Orígenes y Precursores del cálculo integral PDF

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Contiene una variación de temas como por ejemplo: los precursores del calculo, inventores del calculo integral y métodos de integración...

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Orígenes y Precursores del cálculo integral

Origen del cálculo integral: 

El cálculo integral tiene su origen en el estudio del área de figuras planas.

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Las fórmulas para el cálculo de las áreas de triángulos y rectángulos eran ya conocidas en la Grecia clásica

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El problema se plantea a la hora de calcular áreas de figuras limitadas por líneas curvas. Euclides (300 a.C.) sigue los trabajos de Eudoxio, para calcular el área del círculo, inscribía en él sucesivamente polígonos con más lados.

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Arquímedes (287-212 a.C.) halló también el área encerrada por un arco de parábola y la cuerda correspondiente.

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El método utilizado era el de agotamiento, el cual se encaja en la área entre dos polígonos, uno inscrito en la región y otro circunscrito en la misma.

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Por esto la mayoría de los autores empiezan exponiendo, en primer lugar, al menos, las primeras nociones de cálculo diferencial, antes de comenzar el estudio del cálculo integral.

Principales precursores: Carl Friedrich Gauss Una de las mayores aportaciones del calculo integral, que realizo Gauss fue la introducción de esta función, conocida mas comúnmente como la Campana de Gauss. Gottfried Wilhelm Leibniz Logró la resolución del problema para hallar la curva cuya subtangente es constante, Estableció la resolución de problemas para los máximos y mínimos, así como de las tangentes. RENE DESCARTES La aportación de Descartes fue el intento de unificar la antigua geometría con el álgebra, invento la geometría analítica que es donde se sientan las bases del cálculo.

Guillaume de l'Hôpital Su aportación fue el descubrimiento de la regla de L'Hôpital, atribuido a su nombre, que se emplea para calcular el valor límite. Blaise Pascal Aportaciones: Abordo la definición, y calculo de la derivada, e integral definida. El triángulo de Pascal. Maria Gaetana Agnesi Fue una figura muy relevante en la divulgación del cálculo, derribo barreras en la introducción de la mujer en el campo de las matemáticas. Johannes Kepler En 1814 apareció su memoria fundamental sobre las integrales definidas, y luego abordando el teorema de Fermat, sobre los números poligonales.

Inventores del cálculo integral: Newton y Leibniz Desarrollaron un simbolismo y unas reglas formales de cálculo que podían aplicarse a funciones algebraicas y trascendentes. 

Unificaron y resumieron en dos conceptos generales, el de integral y derivada, la gran variedad de técnicas diversas y de problemas que se abordaban con métodos particulares.

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Leibniz investiga la posibilidad de formular simbólicamente, los problemas de cuadraturas e introduce los símbolos que actualmente usamos para la integral y la diferencial.

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Para Leibniz una integral es una suma de infinitos rectángulos infinitesimales, el símbolo que ideó para representarlas ∫ ❑

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Algunos de los resultados de Leibniz en algunos manuscritos son casos particulares de la regla de integración por partes: f ´ ( t ) dt x

∫ ¿ dx 0

¿ ¿ ¿ a

f ´ ( x ) dx −∫ ¿ 0 a

a

0

0

xf ´ ( x ) dx = af ( a )−∫ f ( x ) dx=a∫ ¿ a

∫¿ 0

Newton, en su intento de calcular la cuadratura del círculo, es decir, de calcular la integral: 1

∫ ( 1−x2 ) 12 dx 0

Consideró dicha cuadratura como un problema de interpolación, relacionándola con las cuadraturas análogas conocidas para exponentes naturales n ∈ N 1

∫ ( 1−x2 )

n

0

Teorema fundamental del cálculo: 

Dada una función f integrable sobre el intervalo [ a , b]

por

x

f ( x )=∫ f ( t) dt a

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Si f es continua en

c ∈ ( a , b ) Entonces F es derivable en c

F ´ ( c ) =f ( c )

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Usando la Regla de la cadena obtenemos como consecuencia directa del primer teorema fundamental del calculo infinitesimal:

b (x )

d ∫ f ( t ) dt =f ( b ( x ) ) ∙b ´ ( x )−f ( a ( x ) ) ∙a ´ ( x ) dx a (x )

Función primitiva: La primitiva se define como cualquier otra función la cual cuando es diferenciada nos da de nuevo la función original f(x). Esto significa que f(x) es la derivada de su función primitiva o que la función primitiva es la integral de la presente función f(x). Por tanto, podemos decir que si F(x) es la función primitiva de f(x) entonces F(x) + c es también su función primitiva para los valores distintos de c sin ningún prerequisito para obtener a c. Por lo tanto se representa de esta manera:

∫ f ( x ) dx= F ( x ) +C Integral definida: La integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una función f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], se llama integral definida de la función entre los puntos a y b al área de la porción del plano que está limitada por la función. La integral definida de la función entre los extremos del intervalo [a, b] se denota como: b

∫ f ( x ) dx a

Propiedades de la integral definida: La integral definida cumple las siguientes propiedades:

1. Toda integral extendida a un intervalo de un solo punto, [a, a], es igual a cero. 2. Cuando la función f ( x ) es mayor que cero, su integral es positiva; si la función es menor que cero, su integral es negativa. 3. La integral de una suma de funciones es igual a la suma de sus integrales tomadas por separado. 4. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función. 5. Al permutar los límites de una integral, ésta cambia de signo.

Integral indefinida: Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función. Se representa por ∫ f ( x ) dx F ( x)

Si

es una primitiva de f ( x )

se tiene:

∫ f ( x ) dx= F ( x ) +C Para comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar. Propiedades de la integral indefinida: 

Propiedad de linealidad: La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas funciones.

∫ [ f ( x )+g ( x ) ] dx =∫ f ( x ) dx+∫ g ( x ) dx 

La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

∫ kf ( x )dx=k ∫ f ( x ) dx Integración por sustitución (cambio de variable): El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la derivada de la función compuesta.

∫ f ´ ( u )∙ u ´ dx= F ( u) +C

Para cambiar de variable identificamos una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable t, de modo que se obtenga una integral más sencilla

Pasos para integrar por cambio de variable:

∫ f ´ ( u )∙ u ´ dx  t=u



Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos términos: dt=u ´ dx

Se despeja u

y dx , sustituyendo la integral:

dt

∫ f ´ ( t ) ∙u ´ u´ =∫ f ´ (t )dt 

Si la integral resulta mas sencilla, integramos:

∫ f ´ ( t ) dt =f ( t ) +C Se vuelve a la variable inicial: f ( t ) +C=f ( u) +C...