Parcial 7 14 Abril 2019, preguntas y respuestas PDF

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3. MODELOS DE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN.3 Introducción.Las líneas de transmisión funcionan normalmente con cargas trifásicas equilibradas, aunquela disposición de los conductores no sea simétrica o tengan transposición.La línea de transmisión de energía es un circuito de constantes distribuidas, tienere...

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3. MODELOS DE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN. 3.1 Introducción. Las líneas de transmisión funcionan normalmente con cargas trifásicas equilibradas, aunque la disposición de los conductores no sea simétrica o tengan transposición. La línea de transmisión de energía es un circuito de constantes distribuidas, tiene resistencias, inductancias, capacitancias y conductancias, que se encuentran distribuidas a lo largo de toda su longitud, como se muestra en la Figura:

(3.0) El modelo de líneas es usado para calcular los voltajes, corrientes y flujos de potencias. En este tema las líneas cortas son modeladas como impedancias en serie, las medias son desarrolladas utilizando el modelo equivalente π, para luego empezar con la teoría de líneas largas y muy largas, que son presentados y expresados con parámetros distribuidos. Para estos últimos modelos de líneas, definimos la constante de propagación y la impedancia característica. 3.2 Consideraciones sobre longitud de línea. Una línea de transmisión es considerada como; línea corta, línea media, línea larga y muy larga según la longitud de la línea. 

Líneas cortas si la longitud es menor a 80 Km.



Líneas medias si la longitud esta entre 80 – 250 Km.



Líneas largas si la longitud es mayor a 250 Km.



Líneas muy largas si la longitud es mayor a 360 Km.

3.3 Modelo de línea corta. Se entiende como una línea de menos de 80 km. En estos casos se puede transmitir hasta 1,5 veces la potencia nominal.

Cuando la línea es clasificada como corta, la capacitancia en derivación es tan pequeña que se puede omitir por completo, con una pérdida pequeña y solo se requiere considerar la resistencia “R” y la inductancia “L” en serie para la longitud total de la línea. El modelo de la línea corta, es representado por una impedancia serie como se muestra en la Fig. 3.1. La impedancia total de la línea, es obtenida multiplicando la impedancia serie por la longitud de línea.

Z  (r  j L ).l

(3.1)

Z  R  jX

(3.2)

Donde: Z = Impedancia total en serie. r = Resistencia de fase por unidad de longitud. L = Inductancia de fase por unidad de longitud. l = Longitud de línea. R = Resistencia total de línea. X = Reactancia total de línea. Ie

R

jX

Ir

Vr

Ve

Carga F.P. atraso (- )

Fig. 3.1 Modelo de línea corta

Ve , Ie : Voltaje y corriente de fase en la barra de emisión. Vr , Ir : Voltaje y corriente de fase en la barra de recepción. F.P: Factor de potencia (cosФ). La Ec. de voltaje de emisión esta dada por:

Ve  Vr  Z .Ir

(3.3)

En un circuito de impedancia serie, la corriente de emisión es igual a la corriente de recepción.

Ie  Ir

(3.4)

El análisis vectorial se realiza de la siguiente forma: 1) Para carga con factor de potencia en retraso Para el circuito de la Fig. 3.2, teniendo la carga con un F.P en atraso (-), se realiza el diagrama fasorial siguiente: (Vp=Ve y Ip=Ie)

Fig. 3.2 Diagrama fasorial para una línea corta 2) Para carga con factor de potencia unitario

Figura 3.2b Representación para una Carga con factor de Potencia unitario

2) Para carga con factor de potencia adelantado

Figura 3.2c Representación para una carga con factor de Potencia en adelanto

3.4 Modelo de línea media. Tiene entre 80 y 240 km y puede transmitir hasta 1,2 - 1,3 veces la potencia natural. Las corrientes que circulan en la capacitancia shunt o admitancia shunt no son despreciadas, como se muestra en la Fig. 3.3. Una línea de longitud media se puede representar con suficiente exactitud con R y L como parámetros concentrados, considerando que para los cálculos de líneas de transmisión medias por lo general se incluye la capacitancia pura, así, si toda la admitancia se supone concentrada en el punto medio del circuito que representa a la línea, se dice que es un circuito T nominal, si la admitancia se supone dividida en dos partes iguales en los extremos de la línea se dice que el circuito es π nominal. Z= R + j XL

