ) 1 2

V '=

150 2 +225 x

−1 2

) ( ) (2)

()

150 ( −150 )( 1 ) 1 2 ( x + 100) + 2 x x2

−1 2

(2)x

Igualar la función derivada a 0

( )( ( ) 1 2

0=

−1 2

) ( )

150 2 + 225 x

(2)

()

−1 2

()

−1 2

150 (−150 ) (1 ) 1 2 ( x +100) + 2 x x2

(2 ) x

Despejar la variable x

( )( ( ) 1 2

0=

1

0=

(( ) ) 2

150 +225 x

1 2

1

0=

(( ) ) 2

150 +225 x

1 2

x

x3

2

2

1 + (−22500 ) x ( x +100 )

(( ) ) 2

((

3

150 (−150 ) (1 ) 1 2 ( x +100) + (2) 2 x x2

1 ( 150x ) (−150x ) (1 ) + (x +100 )

3

2

−22500

0=

−1 2

) ( )

150 2 + 225 x

150 +225 x

1 2

1 2

x

1 2

x

(2 ) x a−b=

1 ab

Simplificar

x

+

( x +100) 2

1 2

x 22500 = 1 1 22500 2 2 ( x +100) 2 +225 2 x

) )

Se eleva al cuadrado toda la ecuación

2

22500

( x

) )

()

x

((

6

506250000 x2 = 2 ( x +100 ) 22500 +225 2 x

3

22500 +225 x2

((

1 2

2

x

=

1

( x 2 +100 ) 2

)

) )

506250000( x2 +100) =x 8

+ 225 (( 22500 ) x ) 2

((

( 506250000 x2 +506250000 00) =

8

2

6

506250000 x +506250000 00=22500 x +225 x 8

6

4

3

)

)

22500 x +225 x 8 2 x

Simplificar

8

2

0=225 x +22500 x −506250000 x −506250000 00

Sustituir

u=x

2

0=225u +22500 u −506250000 u−50625000000 u=131.0370697

Despejar u y luego encontrar x

x=11.44714243 pies reemplazar x en la ecuación primaria

√(

V=

)

2 150 +225+ √ 11.447142432 + 100 11.44714243

V =35.1 pies R// la viga debe de medir aproximadamente 35.1 pies para poder pasar por el pasillo

EJEMPLO 6 Si un lado de un campo rectangular va a tener como límite natural un rio, halle las dimensiones del terreno rectangular más grande que puede cercarse con 240 metros de maya para los otros 3 lados. (Máximo) Elaborar una representación grafica del problema y encontrar todas las variables y datos del problema x=largo del terreno y=ancho del terreno perímetro x+2y=240 metros

la ecuacion primaria del problema es para buscar el área máxima Área Del Rectángulo A=xy La ecuación secundaria para reducir a una sola variable la ecuación primaria es el perímetro Perímetro 240=x+2y x=240−2 y A=( 240−2 y ) y A=( 240 y−2 y 2) A '= (240−2 y ) 0=(240−4 y )

y=

240 =¿ 60 metros 4

x=240−2 ( 60 ) =120 metros

Despejar una variable de la ecuación secundaria Reemplazar la variable x en la ecuación primaria Simplificar derivar la ecuación resultante Igualar a 0 la ecuación derivada Despejar y para encontrar su valor Reemplazar y en la ecuación para encontrar x

R// las dimensiones del terreno para que sea su máxima área debe de ser de 60 metros y 120 metros. Ejemplo 7 Se desea construir una caja sin tapa con base rectangular a partir de una hoja rectangular de cartón de 16 cm de ancho y 21 cm de largo recortando un cuadrado en cada esquina y doblando los lados hacia arriba calcular el lado del cuadrado para el cual se obtiene una caja de volumen máximo. Elaborar un dibujo donde se representen las dimensiones y variables del problema.

