Persamaan Schrodinger (Konsep dan Penerapan dan Turunan) PDF

Preview

Summary

GELOMBANG GAUSSIAN, GELOMBANG SCHRODINGER DAN SIFAT FISIS GELOMBANG MAKALAH Disusun untuk memenuhi salah satu tugas mata kuliah Fisika Inti Dosen Pengampu: Diah Mulhayatiah, S.Si., M.Pd. Pina Pitriana, S.Si., M.Si. Disusun oleh : Muhammad Pandu A. S. 1152070042 Rizki Zakwandi 1152070065 Titin Kartin...

Description

Accelerat ing t he world's research.

Persamaan Schrodinger (Konsep dan Penerapan dan Turunan) Rizki Zakwandi

Related papers FISIKA KUANT UM 1 Candy Risna

UAS ZAT PADAT mai jum

Download a PDF Pack of t he best relat ed papers 

GELOMBANG GAUSSIAN, GELOMBANG SCHRODINGER DAN SIFAT FISIS GELOMBANG MAKALAH Disusun untuk memenuhi salah satu tugas mata kuliah Fisika Inti

Dosen Pengampu: Diah Mulhayatiah, S.Si., M.Pd. Pina Pitriana, S.Si., M.Si.

Disusun oleh :

Muhammad Pandu A. S.

1152070042

Rizki Zakwandi

1152070065

Titin Kartini

1152070077

Widya Amanda

1152070079

PRODI PENDIDIKAN FISIKA JURUSAN PENDIDIKAN MIPA FAKULTAS TARBIYAH DAN KEGURUAN UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG DJATI

BANDUNG 2018 M/1440 H

KATA PENGANTAR

Puji syukur kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat, hidayah, karunia-Nya sehingga kami dapat menyelesaikan penyusunan makalah ini dengan baik. Makalah dengan judul “Gelombang Gaussian, Gelombang Schrodinger dan Sifat Fisis Gelombang” ini diajukan sebagai salah satu tugas terstruktur mata kuliah Fisika Kuantum. Makalah ini membahas tentang persamaan teoritik yang mendasari lahirnya fisika kuantum, transformasi dari persamaan fisika klasik yang berubah menjadi tinjauan kuantum, dan kontribusi serta penjelasan fisis dari persamaan gelombang Scrodinger. Tim penulis berterima kasih kepada Ibu Diah Mulhayatiah, S.Si., M.Pd dan Ibu Pina Pitriana, S.Si., M.Si selaku dosen pengampu mata kuliah Fisika Kuantum yang telah memberikan tugas menulis makalah ini serta semua pihak yang telah membantu proses penyusunan makalah ini. Penulis menyadari sepenuhnya bahwa dalam penulisan makalah ini terdapat banyak kekurangan baik dari segi tata bahasa maupun konten fisika. Oleh karena itu, kami membuka kesempatan bagi pembaca yang ingin memberi saran dan kritik sehingga kami dapat memperbaiki makalah ini. Semoga makalah ini dapat diambil hikmah dan manfaatnya sehingga dapat memberikan inspirasi terhadap pembaca.

Bandung, 25 September 2018

Tim Penyusun

i

DAFTAR ISI KATA PENGANTAR ............................................................................................. i DAFTAR ISI ........................................................................................................... ii BAB I ...................................................................................................................... 1 PENDAHULUAN ................................................................................................. 1s A. Latar Belakang ............................................................................................. 1 B. Rumusan Masalah ........................................................................................ 1 C. Tujuan .......................................................................................................... 2 BAB II ..................................................................................................................... 3 LANDASAN TEORI .............................................................................................. 3 BAB III ................................................................................................................... 7 ISI DAN PEMBAHASAN...................................................................................... 7 A. Persamaan Schrodinger Bergantung Waktu................................................. 7 B. Persamaan Schrodinger Tidak Bergantung Waktu ...................................... 9 C. Sifat-Sifat Fisis Suatu Gelombang ............................................................. 13 D. Interpretasi statistik .................................................................................... 13 BAB IV ................................................................................................................. 15 PENUTUP ............................................................................................................. 15 A. Kesimpulan ................................................................................................ 15 B. Saran ........................................................................................................... 15 DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................... 16