Ie

Iz

IYe Y/2

Ve

Ir IYr Y/2

Vr

Carga F.P. atraso (- )

Fig. 3.3 Modelo de línea media en π La admitancia shunt esta expresado por la siguiente ecuación:

Y  ( g  j C ).l

(3.5)

Donde: g = Conductancia. C = Capacitancia de la línea al neutro. l = Longitud de la línea. Bajo condiciones normales, la conductancia shunt por unidad de longitud, representa la corriente de fuga sobre los aisladores, la cual es despreciable. También son llamadas pérdidas transversales.

g 0

(3.6)

La ecuación de la admitancia shunt, para línea media queda expresada:

Y  ( jC).l

(3.7)

Ve

IYe

Iz Z

IYr 0

Vr e

r

Ie Iz

IYe

Iz X Iz R

IYr

Ir Fig. 3.4 Diagrama fasorial para una línea media en π En el diagrama fasorial, la corriente I Yr adelanta al voltaje de recepción V r en 90º y la corriente I Ye adelanta al voltaje de emisión V e en 90º. La corriente I Z es el vector suma de las corrientes I r y I Yr , mientras la corriente Ie es el vector suma de las corrientes IZ y

IYe . La corriente en la admitancia, en lado de recepción es expresada como: I Yr 

Y Vr 2

(3.8)

La corriente en la impedancia de la línea, esta dada por:

IZ  I r  IYr IZ  Ir 

Y Vr 2

(3.9) (3.10)

El voltaje de emisión, esta expresado como: Ve  Vr  I Z .Z

(3.11)

 YZ   V e  1  Vr Z. I r 2  

(3.12)

La corriente en la admitancia, en el lado de emisión, esta expresada como: I Ye 

Y Ve 2

 YZ  Y I Ye  1  Ve  ZIr  2   2

(3.13) (3.14)

La corriente de emisión, esta dada por:

Ie  I Z  IYe

(3.15)

 YZ   YZ  I e  Y 1  Vr  1   I r 2  4   

(3.16)

2) Para el circuito T Nominal

La corriente en el extremo receptor es:

El voltaje al principio:

Fig. 3.4b representación de un circuito t nominal

3.5 Modelo de línea larga y muy Larga. Cuando se requiere una mejor representación para una línea de transmisión larga que la usada en los Circuitos T Nominal y Circuito π Nominal, se requiere de una solución más sofisticada, debido a que se debe considerar la longitud incremental de la línea y considerar el efecto exacto de la capacitancia distribuida y su relación con la impedancia de la línea. Es decir, es preciso tomar teóricamente un número infinito de segmentos de línea para lo cual requiere de una solución apropiada para las ecuaciones diferenciales planteadas. En estos modelos de línea, la impedancia y admitancia shunt son consideradas uniformemente distribuidas a lo largo de toda la línea. Para tomar en cuenta la naturaleza distribuida de las constantes de la línea de transmisión, consider ar el circuito que se muestra en la Fig. 3.5, el cual representa una sección de línea de longitud dx. V(x) e I(x), denotan el voltaje y la corriente en la posición x, los cuales se miden desde la derecha, o extremo receptor de la línea. De modo semejante, V(x + dx) e I(x + dx) denotan el voltaje y la corriente en la posición (x + dx).

