PA2 Matematica III - Nota: 7.5 PDF

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FACULTAD DE INGENIERIA, ARQUITECTURA Y URBANISMOESCUELA ACADÉMICA PROFESIONAL DE INGENIERIACIVILMATEMATICA III“EJERCICIOS Y ACTIVIDADES PROGRAMADAS SOBRE ECUACIONES DIFERENCIALES”Autor(es):Bocanegra Huaman, Hoguer AderlyLlontop Chavesta, Bryan KevinPardo Becerra, Jarlin MiguelVasquez Ordoñez, DavidA...

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FACULTAD DE INGENIERIA, ARQUITECTURA Y URBANISMO ESCUELA ACADÉMICA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL MATEMATICA III “EJERCICIOS Y ACTIVIDADES PROGRAMADAS SOBRE ECUACIONES DIFERENCIALES”

Autor(es): Bocanegra Huaman, Hoguer Aderly Llontop Chavesta, Bryan Kevin Pardo Becerra, Jarlin Miguel Vasquez Ordoñez, David Asesor: Dr. Álvarez Vasquez, Haylin

Pimentel – Perú 07/12/2020

PARTE I: ECUACIONES DE VARIABLES SEPARABLES Calcula, por separación de variables, la solución general de las siguientes ecuaciones de primer orden. Además, en caso de dar condiciones iniciales, determina las soluciones de los problemas de valor inicial (PVI) así como su intervalo maximal de definición. 2 dy x +1 = dx 2−2 y 2−2 ydy=x 2 +1 dx ∫ 2−2 ydy=∫ x2 +1 dx 3 2 y2 x = + x+ c 2 3 3 x +3 x +3 c 2 y − y 2= 3 3 x 2 y − y 2= +x +c 3

2 y−

dy −x , y ( 1 )=2 = y dx Y dy=−xdx x dx + y dy=0

x2 y2 + =k 2 2 x 2+ y 2 =2 k 2

2

y =2 k − x

y= √ 2 k−x * y (1 ) =2 2

1¿ =2 2 k−¿ √¿

2 k−1=22 2 k=4+1

k=

5 2

2

( )

dy −3 x +3 x y 2 = 2 dx y x +2 y x y (¿¿ 2+2) 2 dy −3 x ( 1+ y ) = ¿ dx

( ) ( ) 2

y +1 3x dx + dy=0 2 y x +2 Integrando:

( )

( )

y2 3x dx + +lny= c 2 x 2 +2 2 u=x +2 du du=2 xdx → =dx 2x y2 + + lny= c ∫ 3ux du 2 2x

∫

−3 x 1+ y 2 dy= 2 dx y ( x +2)

∫

()

1 3x dx +¿ ∫ ( y ) dy +∫ dy = c 2 y x +2 ∫¿

( )( ) 3 ∫ 1 du+ y2 +lny = c 2 ( u) 2

( ) 2

y +1 3x dx +∫ dy =c 2 y x +2

2

y 3 lnu+ +lny =c 2 2 3 y2 ln ( x 2+ 2) + +lny= c 2 2

2 2 3 ln ( x +2 )+ y +2lny=2 c → ecuacion general Luego: y 2+2lny=2 c−3 ln ( x 2 +2 ) Por lo tanto: (Como c es una constante hacemos un cambio de variable k=2c; donde k es otra constante) 2 2 2 y +2lny=−3 ln ( x +2 ) →k −3 ln ( x +2) ≠ 0 2 k ≠ 3 ln ( x +2) 2

x +2 ≠ e

√

√

k 3

k

x ≠ e 3 −2 k 3

Intervalo maximal: ¿ e −2; + Ꝏ > ¿

√√

x2 + x 2 y 2 dy = 2 2 2 dx y +x y dy dx

x 2 ( 1+ y 2)

√y

( 1+ x2) √ y 2( 1+x 2) dy=√ x 2( 1+ y 2) dx 2

√ x (1+ x 2

2

)

2 2 dx−√ y ( 1+ y ) dy=0

2 2 x √ 1+ y dx − y √1+x dy=0 x y dy=0 dx 2 √ 1+ x √ 1+ y 2 √ 1+ x 2− √1+ y 2 ¿ k

