UNIDAD III: Cálculo diferencial [Matematica II -TUMI] PDF

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Facultad de Ciencias de la Alimentación

Tecnicatura Universitaria en Mantenimiento Industrial

MATEMÁTICA II
Unidad III
Prof. Elisabet Impini
Dr. Ing. Federico Camargo

Ciclo lectivo 2019...

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MA MATTEM EMÁ ÁTIC TICA A IIII Un Unid id idad ad III

Prof. Elisabet Impini Dr. Ing. Federico Camargo Ciclo lectivo 2019

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TUMI - Matemática II – Unidad III

Cálculo diferencial Definición. Derivada de una función en un punto. La derivada como una función. Interpretación geométrica. Reglas de derivación: de las funciones constante, identidad, del producto de una constante por una función, de una suma algebraica de funciones, de un producto de funciones, de un cociente de funciones, de una función compuesta, de la función logarítmica, método de la derivada logarítmica, de las funciones potencial y la exponencial, de funciones inversas y trigonométricas. Derivadas de orden superior. Derivada de una función definida implicitamente. Diferencial de una función.

DERIVADAS En el siglo XVII, algunos matemáticos estaban abocados a problemas geométricos tales como hallar la recta tangente a una curva en un punto. Simultáneamente, Isaac Newton (1642-1727) y Gottfried Leibniz (1646-1716), desarrollaron una rama de la Matemática llamada cálculo infinitesimal, mientras trataban de resolver problemas físicos vinculados a los conceptos de velocidad y aceleración instantáneas de un móvil. Esto generó una gran disputa entre ellos, pues cada uno suponía que el otro había plagiado el concepto de derivada. Dentro de esta rama de la Matemática, la derivada es un concepto que, asociado con las nociones de límite y continuidad, permite modelizar, además, situaciones relacionadas con diferentes campos, como la economía, biología, mecánica, medicina bacteriológica, física, química, sociología, entre otros, pues permite estudiar la forma y la rapidez con la que se producen los cambios de alguna magnitud en particular. CONCEPTO DE DERIVADA Sea 𝑓 𝑥 una función continua en un intervalo real 𝑎; 𝑏 , se denomina incremento de 𝑥 o ∆𝑥 a la variación que experimenta la variable independiente al pasar de 𝑥0 (abscisa inicial) a 𝑥1 (abscisa final), es decir, ∆𝑥 = 𝑥1 − 𝑥0 . En correspondencia con ella la variable dependiente experimenta también una variación, denominada incremento de 𝑦 o ∆𝑦, por lo que resulta: ∆𝑦 = 𝑦1 − 𝑦0 = 𝑓(𝑥1 ) − 𝑓(𝑥0 ).

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Se llama cociente incremental a la razón ente el incremento de una función y el 𝑓 𝑥 0 +∆𝑥 − 𝑓(𝑥 0 ) ∆𝑦 incremento de la variable independiente. Es decir∆𝑥 = . ∆𝑥

∆𝑦

Se denomina derivada de una función 𝑦 = 𝑓(𝑥) al límite del cociente incremental∆𝑥 cuando ∆𝑥 tiende a cero y se simboliza 𝑓′(𝑥). Si este límite existe, se dice que la función es derivable o que admite derivada.

Derivada de una función Llamamos función 𝑓 𝑥+∆𝑥 ∆𝑦 lim ∆𝑥 = lim

∆𝑥→0

∆𝑥→0

derivada − 𝑓(𝑥)

∆𝑥

de

𝑓(𝑥)

y

la

′

. Es decir que 𝑓 𝑥 = lim

denotamos 𝑓′(𝑥), a , siempre que este ∆𝑥

𝑓 𝑥+∆𝑥 − 𝑓(𝑥)

∆𝑥→0

límite exista y no sea infinito.

