PERANAN DEKOMPOSISI QR DALAM MODEL LINIER 1 PDF

Preview

Summary

PERANAN DEKOMPOSISI QR DALAM MODEL LINIER 1 SIGIT NUGROHO Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Bengkulu ABSTRAK Model Linier dalam notasi matriks dapat dituliskan dengan Y=Xβ+ε. Bila diberikan pasangan data Xnxp dan Ynx1, serta asumsi yang dipersyaratkan dala...

Description

PERANAN DEKOMPOSISI QR DALAM MODEL LINIER 1 SIGIT NUGROHO Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Bengkulu ABSTRAK Model Linier dalam notasi matriks dapat dituliskan dengan Y=Xβ+ε. Bila diberikan pasangan data Xnxp dan Ynx1, serta asumsi yang dipersyaratkan dalam analisis regresi dipenuhi, βˆ =(X’X)-1(X’Y) merupakan penduga tak bias linier terbaik (BLUE). Tidak semua model memiliki matriks rancangan X dengan kolom-kolomnya yang saling bebas linier (peubah-peubah saling bebas) Dalam makalah ini akan dikaji peranan dekomposisi QR dalam model linier.. Kata kunci : Model Linier, Dekomposisi QR. ABSTRACT Linear Model in matrix notation can be written as Y=Xβ+ε. If data in the pair of Xnxp dan Ynx1 form are provided, and assumptions required for the analysis are fulfilled βˆ =(X’X)-1(X’Y) is the best linear unbiased estimator. Not all models having its coloumns are linearly independent (independent variables). In this paper, QR decomposition role in linear model will be discussed. Key words : Linear Model, QR Decomposition.

Pendahuluan Model Linier mencakup model Regresi Linier Berganda, Rancangan Percobaan, dan bentuk umum lainnya yang secara notasi matriks dapat dituliskan dengan Y=Xβ+ε, dimana Y merupakan vektor pengamatan berdimensi nx1 atau vektor peubah tak bebas dan X merupakan matriks rancangan atau matriks peubah bebas berdimensi nxp bila terdapat p parameter yang ada dalam model. Persamaan normal dalam bentuk matriks dapat dituliskan dengan (X’X) βˆ = X’Y. Semakin banyak peubah bebas yang digunakan dalam model menjadikan semakin banyak parameter yang perlu diduga, yang juga berarti semakin besar ukuran matriks (X’X) yang digunakan dalam analisis. Dengan demikian juga akan semakin sulit jika harus dihitung secara manual. Bahkan bila terjadi ill-condition pada matris rancangannya, akan mempengaruhi tingkat keakuratan pendugaan, karena banyaknya rounding error. Pada kondisi tertentu, khususnya pada model Rancangan Percobaan, matriks (X’X) nya singular, sehingga kita tidak dapat memperoleh (X’X)-1 nya. Dekomposisi QR akan dicoba digunakan untuk alat bantu analisis model linier, khususnya untuk mendapatkan Jumlah Kuadrat Model dan Jumlah Kuadrat Galatnya, 1 Disampaikan dalam Seminar dan Rapat Tahunan BKS PTN Wilayah Barat Bidang MIPA di Universitas Bengkulu tanggal 13-14 Mei 2008

dan juga untuk mendapatkan penduga parameter model yang digunakan jika penduga tersebut estimabel. Dekomposisi QR Jika matriks X berukuran mxn dengan kolom-kolomnya yang saling bebas linier, maka matriks X dapat didekomposisi menjadi hasil perkalian dua matriks, yaitu X = QR, dimana Q merupakan matriks berukuran mxn dengan kolom-kolomnya yang saling ortonormal dan R merupakan matriks segitiga atas yang nonsingular. Hal ini juga berimplikasi jika X matriks persegi, maka dimana Q matriks yang ortogonal dan R matriks nonsingular segitiga atas. Hal ini dapat ditunjukkan dengan proses ortonormalisasi Gram-Schmidt terhadap kolom-kolom matris X, yaitu x1, ..., xp untuk mendapatkan q1, ..., qp. x1 = w1 q1

x2 = ( x2 ⋅ q1 ) q1 + w2 q2

x3 = ( x3 ⋅ q1 ) q1 + ( x3 ⋅ q2 ) q2 + w3 q3 B

xn = ( xn ⋅ q1 ) q1 + ( xn ⋅ q2 ) q2 + ( xn ⋅ q3 ) q3 + ... + wn qn Atau secara matriks dapat dituliskan dengan [ x1 B x2 B x3 BAB xn ] = ⎡ w1 ⎢ ⎢ ⎡⎣ q1 B q2 B q3 BAB qn ⎤⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣⎢

x2 ⋅ q1 w2

xn ⋅ q1 ⎤ ⎥ A xn ⋅ q2 ⎥ A xn ⋅ q3 ⎥⎥ ⎥ D ⎥ wn ⎦⎥

x3 ⋅ q1 A

x3 ⋅ q2 w3

Estimasi Parameter

Dengan menggunakan dekomposisi QR, kita dapat menduga parameter β dengan menggunakan formula yang diturunkan dari persamaan normal model linier. ( X ' X ) βˆ = X ' Y (QR) '(QR ) βˆ = (QR ) ' Y R ' Q ' QRβˆ = R ' Q ' Y R ' Rβˆ = R ' Q ' Y R βˆ = Q ' Y

βˆ = R −1Q ' Y

Terlihat bahwa untuk mendapatkan nilai dugaan parameter model linier, tidak diperlukan matriks (X’X) yang memungkinkan matriks ini singular sehingga tidak memiliki invers. Karena R adalah matriks segitiga atas yang nonsingular, maka R-1 pasti ada, dan penduga bagi parameter model linier dapat diperoleh.

Penghitungan Jumlah Kuadrat Model Linier

Meskipun mempersyaratkan adanya kolom-kolom yang saling bebas linier pada matriks X nya, dengan sedikit adanya keleluasaan kita dapat memodifikasi matriks ini menjadi matriks X, sebuah matriks rancangan, yang tidak semua kolomnya saling bebas linier.

⎡ R01 ⎢A ⎢ ⎢ R11 ⎢ Jika X = [ X 0 B X 1 A X k BY ] = Q ⎢ B ⎢ Rk1 ⎢ ⎢A ⎢R ⎣ n1 dapat dihitung dengan menggunakan

R0 n ⎤ A A ⎥⎥ R12 R1n ⎥ ⎥ B B ⎥ , maka Jumlah Kuadrat Model Rk 2 Rkn ⎥ ⎥ A A⎥ Rn 2 Rnn ⎥⎦ jumlah dari kuadrat nilai terakhir pada barisR02

∑R k

baris matriks R ke 1, ..., k (R1, ..., Rk) atau

∑R

i =1

2 kn

. Sedangkan Jumlah Kuadrat Galat

n

model liniernya adalah

j = k +1

2 jn

.

Ilustrasi pada Model Regresi Linier Berganda

Bila model yang digunakan adalah Yi = β 0 + β1 X 1i + β 2 X 2i + β 3 X 3i + ε i i = 1, 2,..., 20 yang datanya adalah X0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

X1 2 2 3 4 3 2 3 4 5 6 4 3 2 3 4 5 4 3 2 3

X2 6 5 6 7 7 6 5 5 4 4 5 6 7 8 6 5 4 5 6 7

X3 9 8 9 9 8 7 6 7 6 6 6 7 6 6 5 6 6 6 6 8

Y 332 345 299 287 234 276 265 234 232 219 228 222 243 222 287 267 302 287 267 279

untuk

Dengan demikian, kita dapatkan matriks Q dari hasil dekomposisinya menjadi 0.2236 0.2236 0.2236 0.2236 0.2236 0.2236 0.2236 0.2236 0.2236 0.2236 0.2236 0.2236 0.2236 0.2236 0.2236 0.2236 0.2236 0.2236 0.2236 0.2236

-0.2725 -0.2725 -0.0706 0.1312 -0.0706 -0.2725 -0.0706 0.1312 0.3330 0.5348 0.1312 -0.0706 -0.2725 -0.0706 0.1312 0.3330 0.1312 -0.0706 -0.2725 -0.0706

-0.0981 -0.3377 0.0278 0.3933 0.2674 -0.0981 -0.2118 -0.0859 -0.1996 -0.0737 -0.0859 0.0278 0.1415 0.5070 0.1537 0.0400 -0.3255 -0.2118 -0.0981 0.2674

0.3582 0.2061 0.4053 0.4012 0.1506 -0.0486 -0.1534 0.0971 -0.0078 0.0394 -0.1063 -0.0014 -0.3033 -0.3074 -0.3610 -0.0591 -0.0549 -0.1534 -0.2519 0.1506