√ 1+ y 2

2 ¿ √ 1+ y −k

1+ y =( √1+ x −k ) 2

2

2

y=

( √ 1+ x 2−k)

y 2=¿

2

2

dy x (1+ y ) = 4y dx 4y xdx= dy 1+ y 2 4y dy=0 ( 1) dx− 1+ y 2 Integrando: x2 4y −∫ dy = c 2 1+ y 2 2

( )

( ) 2

u=1+ y du =2 ydy du =dy 2y x2 4 y 2 du =c × −∫ 2y u 2 x 2 −2 1 ∫ u du =c 2

()

()

dy π =−3 ycot ( x) ; y =2 2 dx

3 ycot ( x ) dx+ 1 dy=0 y

2

x 2 −2 lnu=c 2 x 2 −2 ln ( 2 ) y +1 = c 2 Para ( y ( 1 )= 0 ) : 12 −2 ln (02 + 1 ) =c 2 1 c= 2 La ecuacion general será : x 2 −2 ln ( 2 ) 1 y +1 = 2 2 Luego : x 2−4 ln ( y 2+ 1) =1 4 ln ( y 2+1 )=x 2−1 2

2

y +1=e

√

x −1 4

2

x −1 4

−1 y= e Intervalo maximal: ←Ꝏ ;−1>¿

( senx ) (¿¿ 3 . y)=lnk ln ¿ 3

sen x . y =k

y=

3 ln ( senx )+lny=lnk

ln ( senx ) 3+lny =lnk

2

−1

dy x +x y = ; y (1 )=0 dx 4y

dy=−3 ycot ( x ) dx

√ (√1+ x −k ) −1

¿y

k 3 sen x

( π2 )=2

k

()

π sen3 2

y=

k =2 13

=2

k =2

2 sen3 x

()

dy −sen2 y π π ;y = = 2 4 4 dx cos x dy −1 2 = 2 × sen dx cos x −1 dy= 2 × sen2 dx cos x 1 −1 −1 1 dy=∫ dx dy = 2 dx →∫ 2 2 cos x sen y cos 2 x sen y ∫ csc2 ( y ) dy=−cot ( x ) +c

∫−sec2( x ) dx=−tan ( x ) + c −cot ( x ) =−tan ( x )+c Remplazamos: π π = en laecuacion y 4 4 π π −cot =−tan +c 4 4 −1=−1+ c 0=c

() ()

()

−y dy = 3 2 3 dx x y + x (x 3 y 2 + x 3)dy=− ydx

2

−1 −2 y x + + ln y=k 2 2 −2

y 2=¿ 2 k +x−2 Ydx +(x 3 y 2 + x 3) dy=0 y 2+ln ¿ y dx+ x 3 ( y 2 +1) dy=0

2

x + y + 2 liny =2 k

1 x

3

dx+

y 1+1 dy=0 y

−3

( 1y ) dy=0

x dx + y +

PARTE II: PROBLEMAS DE ECUACIONES HOMOGÉNEAS Calcula la solución general de las siguientes ecuaciones homogéneas. En el caso de dar condiciones iniciales calcula la solución particular y su intervalo maximal de definición

dy 2 y 2−x 2 = xy dx 2 2 xy dy= ( 2 y −x ) dx xy dy+ (x −2 y )dx=0 y=ux dy =udx + xdu u x2 ( udx + xdu )+( x 2−2 u2 x 2 ) dx=0 2

2

u2 dx + uxdu +( 1−2 u2 ) dx=0

( 1−u 2) dx + uxdu =0 dx

u

∫ x +∫ 1−u2 du=0 ln|x|+

( −12 ln|1−u |)=C 2

| |

y2 1 ln|x|− ln 1− 2 =C 2 x

dy 3 xy +2 y = dx x2

2

definicion deec homogeneas M (x , y ) dy + n ( x , y )dx=0

Es homogénea sí.

M (x , y ) =t k . m ( x , y ) pararesolver una ecuaciondiferencial homogenea

1. dejar todoen un extremo 2 2 x dy − (3 xy+ 2 y ) dx=0

2. comprobar que sean homogeneas.