Derivada de una función en un punto Llamamos derivada de la función 𝑓(𝑥) en el punto 𝑥0 y la denotamos 𝑓′(𝑥0 ) al valor de lim

∆𝑦

∆𝑥→0 ∆𝑥

𝑓 𝑥 0 +∆𝑥 − 𝑓 (𝑥 0 ) . ∆𝑥 ∆𝑥→0

= lim

𝑓 𝑥 0 +∆𝑥 − 𝑓(𝑥 0 ) , ∆𝑥 ∆𝑥→0

Es decir que 𝑓 ′ 𝑥0 = lim

siempre que

este límite sea un número real. También podemos decir: La derivada de la función 𝑓(𝑥) en un punto 𝑎, perteneciente a un intervalo abierto en el que está definida dicha función, es igual al límite del cociente ′

a 𝑎, y se denota 𝑓′(𝑎). O sea, 𝑓 𝑎 = lim 𝑥→𝑎

𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑎) 𝑥−𝑎

𝑓 𝑥 − 𝑓 (𝑎) cuando 𝑥−𝑎

𝑥 tiende

, es la derivada finita de la función

en ese punto, si el límite es un número real.

Función derivable en un punto Una función 𝑓(𝑥) es derivable en un punto 𝑥0 si 𝑓′(𝑥0 ) es un número real.

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Interpretación geométrica de la derivada

Si se piensa a 𝑃 moviéndose hacia 𝐴, considerado fijo, a lo largo de la curva representativa de 𝑓(𝑥), se obtienen infinitas rectas secantes que pasan por 𝐴. Dichas secantes tienen distintas pendientes, ya que ∆𝑥 va disminuyendo a medida que 𝑃 se acerca a 𝐴. Para el caso extremo en que 𝑃 tiende a 𝐴, se obtiene la posición límite de las mismas, llegando a ser la recta tangente con 𝑓(𝑥) en 𝑥0 y se llama punto de tangencia o contacto al punto 𝐴. Así, en el triángulo rectángulo (𝐴𝐵𝑃) 𝑡𝑔𝜑 =

𝑃𝐵 ∆𝑦 𝑓 𝑥0 + ∆𝑥 − 𝑓(𝑥0 ) = = ∆𝑥 𝐴𝐵 ∆𝑥

Pasando al límite 𝑓 𝑥0 + ∆𝑥 − 𝑓(𝑥0 ) ∆𝑥→0 ∆𝑥

lim 𝑡𝑔𝜑 = lim

∆𝑥→0

Por lo que resulta: 𝑓 𝑥0 + ∆𝑥 − 𝑓(𝑥0 ) = 𝑓 ′ (𝑥0 ) ∆𝑥→0 ∆𝑥

𝑡𝑔𝛼 = lim

Entonces, la derivada de una función en un punto 𝑥0 es igual a la tangente trigonométrica del ángulo formado por la tangente geométrica (recta tangente) a la curva en 𝐴 y el semieje positivo de abscisas, es decir, la derivada se interpreta geométricamente como la pendiente de la recta tangente a 𝑓(𝑥) en el punto de abscisa 𝑥0 .

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REGLAS DE DERIVACIÓN

Derivada de la función constante Si la función es constante 𝑓(𝑥) = 𝐶 , resulta ∆𝑦 = 0 para cualquier ∆𝑥 . Por lo que ∆𝑦 0 =0 𝑓 ′ 𝑥 = lim ∆𝑥 = lim ∆𝑥→0

∆𝑥→0 ∆𝑥

Gráficamente, este resultado confirma el hecho evidente de que, siendo la tangente a la recta 𝑓(𝑥) = 𝐶 es ella misma, el ángulo que forma con el semieje positivo de abscisas es nulo, y en consecuencia 𝑓 ′ 𝑥 = 𝑡𝑔0° = 0. La derivada de una constante es nula

Derivada de la función identidad Siendo 𝑓(𝑥) = 𝑥 , a cualquier ∆𝑥 (incremento de la variable independiente), le corresponde un mismo ∆𝑦 (incremento de la función), es decir, ∆𝑥 = ∆𝑦 . Por lo que 𝑓 ′ 𝑥 = lim