0.1565 0.2418 0.0242 0.2039 -0.2748 -0.0907 -0.0621 -0.2893 -0.1850 -0.1492 -0.2280 -0.3995 -0.1208 -0.0167 0.5151 0.2447 0.2583 0.1228 -0.0547 0.1034

14.9817 4.9548 0.0000 0.0000 0.0000

25.4912 -2.6035 4.1739 0.0000 0.0000

30.6341 1191.1534 -1.8063 -67.5003 1.0535 -53.3407 4.9170 65.3473 0.0000 118.9990

-1.7874 0.1259 0.2396 0.0000

-1.2585 0.0472 -0.0513 0.2034

dan matriks R nya adalah 4.4721 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

Sedangkan invers matriks R nya adalah 0.2236 0.0000 0.0000 0.0000

-0.6761 0.2018 0.0000 0.0000

Akhirnya kita dapat peroleh vektor penduga β nya dengan menggunakan βˆ = R −1Q ' Y adalah

Sumber Keragaman X1 X2|X1 X3|X1,X2 Galat Total

βˆ ' = ( 325.084 −17.256 −16.134 13.290 ) db 1 1 1 16 19

Jumlah Kuadrat 4556.285 2845.226 4270.268 14160.770 25832.550

Kuadrat Tengah 4556.285 2845.226 4270.268

Fhitung 5.148 3.215 4.825

p-hitung 0.037 0.092 0.043

Jumlah Kuadrat Sekuensial diperoleh dari (-67.50)2 = 4556.285; (-53.34)2=2845.226; dan (65.35)2=4270.268

Hasil analisis dengan menggunakan Minitab 14 Regression Analysis: Y versus X1, X2, X3 The regression equation is Y = 325 - 17.3 X1 - 16.1 X2 + 13.3 X3

Predictor Constant X1 X2 X3

Coef 325.08 -17.256 -16.134 13.290

S = 29.7498

SE Coef 68.40 7.214 7.289 6.050

R-Sq = 45.2%

T 4.75 -2.39 -2.21 2.20

P 0.000 0.029 0.042 0.043

R-Sq(adj) = 34.9%

Analysis of Variance Source Regression Residual Error Total

Source X1 X2 X3

DF 1 1 1

DF 3 16 19

SS 11671.8 14160.8 25832.6

MS 3890.6 885.0

F 4.40

P 0.019

Seq SS 4556.3 2845.2 4270.3

Ilustrasi pada Model Rancangan Percobaan

Misalkan diberikan data percobaan dari struktur perlakuan dua arah dalam struktur rancangan acak lengkap yang modelnya Yijk = μij + ε ijk jika ditulis dalam model ratarata atau

Yijk = μ + α i + β j + (αβ )ij + ε ijk jika ditulis dalam model pengaruh, yang

datanya dapat ditabelkan seperti berikut

A

1 2 3

1 3; 6 2 4

B 2 9 5; 3 2

3 10 8 6

Secara notasi matriks, model rata-rata dapat dituliskan sebagai ⎡ 3 ⎤ ⎡1 ⎢ 6 ⎥ ⎢1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ 9 ⎥ ⎢0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢10 ⎥ ⎢0 ⎢ 2 ⎥ ⎢0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ 5 ⎥ = ⎢0 ⎢ 3 ⎥ ⎢0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ 8 ⎥ ⎢0 ⎢ 4 ⎥ ⎢0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ 2 ⎥ ⎢0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ 6 ⎦ ⎣0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

0⎤ 0 ⎥⎥ ⎡ μ11 ⎤ 0 ⎥ ⎢⎢ μ12 ⎥⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎢ μ13 ⎥ ⎢ ⎥ 0 ⎥ ⎢ μ 21 ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎢ μ22 ⎥ + ε ⎢ ⎥ 0 ⎥ ⎢ μ 23 ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎢ μ 31 ⎥ ⎢ ⎥ 0 ⎥ ⎢ μ32 ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎢⎣ μ33 ⎥⎦ ⎥ 1⎦

Sedangkan model pengaruh dapat dituliskan ⎡ 3 ⎤ ⎡1 ⎢ 6 ⎥ ⎢1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ 9 ⎥ ⎢1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢10 ⎥ ⎢1 ⎢ 2 ⎥ ⎢1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ 5 ⎥ = ⎢1 ⎢ 3 ⎥ ⎢1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ 8 ⎥ ⎢1 ⎢ 4 ⎥ ⎢1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ 2 ⎥ ⎢1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ 6 ⎦ ⎣1