ii

BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Keterbatasan fisika klasik dalam menjelaskan fenomena-fenomena alam memunculkan lahirnya teori kuantum. Teori kuantum tidak hanya memandang suatu objek berdasarkan keadaan makro, akan tetapi juga menganalisis hingga keadaan mikronya. Energi yang selama ini dianggap sebagai suatu keadaan kontiniu mengalami perubahan bentuk ketika dalam dunia kuantum energi dinyatakan sebagai suatu paket-paket tertentu yang dapat dipisahkan berdasarkan tingkatannya. Fungsi gelombang yang selama ini berbentuk kontiniu dengan ciri khas gelombang sinusoidal mengalami transisi menjadi paket gelombang yang tidak hanya bergantung pada varibel waktu. Kelahiran fisika kuantum ataupun mekanika kuantum tentunya dipelopori oleh seseorang yang memahami akan adanya anomali pada gejala fisis, akan tetapi hal tersebut tidak dapat dijelaskan oleh fisika klasik. Orang tersebut adalah Schrodinger yang memandang suatu gelombang sebagai objek yang terkuantisasi. Artinya energi yang dimiliki oleh gelombang mekanik yang selama ini diasumsikan sebagai suatu yang kontiniu berubah menjadi menjadi paket-paket gelombang tersendiri. Penjabaran lebih lanjut mengenai fungsi gelombang Gaussian memberikan suatu titik terang untuk menjelaskan anomali fisis tersebut. Berdasarkan hal itulah, sebagai penggiat ilmu fisika dirasa perlu untuk disajikan materi mengeni persamaan Schrodinger sebagai bekal mengajar bagi calon guru fisika. B. Rumusan Masalah Permasalahan yang diangkat dalam makalah ini adalah: 1. Bagaimanakah keterkaitan antara gelombang Gaussian dan gelombang Schrodinger? 2. Bagaimanaka penjelasan Schrodinger terkait fungsi gelombang yang terikat fungsi waktu?

1

3. Bagaimanakah pandangan Schrodinger terkait keadaan stasioner gelombang yang tidak bergantung waktu? 4. Bagaimanakah penjelasan fisis dari fungsi gelombang Schrodinger? C. Tujuan 1. Mahasiswa mendapat tambahan wawasan penulis mengenai keterkaitan antara fisika klasik dan fisika kuantum. 2. Mahasiswa mendapat tambahan wawasan terkait persamaan Schrodinger yang terikat waktu dan yang tidak terikat waktu. 3. Mahasiswa mendapat tambahan wawasan penulis terkait makna fisis suatu fungsi gelombang. 4. Sebagai salah satu syarat nilai pada mata kuliah fisika kuantum.

2

BAB II LANDASAN TEORI A. Paket-Paket Gelombang Gausian Sebelum kemunculan teori-teori kuantum dan kajian fisika modern, fisika klasik masih memisahkan antara gelombang dan partikel dari suatu kondisi fisis yang muncul. Hal ini didasari keterbatasan dari fisika klasik dalam memperlihatkan bagaimana operasi bersama antara gelombang dan partikel dalam suatu kasus. Kajian klasik terkait gelombang mekanik yang terlihat dijelaskan oleh paket gelombang gausian yang mana suatu fungsi gelombang untuk paket gelombang dengan kondisi minimum t=0 dinyatakan dengan (Pain, 2005):

A(k )  e  k ko 

(1)

Untuk melihat bagaiaman posisi yang dihubungkan dengan variabel waktu, perlu dilakukan suatu penyederhanaan menggunakan Transformasi Fourier dengan menuliskan fungsi  bergantung terhadap k. Persamaan 1 dapat ditulis ulang menjadi persamaan berikut:

  x, t  



 A(k )e

i ( kx  ( k ) t )

dk

(2)



Sebelum pembahsan lebih lanjut mengenai energi pada tingkat objek yang sangat kecil, maka perlu dibahas suatu bentuk persamaan energi yang dinyatakan oleh gelombang klasik melalui persamaan difusi energi. Difusi energi dan penyerapan energi gelombang secara klasik dinyatakan oleh persamaan berikut (Pain, 2005):  2 1  2  x 2 c 2 t 2

(3).

