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RESUMEN PARCIAL 2...

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Inversa de una matriz  Sea A una matriz cuadrada. Si existe otra matriz cuadrada B del mismo orden que la matriz A tal que cumple: 𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴 = 𝐴 Entonces, B es la matriz inversa de A y se simboliza 𝐴 = 𝐴 −1 Una matriz cuadrada que no es invertible se le denomina singular y una matriz invertible se llama no singular. Propiedades de las matrices inversas: 1) El producto de dos matrices inversas es conmutativo por la misma definición de matriz inversa: 𝐴𝐴𝐴 −1 = 𝐴 −1𝐴𝐴 = 𝐴 2) La matriz inversa de una matriz regular A es única. 3) La inversa de un producto de matrices inversibles es igual al producto de las inversas en orden invertido. En símbolos: (𝐴𝐴𝐴) −1 = 𝐴 −1𝐴𝐴 −1 4) La inversa de la matriz inversa es igual a la matriz original. En símbolos: ((𝐴) −1 ) −1 = 𝐴 5) La inversa del producto entre un escalar distinto de cero y una matriz es igual al producto entre la recíproca del escalar y la inversa de dicha matriz. En símbolos: No todas las matrices cuadradas poseen inversa. A las matrices que tienen inversas las llamaremos matrices regulares. 3 ( . 𝐴) −1 = 1 . 𝐴 −1 , 𝐴 ≠ 0 6) La inversa de la transpuesta de una matriz es igual a la transpuesta de la inversa de dicha matriz. En símbolos: (𝐴 𝐴 ) −1 = (𝐴 −1 ) 𝐴 7) Si la matriz A es regular, entonces: a) 𝐴𝐴𝐴 = 0 → 𝐴 = 0 b) 𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴 → 𝐴 = 𝐴 8) El determinante de la matriz inversa es igual al recíproco del determinante de la matriz original. En símbolos: |𝐴 −1 | = 1 |𝐴| 9) La inversa de una matriz diagonal regular es otra matriz diagonal que tiene en la diagonal principal a los recíprocos de los elementos de la diagonal principal de la matriz original. En símbolos: 𝐴 = ⌈ 𝐴1 0 0 0 𝐴2 0 0 0 𝐴3 ⌉ → 𝐴 −1 = [ 1 𝐴3 0 0 0 1 𝐴2 0 0 0 1 𝐴3] 10) La inversa de una suma de matrices cuadradas no es igual a la suma de las inversas de dichas matrices. En símbolos: (𝐴 + 𝐴) −1 ≠ 𝐴 −1 + 𝐴 −1

Método de Jordan para obtener la inversa de una matriz El método de Jordan se basa en aplicar en forma reiterada las propiedades de las matrices elementales. Se parte de una matriz A que se amplía con la matriz identidad del mismo orden y se realizan las operaciones elementales sobre toda esa matriz ampliada hasta obtener como equivalente a la matriz A a la identidad.

RANGO DE UNA MATRIZ  El rango de una matriz A está dado por el número máximo de líneas paralelas linealmente independientes que posee la matriz. El rango fila es igual al rango columna. Se simboliza: r(A) Recordemos que: el vector nulo es linealmente dependiente; por lo tanto, si existen filas nulas no forman parte del rango. Teorema. Matrices equivalentes por filas tienen el mismo rango El método consiste en calcular la matriz escalonada reducida usando las operaciones elementales. Recordemos que: Una matriz A se denomina escalonada reducida por filas cuando:  El primer elemento no nulo de cada fila es 1, generalmente se le llama pivote;  Cada fila que no es nula tiene más ceros a la izquierda que la anterior con respecto al pivote;  Todos los elementos que están por encima y por debajo del pivote son todos ceros;  Si hay filas nulas, estas se ubican como últimas filas. Propiedades del rango de una matriz 1) El rango de una matriz A de orden mxn no excede al número de filas o columnas que esta posee. En símbolos: 𝐴(𝐴) ≤ 𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴 (𝐴, 𝐴) 2) El rango de la matriz identidad es igual al orden de la matriz. En símbolos: (𝐴𝐴 ) = n 3) El rango de la matriz nula es igual a cero. En símbolos: (∅) = 0 4) El rango de una matriz regular (las matrices que tienen inversas son matrices regulares) es igual al orden de la matriz. En este caso, se dice que tiene rango máximo. Acá podemos concluir que las matrices regulares tienen determinante distinto de cero. Recordemos que el determinante |𝐴| = 0 si -y solo si sus líneas paralelas (filas o columnas) constituyen un conjunto de vectores L.D. 5) El rango de una matriz es igual al rango de su transpuesta: 𝐴(𝐴) = 𝐴(𝐴 𝐴 ) 6) El rango del producto entre un escalar y una matriz es igual al rango de dicha matriz. En símbolos: 𝐴(𝐴𝐴) = 𝐴(𝐴) 7) El rango de un producto de matrices es menor o igual al menor de los rango de las matrices factores. En símbolos: (𝐴𝐴𝐴) ≤ 𝐴í𝐴𝐴𝐴𝐴[𝐴(𝐴), 𝐴(𝐴)] Entonces A es invertible si y solo si r(A)=n.