M (x , y ) =x 2

M ( tx , ty )=t 2 x 2

homogenea de segundo grado

N ( x , y )=3 xy +2 y 2

dy = dx

xy−3 ( x 2 + y 2) arctan

( yx )

x sen ( 4 / x ) dy =( 4 sen ( 4/ x ) + x ) dx

[ () ]

2

x sen ( 4 / x ) dy − y sen

x

xy−3 ( x 2+ y 2 ) arctan y ´=

( yx )

Cambio de variable.

y=vx

4=ux ⇨u= xvx−3 ( x2 + ( vx ) ) arctan 2

( vxx )

x

x senu ( udx + xdu ) − [ ux sen u+ x ] dx=0

x v−3 arctan ( v ) ( x2 + x 2 v 2) x2 2

2

2

xv ´ x +v x =

ux sen u dx+ x2 senu du−ux sen u dx−xdx=0 2

x v−3 arctan ( v ) (x + x v ) 2 x x2 2

2

2

2

v ´ x3+ v x 2−x 2 v = x 2 v −3 arctan ( v ) ( x 2+ x 2 v 2 ) v ´ x 3=−3 x 2 arctan ( v ) −3 x 2 arctan ( v ) v 2 2 2 3 v ´ x −3 x arctan ( v )−3 x arctan ( v ) v = 3 3 x x 2

dy dx

y sen ( y ∕ x )+ x ¿ x sen ( y ∕ x )

4 x

dx =udx + xdu

2

xv ´+ v=

4 + x dx=0 x

( es homogeneade orden1 )

x2

( vx ) ´ =

2 2 N ( tx ,ty )=t (3 xy +2 y )

N ( tx ,ty )=3 t 2 xy +2 t2 y 2

x sen udu− xdx =0 v ´=

2 −3 arctan ( v ) (v +1 ) x

−3 arctan( v ) (v +1 ) v´ x = 2 2 arctan ( v )( v +1 ) arctan ( v ) ( v +1) 2

−3 v´ = 2 x arctan ( v )( v +1 ) −3 1 v ´= 2 x arctan ( v )( v +1 )

∫

1 −3 dx dv=∫ 2 x arctan( v ) ( v + 1 )

senudu=

ln ( arctan ( v ) ) +C 2=−3 ln ( x ) + C1 arctan ( v )= v =tan

xdx x

2

∫ sen udu=∫

eC x3

dx x

1

−cosu=lnx +C cambio de variable

C1

−cos ( 4/ x ) = lnx + C

x3

cos ( 4/ x ) = −lnx−C 2

y =co s−1 (−lnx−C ) x

x sen udx= xdx

y=x co s−1 ( −lnx−C )

(

dy y +2 xe = x dx

−y ) x

Dejar todo en un extremo Xdy = (

y +2 xe

(

−y ) x

)dx

Xdy- (

y +2 xe

(

−y ) x

)dx = 0

Comprobar que sean Homogéneas y del mismo grado. (

−y ) x

M( x, y) = x

N(x,y) = y +2 xe

M( x,y) = tx

N(tx, ty)= y +2 txe

(

Homogenea de grado 1

N(tx, ty) = T

−ty ) tx

y +2 xe

(

− y) x

Ecuación de primer grado

2

Y =ux

∫ e 4 du=∫ x

Dy = adx + xdu Xdy – ydx – 2 xe

(

−y ) x

d x= 0

Xudx + x 2 du −uxdx −2 x e−4 dx =0 2

x du =2 xe

−4

dx .

dx

( x )+¿ c e =2 ln¿ 4

Ln ( e 4 ) = ln ( 2ln (x) +c)

Y = xln ( 2ln (x) +c)

dy 3 x +2 y = dx x

,

y ( 1 )=2.

dy 3 x +2 y = dx x xdy=( 3 x +2 y )dx xdy

-

dy =udx+ xdu

Sustituimos: x ( udx + xdu)−3 xdx +2 uxdx=0 2

uxd + x du −3 xdx +2 uxdx =0

( 3 x+2 y ) dx=0 2

x du −3 xdx + 3 uxdx =0

xdy −3 xdx 2 ydx =0 Cambio de variable: y=ux ⇨u=4 / x

no es una ecuacion homogenea xdx ⇨ orden 1

3 x+2 y orden2

dy √ x + y = dx x 2

2

xdy=( √ x + y ) dx 2

2

2 2 xdy−( √ x + y ) dx=0

y=ux →dy =udx + xdu

Reemplazar

x (udx + xdu )− (√ x 2+(ux)2 ) dx=0 x udx +x 2 du − ( √ x 2 + ( ux ) )dx=0 2

x udx +x 2 du − ( √ x 2+ u2 x 2 ) dx=0 x udx +x 2 du − ( √ x 2 (1+u2) ) dx=0 x udx + x 2 du − ( x √ 1+u 2) dx=0 x ( u−√ 1+u2 ) dx + x 2 du =0 x [ ¿¿ 2 du]

