P2 Modelación matemática utilizando Matlab PDF

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Universidad de Monterrey

Departamento de Ingeniería

LABORATORIO DE INGENIERIA DE CONTROL PRÁCTICA No. 2 MODELACION MATEMÁTICA UTILIZANDO MATLAB Y AMPLIFICADORES OPERACIONALES

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y la fuerza de gravedad por:

𝐹𝑔 = 𝑚𝑔, donde 𝑚 es la masa del sistema, 𝑘 es el coeficiente de elasticidad del resorte, y 𝐵 es el coeficiente de viscosidad del amortiguador. El diagrama de cuerpo libre del sistema se muestra en la Figura 2.2.

MODELACIÓN MATEMÁTICA Las transformaciones que sufre el flujo de materia, durante un proceso de transformación, pueden ser representadas por medio de ecuaciones matemáticas, principalmente por ecuaciones diferenciales. Estas ecuaciones se obtienen a partir de las leyes que rigen las transformaciones a realizar: método analítico. Las ecuaciones establecen una relación causa - efecto, en donde se distingue cuál es la variable dependiente (respuesta del proceso) y cuál es la variable independiente (forzante). El orden y tipo de las ecuaciones diferenciales resultantes dependen de las leyes que relacionan a la variable dependiente e independiente, así como, de los elementos físicos que se incluyen dentro del proceso. SISTEMA MECANICO MASA RESORTE AMORTIGUADOR Considérese el sistema mecánico resorte amortiguador mostrado en la Figura 2.1.a. Si a este sistema se le coloca una masa de valor (m), el sistema se desplaza a una nueva posición de equilibrio como se muestra en la Figura 2.1.b.

Figura 2. 1 Modelo Mecánico Masa Resorte Amortiguador

A partir de la posición de equilibrio y considerando los ejes como se muestran en la Figura 2.1.b., la fuerza que realiza el resorte puede escribirse como: 𝐹𝑅 = 𝑘(𝑥 + 𝑥0 ), la fuerza que realiza el amortiguador está dada por: 𝑑𝑥(𝑡 ) , 𝐹𝐴 = 𝐵 𝑑𝑡 Control Automático

Figura 2. 2 Diagrama de cuerpo libre para el sistema Masa Resorte Amortiguador

Aplicando la segunda ley de Newton: ∑ 𝐹 = 𝑚𝑎 = 𝑚

𝑑 2 𝑥(𝑡) 𝑑𝑣(𝑡) =𝑚 , 𝑑𝑡 𝑑𝑡

se obtiene: 𝑑 2 𝑥(𝑡) 𝑑𝑥(𝑡 ) 𝑚 = −𝐹𝑅 − 𝐹𝐴 + 𝐹𝑔 + 𝐹𝐸 = −𝑘(𝑥 + 𝑥0 ) − 𝐵 + 𝑚𝑔 + 𝐹𝐸 (𝑡), 𝑑𝑡 𝑑𝑡 y reordenando se tiene: 𝑑 2 𝑥(𝑡) 𝑑𝑥(𝑡) 𝑚 +𝐵 + 𝑘𝑥 = 𝑚𝑔 − 𝑘𝑥0 + 𝐹𝐸 (𝑡) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Asumiendo que el sistema se halla en equilibrio y sin fuerza exterior (𝐹𝐸 = 0) se obtiene que la posición original es proporcional a la masa y gravedad pero inversamente proporcional a la constante del resorte (comprobación a realizar en el reporte). Establecido lo anterior, las ecuaciones de un sistema masa resorte amortiguador son:  Sin fuerza exterior: 𝑑 2 𝑥(𝑡) 𝑑𝑥(𝑡) 𝑚 +𝐵 + 𝑘𝑥(𝑡) = 0 𝑑𝑡 𝑑𝑡  Con fuerza exterior: 𝑑 2 𝑥(𝑡) 𝑑𝑥(𝑡) 𝑚 +𝐵 + 𝑘𝑥(𝑡) = 𝐹𝐸 (𝑡 ) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Dentro de la transformada de Laplace, el teorema de la transformada de la derivada indica que: 𝐿{𝑓 ′ (𝑡)} = 𝑠𝐿{𝑓(𝑡)} − 𝑓 (0) . 1.1