∆𝑦

∆𝑥→0 ∆𝑥

= lim

∆𝑥

∆𝑥→0 ∆𝑥

=1

Gráficamente, este resultado es evidente, debido a que la recta tangente a 𝑓 𝑥 = 𝑥 es ella misma, y al ser la bisectriz del primer y tercer cuadrante el ángulo que forma con el semieje positivo de abscisas es de 45°, en efecto, 𝑓´ 𝑥 = 𝑡𝑔 45° = 1

La derivada de la función identidad es la unidad

Derivada del producto de una constante por una función Considerando 𝑦 = 𝑘 𝑓(𝑥), resulta ∆𝑦 = 𝑘 𝑓 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑘 𝑓(𝑥) Extrayendo factor común 𝑘: ∆𝑦 = 𝑘 [𝑓 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑓 𝑥 ] Por lo que al formar el cociente incremental, pasar al límite y haciendo uso de su algebra: 𝑘 [𝑓 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑓 𝑥 ] ∆𝑦 ∆𝑦 = 𝑘 lim = 𝑘 𝑓´(𝑥 ) = lim ∆𝑥 ∆𝑥→0 ∆𝑥→0 ∆𝑥 ∆𝑥→0 ∆𝑥

𝑓 ′ 𝑥 = lim

La derivada del producto de una constante por una función es equivalente al producto de dicha constante por la derivada de la función.

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Derivada de una suma algebraica de funciones Dada 𝑦 = 𝑢 + 𝑣 − 𝑤, siendo 𝑢, 𝑣 y 𝑤 funciones de 𝑥 , es decir, 𝑢 = 𝑓1 𝑥 , 𝑣 = 𝑓2 (𝑥) y 𝑤 = 𝑓3 (𝑥). Para un incremento cualquiera ∆𝑥 de la variable independiente, corresponden incrementos ∆𝑢 , ∆𝑣 y ∆𝑤, de las funciones 𝑓1 𝑥 , 𝑓2 (𝑥) y 𝑓3 (𝑥 ), que sumados algebraicamente dan ∆𝑦, o sea: ∆𝑦 = ∆𝑢 + ∆𝑣 − ∆𝑤. Al formar el cociente incremental, pasar al límite y aplicando sus propiedades, resulta: ∆𝑤 ∆𝑣 ∆𝑢 ∆𝑢 + ∆𝑣 − ∆𝑤 − lim + lim = lim = 𝑢 ′ + 𝑣´ − 𝑤′ ∆𝑥→0 ∆𝑥 ∆𝑥→0 ∆𝑥 ∆𝑥→0 ∆𝑥 ∆𝑥→0 ∆𝑥

𝑓 ′ 𝑥 = lim

La derivada de una suma algebraica de funciones es igual a la suma algebraica de las derivadas de dichas funciones.

Derivada de un producto de funciones Considerando 𝑦 = 𝑢. 𝑣 y siendo 𝑢 = 𝑓1 𝑥 , 𝑣 = 𝑓2 𝑥 . Al incremento ∆𝑥 de la abscisa, le corresponden respectivamente ∆𝑢 y ∆𝑣, por lo que el incremento de la función es: ∆𝑦 = 𝑢 + ∆𝑢 (𝑣 + ∆𝑣) − 𝑢𝑣. Al aplicar la propiedad distributiva y cancelar términos, resulta: ∆𝑦 = 𝑢. ∆𝑣 + 𝑣. ∆𝑢 + ∆𝑢 . ∆𝑣. Formando el cociente incremental y pasando al límite, queda: 𝑢. ∆𝑣 + 𝑣. ∆𝑢 + ∆𝑢 . ∆𝑣 ∆𝑦 = lim ∆𝑥→0 ∆𝑥→0 ∆𝑥 ∆𝑥 Distribuyendo el cociente y el límite, se obtiene: 𝑦′ = lim