∫ [x ( u− √1+u 2) dx]=−∫ ¿ x 2 (− √ 1+u2 +u ) =−u x 2 + c 2 −x 2 ( √ 1+u2)+x 2 u=−2 u x 2+ c x 2 (− √1+u2 +u+2 u )=c x 2 (− √1+u2 +3 u) =c

(√

2 x − 1+

√

)

y y2 +3 =c 2 x x

−x 2 1+

y2 +3 xy=c x2

−x √ 1+ y 2 +3 xy =c x=

c

√1+ y 2 +3 y

dy x 3 + y 3 , = dx x y2 y 1=

y (1 )=1.

x3 + y 3 x y2

1 2 −2 y 1− y = x y x Transformamos

1 1−n

1 2 −2 y 1− y = x y x 1y y x 2 y−2 y = − −2 y −2 y −2 y 1

y 1 y 2− 1

2

y y− 1

y3 2 =x x 1 x 2

y =3 y y

v ¿ x2 1

v1 v − =x 2 3 x 3 1 v − v= x2 3 x Factor de integración: M ( x ) =1 /x

3

3 v 1− =x 2 3 x v

1

1 1 3 1 − v 3 =x2 .3 . 3 3 x x x x

v1 3 v = 3 − 4 x x3 x

( )

1 1 3 v = x x3

v 3 + p (x ) v =q ( x )

1 x

3

v=∫

3 x

1/ x 3 v =3 ln ( x ) +C 1 v =3 ln ( x ) x 3+ C 1 x 3 y 3 =3 ln ( x )x 3 +C 1 x 3 3 y = x √3 ln ( x ) +C 1

PARTE III: ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS Escribe cada una de las siguientes ecuaciones en la forma P(x,y)dx+Q(x,y)dy = 0, comprueba su exactitud y resuelve aquellas que sean exactas. F ( x , y ) =C

∂ y x− y 2 = ∂ x 2 xy + y dx ( x− y 2 )= ( 2 xy + y ) dy

∂F =N ∂y

( x − y 2 ) dx− ( 2 xy + y ) dy=0 M

∂M ∂N = ∂x ∂y

2 xy

∫ ∂ F=∫ −2 xyⅆy N

−2 y=−2 y

dy 2 2 =x − y dx

dy x 2− y 2 = 2 xy dx Reescribir en bernoulli dy y x −1 + = y dx 2 x 2 Transformar a 1 v ´+ P ( x ) v=qx 1−n

F=

2

N=−2 xy− y

∂F =M ∂x

P ( x , y ) dx + Q ( x , y ) ⅆy =0

( x − y 2 ) dx +( −2 xy− y ) dy=

M =x− y

− y2 −x y 2+φ(x ) 2

v´ v x + = 2 2x 2 Resolvemos 1 v ´ + v= x x Factor de integracion u ( x ) =x

Reescribimos la ecuacion

( u ( x ) . y ) ´=u ( x ) . q(x ) 1 v ´ x+ vx=x 2 x

xv ´+ v = x

2

v=

( xv ) ´ =x 2

Sustituimos

xv=∫ x 2 dx xv=

v = y2

x3 +c 3

√

y 2=

√

3

x2 c + 3 x

3

x +c x +c ; y=− y= 3x 3x

dy x = dx x + y

x2 c + 3 x

sin ( x ) y +

2 y2 x − =c 1 2 2

xdx−( x + y) dy=0

despejar y :