1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

⎡ μ ⎤ ⎢ α ⎥ ⎢ 1 ⎥ ⎢ α2 ⎥ 0⎤ ⎢ ⎥ α3 ⎥ ⎥ ⎢ 0⎥ ⎢ β1 ⎥ 0⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ β2 ⎥ 0⎥ ⎢ β3 ⎥ ⎥ 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢ (αβ )11 ⎥ +ε 0⎥ ⎢ (αβ )12 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ 0 ⎥ ⎢ (αβ )13 ⎥ 0⎥ ⎢ ⎥ (αβ ) 21 ⎥ 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢(αβ ) 22 ⎥ 0⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ (αβ ) 23 ⎥ 1⎦ ⎢ (αβ )31 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ (αβ )32 ⎥ ⎢ (αβ ) ⎥ 33 ⎦ ⎣

Untuk model rata-rata analisis dengan dekomposisi QR diperoleh matriks Q sebagai berikut 0.7071 0.7071 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.7071 0.7071 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000

0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000

0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000

0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000

Sedangkan matiks R nya adalah 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

1.4142 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.4142 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000

0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000

0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000

0.0000 6.3640.5 0.0000 9.00 81 0.0000 10.00 100 0.0000 2.00 4 0.0000 5.66 32 0.0000 8.00 64 0.0000 4.00 16 0.0000 2.00 4 1.0000 6.00 36 2.55 6.5

Jumlah kuadrat Galatnya dapat dicari (2.55)2 = 6.50, sedangkan jumlah kuadrat modelnya = (6.36)2+(9.00)2+...+(6.00)2 = 377.50. Untuk matriks model pengaruh, prosedur dekomposisi QR tak dapat dilakukan karena jumlah baris dari matriks X lebih sedikit dari jumlah kolomnya.

Hasil analisis dengan menggunakan Minitab 14 dapat disajikan seperti berikut: General Linear Model: Y versus T, B Factor A B

Type fixed fixed

Levels 3 3

Values 1, 2, 3 1, 2, 3

Analysis of Variance for Y, using Adjusted SS for Tests Source A B A*B Error Total

DF 2 2 4 2 10

S = 1.80278

Seq SS 19.182 38.979 13.521 6.500 78.182

Adj SS 28.771 33.829 13.521 6.500

Adj MS 14.385 16.915 3.380 3.250

R-Sq = 91.69%

F 4.43 5.20 1.04

P 0.184 0.161 0.544

R-Sq(adj) = 58.43%

Sekarang kita perhatikan dekomposisi QR bila modelnya Y = μ + A + ε Matriks Q nya dapat disajikan seperti berikut 0.3015 0.3015 0.3015 0.3015 0.3015 0.3015 0.3015 0.3015 0.3015 0.3015 0.3015

0.3989 0.3989 0.3989 0.3989 -0.2279 -0.2279 -0.2279 -0.2279 -0.2279 -0.2279 -0.2279

0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.3273 0.3273 0.3273 0.3273 -0.4364 -0.4364 -0.4364

0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -0.1387 -0.1387 -0.1387 -0.1387 -0.5547 -0.5547 -0.5547

-0.5208 -0.1302 0.2604 0.3906 -0.3255 0.0651 -0.1953 0.4557 0.0000 -0.2604 0.2604

Sedangkan matriks R nya adalah 3.3166 0 0 0 0

1.2060 1.5954 0 0 0

1.2060 -0.9117 1.3093 0 0

0.9045 17.4877 -0.6838 4.3305 -1.3093 0.6547 0.0000 (0.0000) 0 7.6811

JK A = (4.3305)2+(0.6547)2 = 19.182

Jika modelnya Y = μ + B + ε, maka matriks Q nya 0.3015 0.3015 0.3015 0.3015 0.3015 0.3015 0.3015 0.3015 0.3015 0.3015 0.3015

0.3989 0.3989 -0.2279 -0.2279 0.3989 -0.2279 -0.2279 -0.2279 0.3989 -0.2279 -0.2279

0.0000 0.0000 0.3273 -0.4364 0.0000 0.3273 0.3273 -0.4364 0.0000 0.3273 -0.4364

-0.2236 -0.2236 -0.4472 0.0000 -0.2236 -0.4472 -0.4472 0.0000 -0.2236 -0.4472 0.0000

-0.1112 0.3336 0.6301 0.2965 -0.2594 0.0371 -0.2594 0.0000 0.0371 -0.4077 -0.2965