Persaman gelombang mekanis untuk bidang tiga dimensi dinyatakan oleh persamaan berikut:

 2  2  2  2  2 atau 2 2 x y z

(4)

Pemunculan persamaan 3 dan 4 dibutuhkan untuk menjelaskan bagaimana terkaan atau perkiraan posisi dan sebaran sub atomik. Secara sederhana, 3

persamaan tersebut merupakan dasar untuk menjawab pertanyaan “Dapatkah kita melihat bagian dalam atom?” atau “Dapatkah kita melihat bagian dalam dari nukleus?”. Peninjauan terhadap fungsi gelombang yang berlaku pada sebuah photon dengan E  pc sehingga   kc dengan mengadopsi kesetaraan nilai dari   kc maka nilai energi untuk sebuah elektron yang ditinjau secara non-relativistik adalah

E

p2  2k 2 k 2 ,      2m 2m 2m

(5)

B. Paket Gelombang Gausian Bergantung Waktu Pada pembahasan pada sub bab A, telah diperlihatkan bagaiman bentuk paket gelombang Gaussian secara spesifik. Pembahasan selanjutnya adalah bagaimana bentuk ketergantungan antara paket gelombang Gaussian terhadap fungsi waktu yang nantinya pembahasan ini akan berlanjut kepada persamaan Schrodinger yang terikat waktu. Merujuk kembali kepada persamaan 1 dengan mengambil nilai minimum dari paket gelombang Gaussian.

Pada

persamaan

tersebut

diperlihatkan

bagaimana

ketergantungan nilai  terhadap k. Maka untuk pembahasan partikel bebas, besarnya energi hanya bergantung pada momentum. Hal ini terlihat ketika dilakukan penjabaran terhadp nilai  (k ) di titik tengah paket gelombang yang memiliki ruang k (UCDS Physics, 2003).

 (k )   (k o ) 

1 d 2 d k 0 (k  k 0 ) 2 k 0 (k  k 0 )  2 dk 2 dk

 ( k )  o   g ( k  k 0 )   (k  k 0 ) 2

(6) (7)

Selanjutnya kita dapat melakukan subtitusi kepada persamaan 2. Maka dengan mengasumsikan bahwa k’=k-ko maka nilai dari A(k ' )  e k ' . 2

 x, t   e

i ( k0 x 0t )



 A(k ' )e

i ( k ' x  g t ) ik '2 t

e

dk '

(8)

dk '

(9)



 x, t   e

i ( k0 x 0t )



e

k '2

e

i ( k ' x  g t ) ik '2 t

e



 x, t   e

i ( k0 x 0t )



e



4

 it k '2

e



i k ' x  g t



dk '

(10)

C. Operator Operator dalam pembahasan fisika kuantum merupakan suatu tools yang berfungsi untuk memudahkan penurunan persamaan khususnya persamaan gelombang. Sebagai contoh, operator linier yang memungkinkan semua bidang di bagian sebelah kanan merujuk pada fungsi sebelah kiri. Terdapat beberpa operator di dalam fisika kuantum, diantaranya (UCDS Physics, 2003): 1. Operator ruang posisi (koordinat) Pada operator ini kita akan melihat bagaimana fungsi gelomban dinyatakan oleh momentum awal (ketika energi masih dalam E0).

u po ( x, t ) 

1 2

e i ( p o x  E0 t ) / 

(11)

Atau jika dinyatakan dalam bentuk transformasi Fourier menjadi 

 ( x, t )    ( p)u p ( x, t )dp

(12)



Dengan meneruskan persamaan diatas, maka kita dapat menentukan besaran momentum dalam bentuk:

p (op) u po ( x, t )  p0 u po ( x, t ) p ( op) 

  i x

(13) (14)

Sehinga, dengan melanjutkan persamaan sebelumnya kita dapat menemukan persamaan untuk operator energi, posisi dan Hamiltonian yang dinyatakan dalam persamaan berikut: E ( op)  i

 t

 Energy OP

x ( op)  x H ( op)  

 Posisi OP 2 2  V ( x) 2m x 2

(15-17)