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Para el sistema descrito se tiene 𝑥(0) = 0, por lo que se obtiene: 𝑚𝑠2 𝑋(𝑠) + 𝐵𝑠𝑋 (𝑠) + 𝑘𝑋(𝑠) = 𝐹𝐸 (𝑠) Finalmente, la función de transferencia que modela al sistema es: 1 𝑋(𝑠) = 𝐹𝐸 (𝑠) 𝑚𝑠 2 + 𝐵𝑠 + 𝑘 MODELACIÓN DE SISTEMAS CON AMPLIFICADORES OPERACIONALES Una herramienta valiosa en la modelación de sistemas reales es el uso de amplificadores operacionales para simularlos. Esta estructura permite evaluar los aspectos técnicos y de factibilidad de un PID (presentación del profesor). MATLAB COMO HERRAMIENTA DE SIMULACION Matlab es un ambiente de desarrollo matemático. La mayor cantidad de los sistemas de control son probados en este ambiente al proveer la modelación de sistemas en lazo abierto y cerrado, generar funciones de transferencia, y obtener respuestas en el tiempo, entre otras. Tome en cuenta la función de transferencia que se muestra a continuación y pruebe las funciones que se especifican al final de la práctica: 3𝑠 + 20 𝐺(𝑠) = 3 𝑠 + 25𝑠 2 + 174𝑠 + 360 REPORTAR 1.

que:

Demuestre a partir de la ecuación: 𝑑 2 𝑥(𝑡) 𝑑𝑥(𝑡) + 𝑘𝑥 = 𝑚𝑔 − 𝑘𝑥0 + 𝐹𝐸 (𝑡) 𝑚 +𝐵 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑥0 =

2.

𝑚𝑔

𝑘 Genere una función de transferencia en función de 𝑚, 𝐵 y 𝑘. Declare y asigne los siguientes valores a las variables:

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Obtenga la expansión en fracciones parciales de la función 𝐺. Indique sus polos, ceros y términos directos. 4. Dado que 𝐺 = 𝑌/𝑈 , suponga que 𝑈(𝑡) = 𝛿(𝑡). Obtenga la respuesta 𝑌(𝑡) en el tiempo 𝑡 . 5. Genere la gráfica de la respuesta del sistema 𝐺 ante una entrada impulso. Agregue el título de la gráfica, de la variable temporal y de la variable observada. 6. Genere la gráfica de la respuesta del sistema 𝐺 ante una entrada escalón unitario. Agregue el título de la gráfica, de la variable temporal y de la variable observada. 7. Demuestre, con el teorema del valor final de la transformada de Laplace, que el sistema siempre tendrá un valor proporcional al inverso de la ganancia del resorte. 8. Reasigne el valor de 𝐵 = 2. Genere la gráfica de la respuesta del sistema 𝐺 ante una entrada escalón unitario. Agregue el título de la gráfica como “Respuesta del sistema ante B=2”, de la variable temporal y de la variable observada. 9. Reasigne el valor de 𝐵 = 8. Genere la gráfica de la respuesta del sistema 𝐺 ante una entrada escalón unitario. Agregue el título de la gráfica como “Respuesta del sistema ante B=8”, de la variable temporal y de la variable observada. 10. Elaboren comentarios sobre las gráficas generadas en el punto 6 , 8 y 9. Comente sobre los tiempos de establecimiento y el tipo de forma que toma la respuesta. En base a su experiencia, identifique que sistema es subamortiguado, críticamente amortiguado y sobreamortiguado. Apóyese en lo visto en cursos anteriores de Física y Circuitos. 11. Obtenga la transformada de Laplace que modela al sistema RC que se muestra en la Figura 4. En un sistema RC alimentado por corriente directa, el voltaje en el capacitor es igual a la fuente de voltaje una vez que pasa el tiempo del transitorio. Demuestre esto apoyándose del teorema del valor final. 3.

m=1; k=1; B=0.5;

Asigne el nombre de 𝐺 a esta función de transferencia. Figura 4. Circuito RC.