Ve

I(x + dx)

V(x + dx)

zdx

Ir

I(x)

ydx

ydx

V(x)

dX

Vr

Carga

Ie

X l

Fig. 3.5 Línea larga con parámetros distribuidos

z  r  j L

(3.17)

y  g  jC

(3.18)

Por la Ley de tensiones de Kirchhoff (LKV), se tiene:

V ( x  dx)  V ( x)  ( z.dx).I ( x)

(3.19)

Reacomodando los términos de la Ec. anterior, se tiene: V ( x  dx )  V (x )  z. I ( x) dx

(3.20)

Y tomando el límite, cuando dx tiende a cero, se tiene:

dV (x )  z.I ( x) dx

(3.21)

De igual manera, para la corriente por la Ley de Corrientes de Kirchhoff (LKC), se tiene:

I( x  dx)  I( x)  ( y. dx).V ( x  dx)

(3.22)

Reacomodando los términos:

I ( x  dx)  I ( x)  y.V ( x  dx ) dx

(3.23)

Tomando el límite cuando dx tiende a cero, se tiene:

dI (x )  y.V( x) dx

(3.24)

Las ecuaciones (3.21) y (3.24) son dos ecuaciones diferenciales lineales homogéneas y de primer orden con dos incógnitas, V(x) e I(x). Se puede eliminar I(x) al derivar la ecuación. (3.21) y usando la ecuación. (3.24) del modo siguiente: d2 V ( x) dI ( x) z  zyV ( x) 2 dx dx

(3.25)

O bien, d2 V ( x) dx 2

 zyV ( x)  0

(3.26)

La ecuación (3.26), es una ecuación diferencial, lineal, homogénea y de segundo orden con una incógnita, V(x). Por inspección, su solución es: V ( x)  A1 ex  A2 e x

(3.27)

En donde A1 y A2 son constantes de integración, la constante de propagación es una expresión compleja, dada por:

    j 

z. y 

( r  j L).(g  jC )

(3.28)

Donde:

 = Constante de propagación y se mide en m-1

 = Constante de amortiguación y se mide en nepers por unidad de longitud.   Constante de fase y se mide en radianes por unidad de longitud.

De (3.21), se despeja la corriente.

I (x ) 

I (x ) 

1 dV ( x)   ( A1e x  A2 e x ) z dx z

y ( A1 ex  A2 ex ) z

(3.29)

La cual, también se expresa como:

I (x ) 

1 ( A e x  A2 e x ) ZC 1

(3.30)

Donde ZC, se conoce como impedancia característica, dada por:

z y

ZC 

(3.31)

Para encontrar las constantes A1 y A2. Se analiza, que cuando x = 0: V(x) = Vr e I(x) = Ir Y de las Ec. (3.27) y (3.30), se obtienen:

A1 

Vr  Z C I r 2

A2 

Vr  Z C I r 2

(3.32)

Y estas, sustituyendo nuevamente en las ecuaciones (3.27) y (3.30), dan las expresiones generales para el voltaje y corriente a lo largo de la línea de transmisión. Vienen dadas por:

V (x ) 

V r  Z C I r x Vr  Z C I r  x e  e 2 2

(3.33)

I (x ) 

1 Vr  Z C I r x Vr  ZC Ir x e  e ) ( ZC 2 2

(3.34)

Las ecuaciones (3.33) Y (3.34) de voltaje y corriente, pueden ser reacomodadas como sigue: V (x ) 

e x  e  x e x  e  x Vr  ZC Ir 2 2

(3.35)

I (x ) 

 e x  e  x 1 e x  e  x Vr  Ir ZC 2 2

(3.36)

Al reconocer las funciones hiperbólicas de cosh y senh, las ecuaciones (3.35) y (3.36) son escritas como sigue: V ( x)  cosh( x).Vr  ZC senh(x ).I r

(3.37)

1 senh( x).Vr  cosh( x).I r ZC

(3.38)

I (x ) 

La relación entre el voltaje de emisión y recepción, haciendo x = l, dan: V(l) = VS y I(l) = IS. De las ecuaciones (3.37) y (3.38), resultan: Ve  cosh(l ).Vr  ZC senh (l ).I r

Ie 

(3.39)

1 senh( l).V r  cosh(l ).I r ZC

(3.40)