Sistemas generales de ecuaciones lineales Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas se puede escribir de tres formas: 1) en forma de igualdades numéricas;

2) en forma de ecuación matricial; 𝐴. 𝐴 = B

3) en forma de ecuación vectorial

Sistemas de ecuaciones equivalentes  Dos sistemas de ecuaciones lineales con la misma cantidad de incógnitas se denominan equivalentes, cuando toda la solución de uno de ellos es también solución del otro. Propiedad fundamental de equivalencia  Si en un sistema lineal se le adiciona a una de las ecuaciones el producto de una constante por otra de las ecuaciones, el sistema resultante es equivalente al original. Además, está claro que si se intercambian el orden de las ecuaciones o si se multiplica una ecuación por una constante distinta de cero, no se alteran las soluciones del sistema. Matriz ampliada La matriz ampliada del sistema surge de agregar el vector de términos independientes a la matriz de coeficientes. La denotaremos 𝐴 ⋮ 𝐴

Teorema de Rouche – Frobenius - Un sistema será compatible si -y solo si- el rango de la matriz de coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada correspondiente. En símbolos, se expresa: r(A) = r(𝐴 ⋮ 𝐴) ↔ Sistema Compatible - Si un sistema será compatible determinado si-y solo si- el rango de la matriz de coeficientes del sistema es igual al número de incógnitas. En símbolos, se expresa: (𝐴) = 𝐴(𝐴 ⋮ 𝐴) = 𝐴 ↔ Sistema Compatible Determinado - Cuando el rango de la matriz de coeficientes es distinto del rango de la matriz ampliada, no existe solución y el sistema de ecuaciones lineales resulta incompatible o inconsistente. Los sistemas homogéneos son siempre compatibles, ya que el vector nulo es linealmente dependiente.

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En caso de ser compatibles determinados, la única solución es el vector nulo, es decir, el vector trivial. Cuando (𝐴) = 𝐴(𝐴 ⋮ ∅) = 𝐴 < 𝐴, donde n es el número de incógnitas, entonces el sistema es compatible indeterminado y presenta infinitas soluciones distintas a la trivial y a las cuales se denominan soluciones propias. Para que el sistema homogéneo tenga solución distinta de la trivial |A| = 0.

Resolución de sistemas de ecuaciones a través del método Gauss- Jordan El método de Gauss-Jordan consiste en partir de la matriz ampliada y, aplicando las operaciones elementales por filas sobre dicha matriz, se busca la matriz escalonada reducida de A. Luego, se analiza los rangos tanto de la matriz de coeficientes como de la matriz ampliada y se aplica el Teorema de Rouche – Frobenius para caracterizar el tipo de soluciones. Regla de Cramer  si ∆ ≠ 0, el sistema dado tiene la solución única dada por lo siguiente: 𝐴 = ∆𝐴/ ∆ 𝐴 = ∆𝐴/∆ 𝐴 = ∆𝐴/ ∆  Si ∆= 0 y, además: ∆𝐴= ∆𝐴= ∆𝐴= 0. Entonces, el sistema tiene un número infinitas de soluciones.  Si ∆ = 0 y, además: ∆𝐴≠ 0 ó ∆𝐴≠ 0 ó ∆𝐴≠ 0 Entonces, el sistema no tiene ninguna solución....