1.2060 -0.9117 1.3093 0 0

0.9045 -0.6838 -1.3093 0.00 0

17.4877 -3.8177 -4.2552 (0.00) 6.7454

Dan matriks R nya adalah 3.3166 0 0 0 0

1.2060 1.5954 0 0 0

JK B = (-3.8177)2+(-4.2552)2 = 32.68

Kemudian kita perhatika jika modelnya Y = μ + A + B + ε, dimana adanya pengaruh B setelah adanya pengaruh A di dalm model terlebih dahulu. Matriks Q nya adalah 0.3015 0.3015 0.3015 0.3015 0.3015 0.3015 0.3015 0.3015 0.3015 0.3015 0.3015

0.3989 0.3989 0.3989 0.3989 -0.2279 -0.2279 -0.2279 -0.2279 -0.2279 -0.2279 -0.2279

0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.3273 0.3273 0.3273 0.3273 -0.4364 -0.4364 -0.4364

0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -0.1387 -0.1387 -0.1387 -0.1387 -0.5547 -0.5547 -0.5547

0.3216 0.3216 -0.3216 -0.3216 0.4825 -0.1608 -0.1608 -0.1608 0.4288 -0.2144 -0.2144

0.0199 0.0199 0.3657 -0.4056 -0.0665 0.2793 0.2793 -0.4920 0.0266 0.3723 -0.3989

-0.3841 -0.3841 -0.5587 0.0000 -0.1397 -0.1862 -0.1862 0.3724 0.1629 -0.3724 0.0000

-0.4581 0.2282 0.5561 -0.0364 -0.0692 0.2307 -0.2268 0.0958 0.4618 -0.2753 -0.1408

1.2060 -0.9117 1.3093 0 0 0 0 0

0.9045 -0.6838 -1.3093 0.0000 0 0 0 0

1.2060 0.3419 -0.1091 0.0000 1.5546 0 0 0

1.2060 -0.2849 0.2182 0.0000 -0.8577 1.2965 0 0

0.9045 -0.0570 -0.1091 0.0000 -0.6969 -1.2965 0.0000 0

17.4877 4.3305 0.6547 0.0000 -4.8245 -3.9628 0.9549 4.3713

Matriks R nya adalah 3.3166 0 0 0 0 0 0 0

1.2060 1.5954 0 0 0 0 0 0

JK B|A = (-4.8245)2+(-3.9628)2 = 38.979 Catatan : JK A = (4.3305)2+(0,6547)2 = 19.18

Sebaliknya jika model yang digunakan Y = μ + B + A + ε, dimana adanya pengaruh A setelah adanya pengaruh B di dalm model terlebih dahulu. Matriks Q nya adalah 0.3015 0.3015 0.3015 0.3015 0.3015 0.3015 0.3015 0.3015 0.3015 0.3015 0.3015

0.3989 0.3989 -0.2279 -0.2279 0.3989 -0.2279 -0.2279 -0.2279 0.3989 -0.2279 -0.2279

0.0000 0.0000 0.3273 -0.4364 0.0000 0.3273 0.3273 -0.4364 0.0000 0.3273 -0.4364

-0.2236 -0.2236 -0.4472 0.0000 -0.2236 -0.4472 -0.4472 0.0000 -0.2236 -0.4472 0.0000

0.3216 0.3216 0.4825 0.4288 -0.3216 -0.1608 -0.1608 -0.2144 -0.3216 -0.1608 -0.2144

0.0199 0.0199 -0.0665 0.0266 0.3657 0.2793 0.2793 0.3723 -0.4056 -0.4920 -0.3989

-0.0973 -0.0973 0.6921 0.1514 -0.1730 -0.1730 -0.1730 -0.5191 0.0000 0.3461 0.0000

-0.5209 0.1568 0.3268 -0.0582 -0.0730 0.2131 -0.2387 0.2513 0.4912 -0.4031 -0.1390