Circuito equivalente π de una línea larga. Z'

Ie

Ir +

+ Ve

Y' 2

Y' 2

-

Vr -

Fig. 3.6 Circuito equivalente π En las ecuaciones (3.12) y (3.16), Z e Y son reemplazados con Z’ e Y’, luego son igualados con las ecuaciones (3.39) y (3.40) respectivamente. Obteniéndose: Y ' Z '  V e   1 Vr  Z'. I r  cosh(  l).Vr  Z C senh( l). I r 2  

(3.41)

1  Y'Z'   Y'Z'  senh(l).Vr  cosh(l ).I r (3.42) I e  Y ' 1 V r  1  I r  ZC 4  2   

Donde: 1

Y 'Z '  cosh(l ) 2

1  Y 'Z '  Y '1  senh( l)  4  ZC  Z '  Z C senh( l)

(3.43a) (3.43b) (3.44)

Haciendo arreglos en la ecuación (3.44), se obtiene:

Z '

z senh( l ) y

Z' 

z z z l . senh( l)  . senh ( l )  l y z

Z'  Z T .

senh (l )  .l

(3.45)

Reemplazando la ecuación (3.44) en (3.43a), se tiene:

1

Y' Z senh(l )  cosh(l ) 2 C

Y ' cosh( l ) 1  2 Z C senh (l ) Y' 1 l  tanh( ) 2 2 ZC

(3.46)

Haciendo arreglos en la ecuación (3.45), se tiene: Y'  2

y y

y l l tanh( )  tanh( ) 2 2  z y

Y ' y .l l tanh( )  2  .l 2

YT Y' l tanh( )  2 2. (  .l ) 2 2

l tanh( ) Y ' YT 2  2 2. ( .l ) 2

(3.47)

Donde: ZT = Impedancia total de la línea. YT = Admitancia total de la línea. Longitud de onda. La longitud de onda es la distancia requerida para cambiar la fase de la tensión o de la corriente en 2π radianes o 360º. La ecuación esta dada por:



2



(3.48)

De la ecuación (3.28), cuando las pérdidas en la línea son ignoradas, se tienen g  0 y

r  0 , entonces la parte real de la constante de propagación,   0 y la constante de fase, está dada por:    L.C

(3.49)

La velocidad de propagación, esta dada por: v

 

(3.50)

Reemplazando la ecuación (3.49) en la ecuación (3.50), se tiene. 1 L.C

v

(3.51)

También se puede expresar la longitud de onda, como:



v f

(3.52)

3.6 Constantes generalizadas. Las ecuaciones anteriores, pueden ser escritas en términos de un circuito con constantes generalizadas, comúnmente conocidas como las constantes ABCD.

Ir

Ie +

+

ABCD

Ve

-

Vr

-

Fig. 3.7 Representación del circuito con constantes generalizadas En línea corta: Las ecuaciones (3.3) y (3.4), pueden ser escritas como: Ve  AVr  BI r

(3.53)

I e  CVr  DI r

(3.54)

En forma de matriz, se tiene:  Ve   A    Ie   C

B  V r  . D I r 

Recordando que, para el modelo de línea corta se tienen:

A  1, B  Z , C  0 y D  1

(3.55)

En línea media: Las ecuaciones (3.12) y (3.16), son escritas como sigue: Ve  AVr  BI r

(3.56)

I e  CVr  DI r

(3.57)

En forma de matriz, se tiene.  Ve   A  I   C  e 

B  V r  . D I r 

(3.58)

Dónde:

 ZY  A  1   2  

BZ

(3.59)

 ZY  C  Y 1   4  

 ZY  D  1   2  

(3.60)

Para la línea media, en el modelo π existe simetría en A  D y también se tiene que:

AD  BC  1 Donde: A = D = Se mide en por unidad. B = Se mide en Ohmios (Ω). C = Se mide en Siemens (S). En Líneas larga y muy larga: Ve  AVr  BI r