X=lado del cuadrado que se recorta

Encontrar la ecuación primaria usando la ecuación del volumen de la caja V=base x ancho x altura Volumen V =( 16−2 x )(21−2 x ) ( x ) V =4 x 3−72 x 2 +336 x

Simplificar

V '=12 x 2−144 x +336

Derivar la ecuación resultante

0=12 x 2−144 x +336

Igualar la ecuación derivada a o

0=

−148 ± √148 2−4 (12 ) (336) 2(12)

X1=

Encontrar el valor de x

28 3

X2=3 Para comprobar la respuesta la usamos la ecuación del volumen y reemplazamos datos viendo cual es el máximo volumen V =( 16 −2 ( 3) ) ( 21−2 ( 3) ) ( ( 3 ) ) =450 cm 3

(

V = 16 −2

( 203 ) )(21−2 ( 203 ) )(( 203 ) )=−58

R//El lado del cuadrado a cortar es de 3 cm para obtener un volumen máximo

Ejemplo 8 Encuentre las dimensiones del cilindro circular recto con volumen máximo que puede inscribirse en un cono circular recto de 8 pulgadas de radio y 12 pulgadas de altura.

encontrar las variables y datos del problema r=radio del cilindro h=altura del cilindro 8 pulg.=radio del cono 12 pulg.= altura del cono

Elaborar un gráfico con las variables del problema

La ecuación primaria del problema seria la formula de volumen del cilindro para maximizarlo

Volumen de un cilindro 2

V =π r h

Para reducir la ecuación primaria a una sola variable se usa como ecuación secundaria triángulos semejantes Triángulos semejantes 12−h 12 = 8 r

12 r Despejamos h=12− una variable, en este caso h 8

(

)

12 r V =π r 2 12− Sustituimos en8 la ecuación primaria la variable h

(

12 π r 3 V =Simplificar 12 π r 2− 8

(

V '= 24 πr−

9 π r2 2

)

)

Derivamos la ecuación resultante

(

)

9 π r2 24 πr − a 0 la ecuación derivada 0= Igualamos 2 0=3 πr (8−

3r ) 2

Despejamos la variable r

r1=0 r 2=

16 pulg 3

( )

16 12 Reemplazamos r en la ecuación para encontrar h 3 h=12− =4 pulg 8

R// las dimensiones para tener el volumen del cilindro máximo es de radio 16 r= pulg y de altura 4 pulg 3

Ejemplo 9 Se producirá una lata para jugo en forma de cilindro circular recto con volumen de 32 pulgadas cubicas. Encuentre las dimensiones de la lata de modo que para hacerla se use la menor cantidad de material. Elaborar una ilustración del problema con todas las variables.

La ecuación primaria será el área del cilindro ya que se desea minimizar el material que se necesita para la lata.

Área de un cilindro A=2 πrh+2 π r 2 La ecuación secundaria será el volumen del cilindro ya que relaciona el volumen es la condición del problema y relaciona las dimensionales. Volumen de un cilindro 2

V =π r h

3

2

32 pulg =π r h

h=

32 2 πr

Volumen =32 pulg3 Despejar la variable h

( )

32 h en la2 ecuación primaria Reemplazar A=2 πr +2π r 2 πr

A=2 πr

( π32r )+ 2 π r

2

2

( )

64 Simplificar + 2 π r2 A= r

( )

( 1 ) 64la ecuación resultante A Derivar '= +4 π r r2

( )

64 0= +la4ecuación πr Igualar a0 2 r

64 +4 π r 0= Simplificar 2 r

3

0=64+4 π r 3 64 3 =r 4π

√ √

3 64 3 16 r= = 4 π Despejar la πvariable r

Sustituir r en la ecuación

h=

32 2

h=

32

√

16 π π

2

3

R// las dimensiones que se deben usar para minimizar el uso de material es de radio 32 3 16 2 y altura 3 16 π π π

√

√

Ejemplo 10 Una página impresa debe tener márgenes izquierdo y derecho de 2 pulgadas de espacio en blanco y márgenes superior e inferior de 1 pulgada de espacio en blanco. El área de la porción impresa es de 32 pulgadas cuadradas. Determine las dimensiones de la página de modo que se use la menor cantidad de papel.

Elaborar un dibujo que represente las variables y datos del problema X= ancho de la hoja Y= largo de la hoja

La ecu...