P3 Fracciones Simples - Apuntes matemática PDF

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I NTRODUCCIÓN A

UNLu

LA

M ATEMÁTICA - E LEMENTOS DE M ATEMÁTICA 2020

Fracciones Simples: 1 En este caso, recordaremos algunas cuestiones trabajadas en la sección 1.2 del Apunte. Sabemos que = 2 400 , pero ¿con cuál conviene trabajar?. Claramente si estamos en un cálculo combinado será conveniente 800 1 utilizar el pues los números involucrados son más pequeños. En general de todas las fracciones equivalentes 2 entre sí, nos interesará quedarnos con la más sencilla (aquella que utiliza los números más pequeños para respresentarse). Dicha fracción se obtiene cuando el numerados y el denominador no tienen factores en común (no son divisibles por el mismo número). Estas fracciones más sencillas se llaman fracciones simples. Pueden encontrar una definición formal en la sección 1.2. Volvamos al ejemplo anterior. 1 • En , los números 1 y 2 no tiene factores en común, son coprimos. 2 • En

400 los números involucrados tienen en común el factor 400 pues 400 = 400 · 1 y 800 = 400 · 2. 800

¿Cómo obtenemos fracciones simples? Para obtener una fracción simple equivalente a una dada, debemos eliminar los factores que tengan en común 400 el numerador y el denominador. Volvamos al ejemplo anterior. Sabemos que no es un fracción simple 800 pues tienen en común el factor 400. Entonces procedemos de la siguiente manera: ✟· 1 400 400 · 1 400 1 = = ✟✟ = 400 · 2 800 400 · 2 ✟ 2

Es decir, que podemos quedarnos con el cociente de la división de ambos números por 400. En algunos textos pueden ver esto representado con el siguiente esquema:

Ejemplos Obtener en cada caso fracciones simples. a)

12 20

6 b) − 21

24 2 11 d) 3

e)

c)

24 40

Recuerden que hay muchas formas de resolver este tipo de ejercicios, aquí les compartimos una posible.

1

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I NTRODUCCIÓN A

UNLu

LA

M ATEMÁTICA - E LEMENTOS DE M ATEMÁTICA 2020

a) Esta fracción no es simple pues 12 y 20 comparten factor. Para obtener una fracción simple eliminamos ese factor en común. 12 4·3 4 ·3 3 = =✁ = 20 4 · 5 ✁4 · 5 5 También podríamos haber dividido arriba y abajo por 4. En cualquiera de los casos llegamos a la fracción 3 , que es una fracción simple pues 3 y 5 son coprimos. 5 b) Esta fracción no es simple pues 6 y 21 comparten factor. Para obtener una fracción simple eliminamos ese factor en común. 2 6 3·2 ✁3 · 2 =− =− − =− 3·7 21 7 ✁3 · 7 También podríamos haber dividido arriba y abajo por 3. En cualquiera de los casos llegamos a la fracción 2 − , que es una fracción simple pues 2 y 7 son coprimos. Notemos que el hecho de que la fracción sea 7 negativa no afecta en nada el procedimiento. c) Esta fracción no es simple pues 24 y 2 comparten factor. Para obtener una fracción simple eliminamos ese factor en común.

24 2 · 12 ✁2 · 12 12 = = = = 12 2 2 2·1 1 ✁ ·1 También podríamos haber efectuado la operación 24 dividido 2. En cualquiera de los casos llegamos al 12 número entero 12. (La fracción , es una fracción simple pues 12 y 1 son coprimos). 1

d) La fracción

11 , es una fracción simple pues 11 y 3 son coprimos. 3

e) Esta fracción no es simple pues 24 y 40 comparten factor. Para obtener una fracción simple eliminamos ese factor en común. En ocasiones es posible simplificar en varios pasos, si es que no nos damos cuenta rapidamente cual es el factor común. 24 2 · 12 2 12 4 · 3 4 3 ✁ · 12 ✁ ·3 = = = = = = 40 2 · 20 2 20 4 · 5 4 5 ✁ · 20 ✁ ·5

Observación: 24 3 12 son equivalentes pues ambas al simplificarlas dan . Es decir, que y Notemos que las fracciones 20 40 5 tenemos una nueva forma de verificar si dos fracciones son equivalentes: Dos fracciones son equivalentes si y solo si sus expresiones en fracciones simples son iguales.

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