∆𝑦 ∆𝑣 ∆𝑢 ∆𝑢 = lim . 𝑢 + lim . 𝑣 + lim . ∆𝑣 ∆𝑥→0 ∆𝑥 ∆𝑥→0 ∆𝑥 ∆𝑥→0 ∆𝑥 ∆𝑥→0 ∆𝑥 Como ∆𝑥 → 0, también ∆𝑢 → 0 y ∆𝑣 → 0, entonces resulta: 𝑦′ = lim

𝑦′ = 𝑢 ′ . 𝑣 + 𝑢. 𝑣´ + 𝑢 ′ . 0 = 𝑢 ′ . 𝑣 + 𝑢. 𝑣′ La derivada del producto de dos funciones es igual a la derivada de la primera función por la segunda sin derivar, más la primera función sin derivar por la derivada de la segunda.

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Derivada de un cociente de funciones 𝑢

Tomando 𝑦 = y siendo 𝑢 = 𝑓1 𝑥 , 𝑣 = 𝑓2 𝑥 . Al incremento ∆𝑥 de la abscisa, le 𝑣 corresponden respectivamente ∆𝑢 y ∆𝑣, por lo que el incremento de la función es: 𝑢 +∆𝑢 𝑢 ∆𝑦 = − 𝑣. 𝑣+ ∆𝑣

Haciendo común denominador para efectuar la resta, aplicando propiedad distributiva y cancelando términos opuestos, se obtiene: ∆𝑦 =

𝑢 + ∆𝑢 . 𝑣 − 𝑢. (𝑣 + ∆𝑣) 𝑢. 𝑣 + 𝑣. ∆𝑢 − 𝑢 . 𝑣 − 𝑢. ∆𝑣 𝑣. ∆𝑢 − 𝑢 . ∆𝑣 = 2 = 𝑣 + 𝑣. ∆𝑣 𝑣 + ∆𝑣 . 𝑣 𝑣 + ∆𝑣 . 𝑣

Formando el cociente incremental y pasando al límite, resulta: 𝑣. ∆𝑢 − 𝑢. ∆𝑣 ∆𝑦 = lim 2 ∆𝑥→0 (𝑣 + 𝑣. ∆𝑣)∆𝑥 ∆𝑥→0 ∆𝑥

𝑦′ = lim

Distribuyendo el cociente y el límite, queda: 𝑦 ′ = lim

∆𝑦

∆𝑥→0 ∆𝑥

= lim

∆𝑥→0 (𝑣 2

𝑣. ∆𝑢 𝑢. ∆𝑣 − lim 2 ∆𝑥→0 + 𝑣. ∆𝑣)∆𝑥 (𝑣 + 𝑣. ∆𝑣)∆𝑥

Como ∆𝑥 → 0, también ∆𝑢 → 0 y ∆𝑣 → 0, finalmente: 𝑦′ =

𝑣. 𝑢 ′ 𝑢. 𝑣 ′ 𝑣. 𝑢 ′ − 𝑢 . 𝑣′ = − 𝑣2 𝑣2 𝑣2

La derivada del cociente de dos funciones es igual a la derivada del numerador multiplicada por el denominador sin derivar, menos la derivada del denominador por el numerador, dividida esta diferencia por el cuadrado del denominador.

Derivada de una función compuesta (regla de la cadena)

Siendo 𝑦 = 𝑓(𝑢), donde 𝑢 = 𝑔(𝑥) una función compuesta. Por definición de la derivada y multiplicando numerador y denominador por ∆𝑢: ∆𝑦 ∆𝑢 . ∆𝑥→0 ∆𝑥 ∆𝑢 y  u Al intercambiar los denominadores: y   lim  x 0 u  x 𝑦 ′ = lim

Y sabiendo que si x  0, entonces u  0, resulta: 𝑦 ′ = 𝑓 ′ 𝑢 . 𝑔′ (𝑥)