1.2060 -0.9117 1.3093 0 0 0 0 0

0.9045 -0.6838 -1.3093 0.0000 0 0 0 0

1.2060 0.3419 -0.1091 0.0000 1.5546 0 0 0

1.2060 -0.2849 0.2182 0.0000 -0.8577 1.2965 0 0

0.9045 -0.0570 -0.1091 0.0000 -0.6969 -1.2965 0.0000 0

17.4877 -3.8177 -4.2552 0.0000 4.9853 0.7912 0.6509 4.4268

Dan matriks R nya adalah 3.3166 0 0 0 0 0 0 0

1.2060 1.5954 0 0 0 0 0 0

JK A|B dapat diperoleh dari (4.9853)2+(0.7912)2 = 25.479. Catatan : JK B = (-3.8177)2+(-4.2552)2 = 32.682 Dengan demikian, secara sekuensial akan diperoleh JK AB|A,B = 20.021-6.50 = 13.521, dimana 6.50 merupakan Jumlah Kuadrat Galat model penuh. Ilustrasi pada Model Linier Umum

Dalam makalah ini akan diberikan ilustrasi model linier dari sebuah kompetisi baseball yang diikuti 4 tim dengan sistem home ‘n away, artinya setiap pasangan tim harus bermain di kandang sendiri dan di kandang lawan. Jika model yang digunakan adalah Yij = τ i − τ j + ε ij untuk i≠j dimana τ k adalah banyaknya skor (homerun) tim

ke-k yang diperoleh jika bermain dikandang sendiri. Jika τ k = 1 berarti tim ke-k bermain di kandang sendiri, sedangkan jika τ k = -1 bermain di kandang lawan, jika τ k = 0 tidak bermain. Apakah semua tim memiliki kekuatan yang sama ? Pertanyaan ini dapat dijawab dengan menguji model H 0 : τ i = τ j vs H1 : τ i ≠ τ j

Matriks rancangan dari permasalahan ini dapat diformulasikan sebagai berikut τ1 1 1 1 -1 0 0 -1 0 0 -1 0 0

τ2 -1 0 0 1 1 1 0 -1 0 0 -1 0

τ3 0 -1 0 0 -1 0 1 1 1 0 0 -1

τ4 Δskor Tuan Tamu 0 6 7 1 0 8 9 1 -1 4 6 2 0 -3 2 5 0 2 4 2 -1 1 2 1 0 -4 2 6 0 -1 1 2 -1 2 2 0 1 -3 2 5 1 2 3 1 1 -1 2 3

Melalui dekomposisi QR kita peroleh matriks Q nya adalah 0.4082 0.4082 0.4082 -0.4082 0.0000 0.0000 -0.4082 0.0000 0.0000 -0.4082 0.0000 0.0000

-0.2887 0.1443 0.1443 0.2887 0.4330 0.4330 -0.1443 -0.4330 0.0000 -0.1443 -0.4330 0.0000

0.0000 -0.2500 0.2500 0.0000 -0.2500 0.2500 0.2500 0.2500 0.5000 -0.2500 -0.2500 -0.5000

-0.5145 0.0000 0.0000 0.5145 0.3430 0.3430 0.0000 -0.3430 0.0000 0.0000 -0.3430 0.0000

0.2801 0.5242 -0.1092 0.2441 0.2428 0.1336 0.1747 -0.0681 0.4150 0.2840 0.3906 -0.2403

-0.8165 -1.1547 2.0000 0 0

-0.8165 -1.1547 -2.0000 0.0000 0

11.4310 1.0104 -0.7500 -0.0429 5.7226

atau matriks R nya adalah 2.4495 0 0 0 0

-0.8165 2.3094 0 0 0

Dengan demikian JK Model = (11.4310)2+(1.0104)2+(-0.7500)2 = 132.25 dan JK Galat = (-0.0429)2+(5.7226)2 = 32.75. Hasil analisis disarikan dengan Sumber Model Galat Total

db 3 9 12

JK 132.25 32.75 165.00

KT 44.083 3.639

Fhit 12.115

nilai-p 0.0016

Terlihat bahwa nilai-p = 0.0016 < 0.01 menunjukkan bahwa model signifikan pada taraf 1%, yang berarti bahwa terdapat perbedaan kekuatan antar tim baseball pada grup kompetisi tersebut.

Daftar Pustaka Christensen, R. 2001. Plane Answers to Complex Questions: The Theory of Linear Models. Springer-verlag. New York. Dunn. O.J. and V.A. Clark. Applied Statistics: Analysis of Variance and Regression. John Willey & Sons. New York. Graybill, F.A. 1976. Theory and Application of Linear Model.. Wadsworth & Brooks/Cole Advanced Books & Software. Pacific Grove. Hicks, C.R. 1982. Fundamental Concepts in Design of Experiments. 3rd ed. Holt, Rinehart, and Winston. New York. Hill Jr., R.O. 1986. Elementary Linear Algebra. Aca...