(3.61)

I e  CVr  DI r

(3.62)

En forma de matriz se tiene:  Ve   A B  V r     .   Ie  C D I r 

(3.63)

B  Z C senh l

(3.64)

D  cosh  l

(3.65)

Dónde:

A  cosh l

C

1 senhl ZC

Se tiene A  D y AD  BC  1, 3.7 Regulación y compensación del voltaje. La regulación del voltaje en una línea de transmisión, tiene como fin, controlar el voltaje en el extremo receptor desde el extremo emisor, expresado en por ciento de la tensión a plena

carga, cuando está a un determinado factor de potencia. La ecuación es expresada de la siguiente manera:

V (%) 

| Vrv |  | Vrpc | | Vrpc |

(3.66)

x100

Donde: V (%) = Por ciento de la tensión a plena carga. |V rv| = Valor absoluto de la tensión en el extremo receptor en vacío. |V rpc| = Valor absoluto de la tensión en el extremo receptor a plena carga. Existen dos métodos de regulación: 3.7.1 Sin compensación de carga. a. Por variación de la tensión al principio de la línea. Se le conoce como regulación por gobierno de la tensión al principio de la línea, se satisface en casos sencillos, no proporciona regulación perfecta en puntos intermedios, ejemplos; barras de una central para alimentar cargas auxiliares, el cual no proporciona corrección del factor de potencia ni del rendimiento de la línea.

E

Regulado

Fig. 3.8 b. Empleando transformadores o autotransformadores con tomas (reguladores bajo carga). Conmutadores de tensión bajo carga, se usan en puntos intermedios o al final de las líneas con potencias deseadas. V0 V1

V2

V1

V2

Carga

V1

Fig. 3.9

V2

c. Reguladores de inducción. Es muy similar a los autotransformadores, pero permiten regulaciones continuas. Se emplea en laboratorios y plataformas de ensayo.

V1 V1

V2

Fig. 3.10 d. Condensadores en serie Los condensadores en serie estarán previstos para la corriente nominal y tensión nominal, los cuales estarán protegidos contra las sobre corrientes y sobre tensiones.

V

V0

Fig. 3.11 V  R L I cos  ( X LX C )I .sen  V  R L I cos   X L' I .sen

(3.67)

Permite el cálculo de XC para anular o reducir XL. XC  Cociente de compensaci ón XL

3.7.2 Con compensación de carga. El factor de potencia es importante para la regulación de tensión.

V  V0  V f V  RL I cos  X L(I .sen  I C ) V  RL I a  X L( I r  IC )

(3.69)

IC = Corriente de compensación, pudiendo ser positivo o negativo, si son

inductivos o capacitivos. IC 

V  RL I a Ir XL

(3.70)

Si, V  0 , entonces: IC 

 R LI a Ir XL

(3.71)

Las corrientes suelen ser inductivas por lo que la corriente IC debe ser capacitiva, esta corriente se consigue mediante la conexión en paralelo de:  Condensadores estáticos.  Compensadores síncronos.  Compensación del factor de potencia mediante condensadores estáticos. Cuando se trata de solo aportar cargas capacitivas y no se pretende una regulación fina. Es usual este método por su elevado rendimiento y su posibilidad de instalación a la intemperie. Su regulación es a través de baterías de condensadores constituidos por grupos conectables sucesivamente mediante interruptores. Cuando se trata de líneas con capacidades no despreciables (lineas largas), la regulación de la tensión implica la disminución de V, lo que obliga a completar la batería a condensadores con bobinas de reactancias.

V

Fig. 3.12 El SVC, es un nombre genérico y se aplica a diferentes configuraciones de compensadores en derivación y que tiene como fin llevar a cabo un control reactivo de un sistema, pueden ser capacitores, reactores o la combinación de estos. Las configuraciones son mostradas a continuación:

Estos SVC, controlan el flujo de voltios y amperios reactivos que circulan a través del sistema, de allí su nombre. La regulación del banco suele ...