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Derivada de la función logarítmica 1

Considerando la función logaritmo 𝑓(𝑥) = log 𝑎 𝑥 , su derivada es: 𝑓′(𝑥) = log 𝑎 𝑒 x 1

En particular, si 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛 𝑥 , la derivada resulta: 𝑓′(𝑥) =x log 𝑒 𝑒 =

1 x

Método de la derivada logarítmica La derivada del logaritmo natural y la regla de la cadena permiten simplificar muchos cálculos. Este método consiste en: Aplicar logaritmo natural miembro a miembro Aplicar propiedades de los logaritmos, si es posible Derivar ambos miembros Despejar 𝑦 ′ Reemplazar 𝑦

Llegó la hora de tomar el lápiz! Demuestre las derivadas de un producto y de un cociente de dos funciones mediante el método enunciado anteriormente.

Derivada de la función potencial Llegó la hora de tomar el lápiz! Considerando 𝑦 = 𝑥 𝑛 , con 𝑛 ∈ ℤ +, demuestra empleando el método de la derivada logarítmica que su derivada es: 𝑦′ = 𝑛𝑥 𝑛 −1 .

Derivada de la función exponencial Siendo 𝑦 = 𝑎 𝑥 , donde 𝑎 > 0 ∧ 𝑎 ≠ 1, demuestra utilizando el método de la derivada logarítmica que su derivada es: 𝑦 ′ = 𝑎 𝑥 . ln 𝑎. En el caso particular de la función exponencial natural 𝑦 = 𝑒 𝑥 , se comprueba fácilmente que su derivada resulta ser ella misma. 7

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Derivada de las funciones inversas Si y  f ( x) , entonces x  f  1 ( y ) , para hallar la derivada de la inversa de una función procederemos de la siguiente forma:

y y y dy 1 1  lim  lim  lim         x x x 0 0 0 x x   x x dx lim y  y x 0 y

1 x lim y 0 y    



1 dx dy

si  x 0, entonces  y 0

Derivada de la función seno Sabiendo que y  sen x , el incremento de la función es y  sen (x  x)  sen x , y el y sen ( x  x)  sen x cociente incremental es .  x x De acuerdo a la tabla de fórmulas trigonométricas, el numerador del segundo miembro, se puede expresar como producto, resultando:

 x  x  x   x  x  x  2 cos   sen   y 2 2       x x x   2 x  x   x    x  2 cos  2 cos  x   sen    sen  2 2     2     2  x x Al reagrupar y pasar al límite, queda:

x  x  x   sen  sen  2 cos  x     y 2    2   lim cos  x  x  lim  2   cos x y  lim  lim   x 2   x 0 x  x  0 x  x  0  x 0  2  1, por infinitésimos equivalentes

Derivada de la función coseno

Si 𝑦 = cos 𝑥 , de manera análoga a la utilizada para demostrar la derivada de la función seno, demuestra que la derivada de la función coseno es: 𝑦 ′ = −𝑠𝑒𝑛𝑥 .

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Derivada de la función tangente sen x

Sabiendo por definición de la tangente que 𝑦 = tg x = cos x , y teniendo en cuenta la derivada de un cociente, demuestra que: 𝑦 ′ = 𝑠𝑒𝑐 2 x Derivada de la cosecante 1

Siendo 𝑦 = csc 𝑥 = sen x, y teniendo en cuenta la derivada de un cociente, demuestra que: y′ = − csc x . cotg x. Derivada de la secante Dado que y = sec x = ′ y = tgx . sec x.

1 cos x

, comprueba que la derivada de la secante es igual a

Derivada de la cotangente cos x

Teniendo en cuenta que y = cotg x = sen x , y considerando también la derivada de un cociente, demuestra que su derivada es: y′ = −csc 2 x.