 Hamiltonia n OP

2. Operator ruang momentum Berkebalikan dengan operator pada ruang koordinat, pada operator ruang momentum kita dituntut untuk menemukan operator posisi. Opertor posisi dalam ruang momentum adalah: 5

1

 x ( p) 

2

0

x ( op)  i

e ipx0 / 

(18)

 p

(19)

3. Fungsi Normalisasi Fungsi normalisasi berfungsi sebagai suatu prasyarat dalam pembahasan ini. Sutu fungsi yang sudah ternormalisasi akan memiliki nilai akhir yang real. Secara matematis, normalisasi fungsi dapat dilakukan dengan persamaan berikut: 





2

f ( x) dx 

2 2

6



e





x2 2

dx 

2 2

2  1

(20)

BAB III ISI DAN PEMBAHASAN A. Persamaan Schrodinger Bergantung Waktu Persamaan Schrodinger dikenalkan oleh Erwin Schrodinger pada tahun 1926 membahas tentang deskripsi gelombang partikel pada dimensi atomik yang memenuhi prinsip dan hukum fisika. Persamaan Schrodinger adalah persamaan untuk partikel bebas atau partikel yang dipengaruhi oleh potensial yang konstan, V(x) = C = konstanta. Persamaan gelombang partikel harus konstan dengan persamaan energi klasik yakni: EK  EP  Etotal 

p2 V  E 2m

(21)

Persamaan gelombang juga harus memenuhi postulat de Broglie. maka persamaan tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut: k2 

Dengan ih

membandingkan

2m (E  V ) h2

persamaan

(22) E

p2 2m

dengan

persamaan

 h2 2    , terlihat adanya koresponedensi antara energi E, t 2m

momentum p dan operator differensial (Sani & Kadri, 2014). E  i

 t

(23)



p  i

(24)

Operator-operator tersebut bekerja pada fungsi gelombang  ( x, t ) . Bentuk korespodensi ini yang nantinya digunakan untuk membangun persamaan gerak kuantum berangkat dari bentuk klasik. Selanjutnya tinjau partikel yang mengalami gaya F sebagai gradient dari energi potensial V(x,t). F  V ( x, t )

(25)

Karena itu, energi total artikel E dapat diungkapkan sebagai: E

p2  V ( x, t ) 2m

7

(26)

  Ae

x  2  Vt    

(27)

Berdasarkan korespodensi dari persamaan (21), persamaan gerak kuantum partikel di dalam potensial V (x,t) diberikan oleh:  ( x, t ) 2 2   ( x, t )  V ( x, t ) ( x, t )  i 2m t

(28)

Secara umum, karena energi E dapat dinyatakan dalam Hamiltonian, maka

i

E  H ( x, p, t )

(29)

 H ( x, i, t ) t

(30)

Dalam persamaan di atas, Hamiltonian berfungsi sebagai operator, maka H 

2 2   V ( x, t ) 2m

(31)

Dalam keadaan tiga dimensi, persamaan Hamiltonian dapat dituliskan sebagai: H  H ( x, t )  

 2   2  2  2    2m  x 2 y 2 z 2

 2   2  2  2   2  2 2m  x 2 z y

  

(32-33)

  ( x, t )   V ( x) ( x, t )  i t 

Dalam kenyataannya, persamaan Schrodinger telah menghasilkan ramalan yang sangat tepat mengenai hasil eksperimen yang diperoleh. Pada persamaan terakhir diatas hanya bisa dipakai untuk persoalan nonrelativistik dan akan menjadi lebih rumit jika kelajuan yang mendekati kecepatan cahaya. Karena persamaan itu bersesuaian dengan eksperimen dalam batas – batas berlakunya, kita harus mengakui bahwa persamaan Schrodinger menyatakan suatu postulat yang berhasil mengenai aspek tertentu dari dunia fisis. Betapapun sukses yang diperoleh persamaan Schrodinger, persamaan ini tetap merupakan postulat yang tidak dapat diturunkan dari beberapa prinsip lain, dan masing – masing merupakan rampatan pokok, tidak lebih atau kurang sah daripada data empiris yang merupakan landasan akhir dari postulat itu (Nurun, 2014).