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1.2

Universidad de Monterrey 12. Armar el circuito que represente un sistema de segundo orden subamortiguado y validarlo con la plataforma NI-Elvis. El circuito estará armado en un protoboard, deberá ser validado con una entrada de escalones unitarios de 1 Hz y 3 V de amplitud, y deberá observarse la respuesta del sistema. Reportar una gráfica de entrada vs. tiempo, y salida vs. tiempo. Ambas gráficas deben estar en un solo plano. 13. Modifique elementos electrónicos del circuito de la actividad 12 para convertir el sistema a uno con respuesta críticamente amortiguada. 14. Conclusiones: a. ¿Por qué es analizada la respuesta al impulso unitario (actividad 5 )? b. ¿Por qué es analizada la respuesta al escalón unitario (actividad 6)? c. ¿Por qué es importante utilizar un modelo real para validar un PID? d. Comente la importancia de poder variar componentes de un circuito (actividad 13) para cambiar el proceso a simular.

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BIBLIOGRAFÍA - Ogata, Katsuhiko, “Ingeniería de Control Moderna”, Prentice Hall, 1998. - Nise, Norman S., “Control Systems Engineering”, Wiley, 6a edición, 2011. Capítulo 2. LIGAS DE INTERÉS http://www.mathworks.com/academia/student_center/tutorials/index.html?link=body

1.3

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Instrucciones de Matlab Sintaxis 𝐵 = [𝑏1

𝑏2

⋯

𝑏𝑛 ]

tf(𝐵, 𝐴)

[𝑅, 𝑃, 𝐾] = residue(𝐵, 𝐴) syms 𝑥 ilaplace(𝑎𝑟𝑔) impulse(𝑔) [𝑌, 𝑡] = impulse(𝑔) grid xlabel(′𝑡𝑒𝑥𝑡𝑜′) ylabel(′𝑡𝑒𝑥𝑡𝑜′) title(′𝑡𝑒𝑥𝑡𝑜′) step(𝑔) [𝑌, 𝑡] = step(𝑔) plot(𝑡, 𝑌) figure(#)

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Descripción

Asigna un vector 1 × 𝑛 a la variable B. Un polinomio se representa mediante un vector de coeficientes de potencias descendentes de la variable 𝑠. Define una función de transferencia Calcula residuos, polos, y términos directos de una expansión en fracciones parciales de la relación de polinomios B(s)/A(s). Construye objetos simbólicos (𝑥 es una variable a la que no se asigna ningún valor en particular; en cuanto se hace una asignación a x, ésta deja de ser simbólica). Obtienen la transformada inversa de la función argumento. Obtiene la gráfica de la respuesta ante una entrada impulso de un sistema dinámico definido previamente con la función de transferencia 𝑔. Obtiene la respuesta ante una entrada impulso de un sistema dinámico definido previamente con la función de transferencia 𝑔. 𝑌 guarda el vector de la respuesta y 𝑡 el vector de tiempo. Generar cuadrícula en el área de graficado. Coloca el nombre del eje 𝑥. Coloca el nombre del eje 𝑦. Coloca el título de la gráfica. Obtiene la respuesta ante una entrada escalón de un sistema dinámico definido previamente con la función de transferencia 𝑔. Obtiene la respuesta ante una entrada escalón de un sistema dinámico definido previamente con la función de transferencia 𝑔. 𝑌 guarda el vector de la respuesta y 𝑡 el vector de tiempo. Grafica el vector 𝑌 contra el vector 𝑡 (deben tener la misma dimensión). Crea una ventana independiente para graficar.

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Ejemplo B=[3 20]; A=[1 25 174 360]; G=tf(B,A); [R,P,K]=residue(B,A); syms s; Y=ilaplace((3*s+20)/(s^3+25*s^2+174*s+360)); impulse(G);

[Y,t]=impulse(G); grid; xlabel(‘Tiempo’); ylabel(‘Respuesta’); title(‘Respuesta de G al impulso’); step(G); [Y,t]=step(G); plot(t,Y); figure(1);

1.4...