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR Si f es una función diferenciable, entonces su derivada f  también es una función, así  que f  puede tener su propia derivada, denotada por  f   f  . Esta nueva función se llama segunda derivada de f , porque es la derivada de la derivada de f . De modo df ( x ) d  df ( x )  que: f ( x )     dx dx  dx  Notación: Si y  f ( x ) , entonces

y ' ' f ' ' ( x) 

d  dy  d2 y    dx 2 dx  dx 

Del mismo modo, la tercera derivada f  es la derivada de la segunda derivada:  f    f   . Si y  f ( x ) , entonces las notaciones alternativas son:

y ' ' '  f ' ' ' ( x) 

d  d 2 y  d3 y    dx  dx 2  dx3

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El proceso se puede continuar. La cuarta derivada f ' ' ' ' normalmente se denota con

f ( 4 ) . En general, la n-ésima derivada de f se denota con f derivando n veces. Si y  f ( x ) , escribimos: y (n )  f (n ) (x) 

(n )

y se obtiene de f

d (n) y dx (n )

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN DEFINIDA IMPLICITAMENTE Sabemos que una función f puede estar definida implícitamente por una expresión del tipo F(x,y)=0 donde y = f(x). Para encontrar su derivada se utiliza el método de diferenciación (o derivación) implícita, que consiste en derivar ambos miembros de la relación con respecto a x y luego resolver la ecuación resultante para y.

DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN Se define como diferencial de una función y = f(x), y se designa dy, al producto de la derivada y′ por el incremento ∆x de la variable independiente. Simbólicamente dy = y ′ ∆x. Cabe destacar que la derivada es igual al cociente entre la diferencial de la función y la diferencial de la variable independiente y que dicha forma de simbolizar a la derivada se llama Notación de Leibnitz. Simbólicamente y ′ = f ′ x = dy/dx.

Llegó la hora de probar cuánto aprendí… 1) Define derivada e interpretarla geométricamente. 2) Conceptualiza en palabras y/o símbolos la derivada como una función. 3) Define en palabras y/o símbolos la derivada de una función en un punto. 4) Detalla los pasos a seguir para aplicar el método de la derivada logarítmica y empleando dicha técnica, deduzca la derivada de: a) La función potencial. b) Un producto de funciones.

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c) Un cociente de funciones. 5) Sabiendo que y  tg x 

sen x , halle su derivada aplicando la fórmula de derivación cos x

de un cociente de funciones. 6) Deduce la derivada de las funciones compuestas (regla de la cadena). 7) Indica verdadero o falso, según corresponda. Argumenta los enunciados falsos, corrigiéndolos y fundamentando dicha elección, mediante la comprobación y/o corrección. a) La derivada de la función seno es igual a - coseno. b) La derivada de una función en un punto es igual a la tangente trigonométrica del ángulo formado por la tangente geométrica (recta tangente) a la curva en ese punto y el semieje positivo de abscisas. c) Una función f ( x) es derivable en un punto x0 si f  ( x0 ) es un número. d) La primera derivada de la función cotangente es igual a csc2 x. 8) Sabiendo que y = sec x, comprueba que su primera derivada es igual a y ′ = tgx . sec x, aplicando la fórmula de derivación de un cociente de funciones. 9) Detalla los pasos a seguir para aplicar el método de la derivada logarítmica y empleando dicha técnica, deduzca la derivada de la función exponencial (y  ex ). 10) Completa las siguientes frases e interpreta gráficamente: a) La derivada de la función constante es ………………………………………….. b) Se llama ………………………………………….. a la razón ente el incremento de una función y el incremento de la variable independiente. Es decir ∆𝑦 =…………………………………………... ∆𝑥 c) La derivada de la función identidad es ………………………………………….. d) La ………………………………………….. 𝑥0 es igual a la tangente trigonométrica del ángulo formado por la tangente geométrica (recta tangente) a la curva en 𝐴 y el semieje positivo de abscisas, es decir, la derivada se interpreta geométricamente como ………………………………………….. a 𝑓(𝑥) en el punto de abscisa 𝑥0 .

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