xdx+ ( −x− y ) dy=0

y=−sin (x )+ √ x 2+sin 2( x ) +2 c 1

x

dy dx + (−x − y ) =0 dx dx

dy x+ ( −x− y ) =0 P=x ;Q=(−x− y ) dx dP dQ = dy dx x

d d =(−x− y ) dx dy

0=−1

dy x− y cosx = dx senx + y dy x− y cosx = dx sen(x )+ y y ´=

x− y cos(x ) sen(x )+ y

−x++ cox (x ) y + ( sin ( x )+ y ) y ´=0 sin ( x ) y +

2 2 y x − c 1=c 2 2 2

2 2 y=−sin (x )− √ x sin ( x ) +2 c 1 2 2 y=−sin (x )+ √ x +sin ( x ) +c 1

EXACTA

∂N =e−x +2 y ∂X

∂ M −x =e ∂N

F(x , y) ∂f =M (x , y ) ∂x ∂f =M (x , y ) ∂x ∂f = y e−x −senx ∂x −x f ( x , y )= ( y e −senx ) dx −x f ( x , y )=− y e +cosx+k

f ( x , y )=− ye−x +cosx + gy ∂g ∂f =−e−x −2 y =−e−x +0+ ∂y ∂y

( y e −senx ) dx− ( e +2 y) dy =0 −x

−x

∂M = y e−x −senx ∂N g ( y) =

−2 y 2

∂ M −x =e ∂N

2

g ( y) =− y 2 f ( x , y )=− y e−x +cosx − y 2

( x + xy ) dx +( log +2 y ) dy=0 M ( X ,Y ) N (X ; Y ) 2

x

Por lo tanto: M (X , Y ) N ( X ; Y ) = dy dx

∂ g( y) =2 y ∂y

∫ ∂ g( y )=∫ 2 ydy

y d (x 2 + ) d M ( X ,Y ) x 1 = = dy dy x x +2 y log ¿ ¿ d¿ d N (X , Y ) =¿ dy

No es una ecuación exacta pues no hay igualdad. x dy y ( y −e ) = dx e x −2 xy

Y( y - e x ) dx- ( e x −2 xy ¿ dy ∫(

2

y −y

) dx =

ex

F (x,y)=

2

y x− y

ex

+ g(y)

y 2 x − y ex+g ( y )

dy =2x dx

e

+ g(y)

x

2x – e x + g(y) = e x +2 xy = g ( y )=0 F(x,y)=

2

y x− y

ex

2

ex

+ K=C

2

ex

=C

y x− y y x− y

+K

( x 2+x ) dy + (2 xy +1+2 cos x ) dx=0 dy ( x 2+x ) =−dx ( 2 xy +1+2 cos x ) dy −(2 xy +1+2 cos x ) = dx ( x 2 +x ) y 1=

−2 xy −1−2 cos x x 2+ x

y 1+

−1 2 cos x 2 y= 2 − 2 x +1 x + x x +x

Factor de integración 2 M (x ) =x +2 x+1 1 2 y ( x +2 x +1 ) +

2 x +1

y ( x2 +2 x+0) = -

1 x +x 2

Resolver:

( 1 x 2 +2 x+1 ) y 1= ( x +1 ) x

2 cos x ( x+1 ) x

Despeje: y=

−x lnx 2 sen x − 2 C ( x ) − 2 − 2 2 x +2 x +1 x +2 x +1 x +2 x+ 1 x +2 x +1 2

La rapidez de propagación de un virus es proporcional al número de personas que se han contagiado x (t) y al número de ellas que no se han expuesto a él. Siendo n el número de personas de la población, establecer el modelo de propagación del virus en función del número de personas contagiadas.

P ( x , y) dx + Q ( x , y ) dy=0

dx = dy

( x − y 2 ) dx− ( 2 xy + y ) dy=0 ( x − y 2 ) dx +( −2 xy− y ) dy=0

Se colocan x 0 bacterias en una solucion en un instante t 0 . Llamamos x(t) al numero de bacterias en cada instante. Si el alimento y el espacion son limitados, lo cual implica que la poblacion crece aun ritmo proporcional a la poblacion existente en cada momento, modelizar el crecimiento de la poblacion de bacterias en funcion del numero de bacterias en cada instante. X(t) numero de bacterias en cada instante La ecucacion del crecimiento de la bacteria

x ( t )=

k 1+∆ e−rt

dx ( t ) =k . x . t dt dx ( t ) k =k . dt 1+∆ e−rt dx ( t ) k2 = dt 1+∆ e−rt...