Parcial 3 1253 2021 2 Solucion PDF

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Solución al parcial 3...

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Universidad de los Andes

Departamento de Matem´aticas

Tercer Parcial de 1253 2 de Diciembre de 20211

Todas las respuestas deben estar claras, completas y matem´aticamente justificadas. Respuestas desordenadas que no se entiendan, o que no se vean bien no se tendr´an en cuenta. Respuesta no justificada no es v´alida. RESPUESTA NO JUSTIFICADA ANULA EL PUNTO . El examen debe ser enviado en formato PDF compatible con windows antes de las 5:35pm. Antes de enviar el documento revisen que est´a todo lo que van a mandar. Examen enviado despu´es de las 5:35pm se califica con nota de 0.0. Por ning´un motivo se aceptan ex´amenes enviados despu´es de las 5:35pm Pueden usar: Libro, apuntes y calculadora. No computador , ni alg´un soft1

El juramento del uniandino dice: “Juro solemnemente abstenerme de copiar o de incurrir en actos que pueden conducir a la trampa o al fraude en las pruebas acad´emicas, o en cualquier otro acto que perjudique la integridad de mis compa˜ neros o de la misma Universidad”

1

ware. El parcial me lo env´ıan a [email protected]. Lo env´ıan directamente al correo, NO POR BLOQUE NEON. Por favor marcar el examen que env´ıen con nombre claro, completo y c´odigo. Examen no marcado puede no tenerse en cuenta. 1. (1.6) Encuentre los puntos cr´ıticos de f (x, y) = xy 2 + x3 y − xy y determine si son m´aximos(locales), m´ınimos(locales), o puntos silla.

´ SOLUCION:   J(x, y) = y 2 + 3x2 y − y 2xy + x3 − x fx = y 2 + 3x2 y − y = y(y + 3x2 − 1) = 0 fy = 2xy + x3 − x = x(2y + x2 − 1) = 0

Si en la primera ecuaci´on y = 0 de la segunda ecuaci´on: x = ±1 Si en la segunda ecuaci´on x = 0 de la primera ecuaci´on: y = 1 y + 3x2 − 1 = 0 2

2y + x2 − 1 = 0 x2 = 1 − 2y, y + 3(1 − 2y) = 0, y = x2 = 1 −

2 5

1 1 4 = , x = ±√ 5 5 5

1 2 1 2 P1 (0, 0), P2 (0, 1), P3 (−1, 0), P4 (1, 0), P5 ( √ , ), P6 (− √ , ) 5 5 5 5  6xy 2y + 3x2 − 1 H= 2y + 3x2 − 1 2x 

H(0, 0) =



0 −1 −1 0



  0 1 H(0, 1) = 1 0   0 2 H(−1, 0) = 2 −2   0 2 H(1, 0) = 2 2 f (P1 ) = f (P2 ) = f (P3 ) = f (P4 ) = 0 Son puntos silla 1 2 H(− √ , ) = 5 5 1 2 H( √ , ) = 5 5

3

− 123 52 2 5

12 3 52

2 5

2 5

− √25 2 5 √2 5

!

!

f (P6 ) =

4 5

52

= 0.0715

M´aximo local. f (P5 ) = −

4 5

52

= −0.0715

M´ınimo local. 2. (1.2) Halle los m´aximos y m´ınimos globales de f (x, y) = xy 2 + x3 y − xy sobre la regi´on S, limitada por 0 ≤ x ≤ 2,

0 ≤ y ≤ 2x

´ SOLUCION: Frontera I: y=0 f (x, 0) = 0

Frontera II: x=2 f (2, y) = 2y 2 + 6y 3 9 3 f ′ (2, y) = 4y + 6 = 0, y = − , f (2, − ) = − 2 2 2 f (2, 4) = 56