8

B. Persamaan Schrodinger Tidak Bergantung Waktu Kenyataan bahwa terdapat sistem energi yang ditinjau pada persamaan Schrodinger yang tidak bergantung pada waktu memungkinkan lahirnya analisis dan ide untuk menghilangkan variabel t pada persamaan Schrodinger. Sistem energi tersebut adalah energi potensial yang secara eksplisit tidak bergantung pada kondisi waktu. Secara matematis, differensial orde kedua dari persamaan Schrodinger memberikan kemungkinan atau peluang untuk menyelesaikan permasalahan secara terpisah di masing-masing variabel. Solusi terpisah di masing-masing variabel dapat dijadikan suatu generalisasi untuk penyelesaian problem. Penggunaan persamaan Schrodinger yang tidak terika waktu didasari untuk menemukan besaran  ( x, t ) ketika gelombang baru tercipta, artinya ketika variabel waktu masih sanagt kecil (infinity time) (Griffiths, 1995). Dengan menggunakan asumsi bahwa faktor ruang dan waktu dapat ditinjau secara sepihak maka:

 ( x, t )  u( x)T (t )

(34)

Dengan mensubsitusikan kedalam persamaan Schrodinger diperoleh:    2  2 u ( x)  T (t )   V ( x)u ( x) T (t )  iu ( x) 2 t  2m x 

    2  2 u ( x)  iu ( x) T (t )  V x u x ( ) ( )  2 m 2 x    t  const.  E u ( x) T (t )

(35)

(36)

Pemisahan variabel tersebut menunjukan bahwa terdapat kesetaraan yang dimiliki oleh fungsi sebelah kiri (dengan komponen x) dengan fungsi sebelah kanan (dengan komponen t). Kesetaraan keadaan tersebut mengisyaratkan bahwa ketetapan energi yang berifat konstan. Pertama kita tinjau untuk masing-masing variabel. iu ( x)

T (t )  ET (t ) t

(37)

Sehingga untuk penyelesaian umumnya adalah

T (t )  Ce iEt /  Untuk variabel x persamaan diatas menjadi

9

(38)

  2  2 u ( x)  V ( x)u ( x)  Eu ( x) 2m x 2

(39)

Persamaan tersebut memiliki penyelesaian yang terikat pada fungsi potensial (V(x)). Keadaan inilah yang dimaksudkan dengan persamaan Schrodinger yang tidak terikat akan waktu. Berdasarkan persamaan tersebut, kita tidak dapat menentukan dan menyelesaikan permasalahan sebelum bentuk potensial (V(x)) diketahui. Dengan demikian fungsi gelombang dapat direduksi menjadi

 ( x, t )  u( x)e iEt /  Penggunaan

metode

(40)

separasi/pemisahan

variabel

untuk

menyelesaikan persamaan Schrodinger memiliki beberapa keistimewaan, diantaranya adalah: 1. Solusi separasi merupakan keadaan stasoner dari fungsi gelombang. hal ini ditunjukan dengan rapat probabilitas dan nilai ekspektasi variabel tidak bergantung pada waktu. Meskipun solusi akhir yang kita miliki adalah

 ( x, t )  u( x)e iEt / 

(41)

Akan tetapi kita memiliki nilai rapat probabilitas sebesar

 ( x, t )   ( x , t )   ( x, t ) 2

 ( x, t )  u ( x)e iEt /  u ( x)e iEt /  2

 ( x, t )  u ( x ) 2

(42-44)

2

Merujuk pada persamaan tersebut maka variabel waktu dengan sendirinya menghilang dari persaman Schrodinger dengan catatan fungsi tersebut bersifat normal yang ditandai dengan nilai E yang real. Penurunan terhadap nilai ekspektasi pada variabel dinamis memberikan persamaan     Q( x, p)   uQ x, udx  i x  Q( x, p)   u ( x)e iEt /  Q( x, p)u ( x)e

 iEt / 

(45) dx

(46)

Persamaan diatas mengindikasikan bahwa setiap nilai ekspektasi suatu besaran bernilai konstan terhadap waktu. Hal ini memungkinkan

...