Pendulo Composto PDF

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Avaliação pratica referente a pendulo composto...

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Experimento Pˆ endulo Composto Marcos Eugˆenio, Giovanna Cristina, Felipe Augusto 22 de janeiro de 2021

Resumo Neste relat´orio ser´a examinado o experimento referente ao pˆendulo composto. Onde ser´a analisado o xmin de uma fun¸c˜ao T(x), e suas particularidades.

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1

1

Pˆ endulo Composto

1.1

Defini¸ca ˜o

Pˆendulo F´ısico, ou Composto, se define por qualquer corpo r´ıgido suspenso por um ponto O, sem atrito, por onde passa um eixo de rota¸c˜ao

Figura 1: pendulo fisico Sendo S a distˆancia do eixo de rota¸ca˜o at´e o centro dde massa do objeto, temos... ~ × m~g ⇒ τ = −mgS sin θ ~τ = S

(1)

−mgS sin θ = I θ¨

(2)

Da segunda lei de Newton... ¨θ + mgS sin θ = 0 (3) I Considerando sin θ ≈ θ, ou seja, aproxima¸ca˜o de aˆngulos pequenos, e Io a in´ercia no ponto de rota¸ca˜o, temos... ¨θ + mgS θ = 0 (4) Io r mgS ωo = (5) Io s Io (6) T = 2π mgS

2

1.2

Per´ıodo de uma Barra

O per´ıodo muda de acordo com o objeto pelo qual o pˆendulo e´ composto, no caso do experimento ´e utilizado uma barra homogˆenea de massa m e comprimento l, ent˜ao considerando x 2 como a distˆancia entre o eixo de rota¸ca˜o e o centro de massa, e Ic.m. = ml , atrav´es do Teorema 12 dos Eixos Paralelos ´e poss´ıvel obter Io : Io = Ic.m. + mx2 A partir disso podemos obter a express˜ao do per´ıodo... s ml2 + mx2 T = 2π 12 mgx s l2 + x2 T = 2π 12 gx Considerando u2 =

l2 12

2.1

(8)

(9)

se obt´em... T = 2π

2

(7)

s

u2 + x2 gx

(10)

Atividades Te´ oricas: Obter xmin

O xmin pode ser obtido derivando a fun¸ca˜o do per´ıodo com rela¸ca˜o a x e igualando o resultado a 0, ou seja... d T (x) = 0 (11) xmin ⇒ dx s d u2 + x2 (2π )=0 (12) dx gx s s d d u2 + x2 2 u2 + x2 )=0 (13) ) = 02 ⇒ 4π 2 ( (2π gx gx dx dx 4π 2

x2 d u2 + x2 d u2 [ ]=0 ] = 0 ⇒ 4π 2 [ + gx dx gx dx gx

4π 2 d u2 u2 4π 2 [1 − 2 = 0 [ + x] = 0 ⇒ x g g dx x

3

(14) (15)

O termo

4π 2 g

´e uma constante, tal que 1−

4π 2 g

u2

6= 0, assim s´o ´e poss´ıvel definir que...

u2 = 0 ⇒ − x2 = −1

x2 −u2 = −x2 ⇒ x = u

(16) (17)

Assim conclui-se que... xmin =

2.2

r

l2 12

(18)

Obter x1 e x2

Elevando a fun¸ca˜o do per´ıodo ao quadrado, e´ poss´ıvel chegar na seguinte equa¸ca˜o do segundo grau: T2 l2 =0 (19) x2 − 2 x + 12 4π g para a = 1, b =

T 2g 4π 2

ec=

l2 12

temos... ax2 − bx + c = 0

(20)

As ra´ızes x1 e x2 podem ser obtidas utilizando a formua de b´askhara, essas ra´ızes representam os valores para x que possuem o mesmo per´ıodo de oscila¸ca˜o. Logo, para ∆ = [b2 − 4ac] temos...

√ −b ± ∆ x± = (21) 2a Substituindo os valores de l e T que podem ser obtidos atraves dos dados fornecidos no classroom, descritos na tabela abaixo: l T 54,5 cm 5,48 s 48,7 cm

5,37 s

44,5 cm

5,26 s

39,5 cm 35,5 cm

5,18 s 5,18 s

30,0 cm

5,14 s

27,5 cm 24,0 cm

5,17 s 5,25 s

20,0 cm

5,43 s

17,0 cm

5,66 s

14,0 cm 11,0 cm

6,02 s 6,58 s

08,5 cm

7,33 s

06,0 cm

8,58 s

Podemos definir esses valores x1 e x2 : 4

1 Amostra: x1 = 7, 46m; x2 = 0, 0034m; S = 7, 46m; P = 0, 0025m 2 Amostra: x1 = 7, 16m; x2 = 0, 00275m; S = 7, 17m; P = 0, 0197m 3 Amostra: x1 = 6, 89m; x2 = 0, 0025m; S = 6, 89m; P = 0, 0172m 4 Amostra: x1 = 6, 68m; x2 = 0, 002m; S = 6, 68m; P = 0, 0134m 5 Amostra: x1 = 6, 68m; x2 = 0, 0015m; S = 6, 68m; P = 0, 0010m 6 Amostra: x1 = 76, 57m; x2 = 0, 001m; S = 6, 576m; P = 0, 0065m 7 Amostra: x1 = 6, 64m; x2 = 0, 001m; S = 6, 64m; P = 0, 0066m 8 Amostra: x1 = 6, 85m; x2 = 0, 0005m; S = 6, 85m; P = 0, 0034m 9 Amostra: x1 = 7, 33m; x2 = 0, 0005m; S = 7, 33m; P = 0, 0005m 10 Amostra: x1 = 7, 96m; x2 = 0, 0005m; S = 7, 96m; P = 0, 0039m 11 Amostra: x1 = 8, 99m; x2 = 0, 0002m; S = 8, 99m; P = 0, 0044m 12 Amostra: x1 = 10, 76m; x2 = 0, 0005m; S = 10, 76m; P = 0, 0053m 13 Amostra: x1 = 13, 34m; x2 = 0, 0005m; S = 13, 34m; P = 0, 0066m 14 Amostra: x1 = 18, 29m; x2 = 0, 0005m; S = 18, 29m; P = 0, 009m

2.3

Obter a Gravidade

Para obter a gravidade basta isolar g em qualquer uma das amostras que ir´a resultar no valor real d gravidade. tomaremos como exemplo a amostra 1: x2 −

(0, 487)2 (5, 37455)2 g x + =0 4π 2 12 g = 9, 8005 ≈ 9, 8

3

(22) (23)

Atividades Pr´ aticas:

Atraves das informa¸co˜es obtidas o classroom e citadas na tabela da se¸ca˜o anterior, e´ poss´ıvel definir o seguinte gr´ afico:

5

Figura 2: grafico experimental Os valores de Xm te´orico e experimental s˜ao : ( Xm teorico) ≈ 32, 3604cm → 0, 3236m

(24)

( Xm pratico) ≈ 30cm − 0, 30m

(25)

Para deduzir a gravidade da forma experimental , pega no gr´afico abaixo um valor de T e 2 ra´ızes em X. x1 = 0, 22m; x2 = 0, 48m; T = 1, 6s

(26)

agora basta jogar na formula : g=

[x1 + x2 .4π 2 ] T2

g = 12, 0285753m/s2

(27) (28)

Ent˜ao, comparando a gravidade experimental com a te´orica houve uma diferen¸ca entre os m´etodos devida a forma de obten¸ca˜o dos dados experimentais que n˜ao eram precisos. 6...