Frontera III: 4

Figura 1: Regi´on 1b

y = 2x f (x) = 2x4 + 4x3 − 2x2

f ′ (x) = 8x3 + 12x2 − 4x = 4x(2x2 + 3x − 1) = 0 √

17 + 3 , x= x = 0, x = − 4

√

17 − 3 4

√

√ 17 + 3 17 + 3 f (− ,− ) = -8.818 4 2

Fuera de la regi´on. √

17 − 3 f( , 4

√

Conclusi´on f (P5 ) = −

17 − 3 ) = -0.0567 2 4 5

52

= −0.0715

M´ınimo global. f (2, 4) = 56

M´aximo global. 5

3. (1.4) Determine si la siguiente funciones son c´oncavas, convexas o ninguna. Justifique matem´aticamente su respuesta. a) f (x, y, z) = 6x2 + 8y 2 + 10z 2 − 2xy + 2xz − yz + (x + y + z)

e

x+y +z

x > 0, y > 0, z > 0

´ SOLUCION: f =m+h m = 6x2 + 8y 2 + 10z 2 − 2xy + 2xz − yz, h = (x + y + z)

e

x+y +z



 12 −2 2 Hm =  −2 16 −1 2 −1 20

H11 = 12 > 0, H22 = 188 > 0, H33 = |H| = 3692 > 0

Hm es positiva definida, por tanto m es convexa.   1 1 1 x+y+z 1 1 1  Hh = (x + y + z + 2) 1 1 1

e

n ˜ H11 = (x + y + z + 2)

e

x+y+z

, (x + y + z + 2)

e

x+y+z

, (x + y + z + 2)

H˜11 > 0 H˜22 = {0, 0, 0} H˜33 = |H| = 0

Hh es positiva definida, por tanto h es convexa. f = m + h Es convexa por suma de convexas. 6

e

x+y+z

o

b) g(x, y, z) =

q

e

20x + 3y + 5z + 40x1/4 y 1/3 z 1/5 − 4

x2 +y 4 +z 6

x > 0, y > 0, z > 0

e

20x + 3y + 5z + 40x1/4 y 1/3 z 1/5 − 4

x2 +y 4 +z 6

>0

´ SOLUCION: g = H(G), H =

√

e

x, x > 0, G = 20x+3y+5z+40x1/4 y 1/3 z 1/5 −4

x2 +y 4 +z 6

H Es c´ oncava y creciente. G = G1 + G2 + G3 G1 = 20x + 3y + 5z C´ oncava por ser lineal. 47 Cobb Douglas con α1 +α2 +α3 < 1 G2 = 40x1/4 y 1/3 z 1/5 , 1/4+1/3+1/5 = 60

G2 es c´oncava.

e

M=

e

x2 +y 4 +z 6

G3 = −4

x2 +y 4 +z 6

= −4M

Es convexa por teorema de composici´ on. G3 Es c´ oncava. G Es c´ oncava. H(G) Es c´ oncava.

7

4. (0.8) Use multiplicadores de Lagrange para encontrar la soluci´on al siguiente problema: m´ın f (x, y) = x2 + 2y 2

sujeto a P1 x + P2 y = m, x > 0, y > 0, P1 > 0, P2 > 0, m > 0

Encuentre la soluci´on ´optima: x∗ , y ∗ , el multiplicador de Lagrange y el m´ınimo de f(x, y): (x∗ , y∗ , λ∗ , f (x∗ , y ∗ ))

Las respuestas deben darse bien simplificadas( factorizadas.) Justifique matem´aticamente que la soluci´on hallada corresponde a un m´ınimo.

´ SOLUCION: L = x2 + 2y 2 + λ(m − P1 x − P2 y ) Lx = 2x − λP1 = 0 Ly = 4y − λP2 = 0

Lλ = m − P1 x − P2 y = 0 2x = λP1 4y = λP2 λ 6= 0 P1 x 2yP1 = , x= P2 2y P2 8

De la restricci´on: 

 2P1 y + P2 = m P2 y∗ =

mP2 2mP1 , x∗ = 2 2 2P 1 + P 2 2P 12 + P22 λ=

4m + P22

2P 12

f (x∗ , y∗ ) =

2m2 2P12 + P 22

L = x2 + 2y 2 + λ(m − P1 x − P2 y)

L es convexa por ser la suma de convexas. Tenemos un m´ınimo global. Profesor: Roberto Ortiz S

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