Pertemuan ke 4 Notasi Jumlah Luas Integral Tentu PDF

Preview

Summary

KALKULUS LANJUT Pertemuan ke-4 Reny Rian Marliana, S.Si.,M.Stat. Plot Materi Notasi Jumlah & Sigma Integral Tentu Jumlah Pendahuluan Rieman Luas Notasi Jumlah & Sigma Purcell, et all. (page 226,2003): Sebuah fungsi yang daerah asalnya hanya terdiri dari bilangan bulat positif (atau suatu him...

Description

KALKULUS LANJUT Pertemuan ke-4 Reny Rian Marliana, S.Si.,M.Stat.

Plot Materi Notasi Jumlah & Sigma

Integral Tentu

Jumlah Rieman

Pendahuluan Luas

Notasi Jumlah & Sigma Purcell, et all. (page 226,2003): Sebuah fungsi yang daerah asalnya hanya terdiri dari bilangan bulat positif (atau suatu himpunan bagian lain dari bilangan positif) disebut sebagai barisan. Notasi dari sebuah barisan diantarnya a(n) atau an . Sebagai contoh barisan {an } ditentukan oleh an = n2 dan barisan {bn } ditentukan oleh bn = 1/n. Contoh : a1 , a2 , a3 , a4 , … 1, 4, 9, 16, …

Notasi Jumlah & Sigma Perhatikan jumlah dari barisan berikut : 12 +22 +32 +42 +52 +…+1002 a1 + a2 + a3 + a 4 + … + an Untuk menunjukkan jumlah ini dalam bentuk yang kompak, barisan pertama dapat dituliskan sebagai berikut : 2 i  100

i 1

Sedangkan untuk barisan kedua dapat dituliskan menjadi

a n

i 1

i

Notasi Jumlah & Sigma Σ berpadanan dengan S yang menyatakan untuk menjumlahkan (menambahkan) semua bilangan berbentuk seperti yang ditunjukkan dengan indeks i terus meningkat seiring peningkatan bilangan bulat positif, mulai dengan bilangan bulat yang diperlihatkan di bawah Σ dan berakhir dengan bilangan bulat di atas tanda Σ tersebut.

ab  a b 4

i 2

i i

2 2

 a3b3  a4b4

1 1 1 1      1 2 3 j 1 j n

1  n

1 2 3 4 k  2  2  2  2  2 1 1 2 1 3 1 4 1 k 1 k  1 4

Notasi Jumlah & Sigma Untuk n ≥ m

 F  i   F  m   F  m  1  F  m  2   n

i m

 F n

Jika semua ci dalam  c memiliki nilai yang sama atau konstan, anggap c maka : n

i 1

c n

i 1

Contoh :

i

i

 ccc

 c  n  c  nc

n suku

  4   100  4   400 100

i1

Notasi Jumlah & Sigma TEOREMA A (Purcell, et all. page 227,2003): Kelinearan Σ Andaikan {ai } dan {bi } menyatakan dua barisan dan c suatu konstanta, maka :

 ca

i 

n

i 1

i

 c  ai n

i 1

 ii    ai  bi    ai   bi n

n

n

i 1

i 1

i 1

n

n

n

i 1

i 1

i 1

 iii    ai  bi    ai   bi

Notasi Jumlah & Sigma Contoh : Andaikan

a 100

i 1

i

 60 dan

  2a  3b  4 

 b  11 100

i 1

i

100

Hitunglah

i 1

Penyelesaian :

i

i

  2a  3b  4    2a   3b   4 100

i 1

100

i

i

i 1

100

i

i 1

100

i

i 1

 2 ai  3 bi   4 100

100

100

 2  60   3 100   4 100  i 1

 487

i 1

i 1

Notasi Jumlah & Sigma Rumus Jumlah khusus (Purcell, et all. page 228,2003): 1. i  1  2  3 

n

n

i 1

2. i 2  12  22  32  n

i 1

3. i 3  13  23  33  n

i 1

4. i  1  2  3  n

4

i 1

4

4

4

n  n  1 2

 n2 

 n  n  1   n3    2   n 

5.  an 1  ai   an 1  a1

4

n

i 1

2 2 6.   i  1  i 2    n  1  1   i 1 n

n  n  1   2n  1  6

2

n  n  1   6n 3  9n 2  n  1  30

Notasi Jumlah & Sigma Contoh Hitunglah :

a. i n

i 1

b. i 10

c. i 4 10

2

i 1

i 1

Penyelesaian : a. i  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  55 10

i 1

b. i 2  10

10 10  1  20  1

 385

i  10

atau

i 1

10 10  1  55 2

3 2  10 4  4  10 10  1  60  90  10  1    1  25.332 c. i    i   1   30 i 2    i 1  i 1 10

4

6

Pendahuluan Luas Purcell, et all. (page 233,2003) Sifat-sifat luas : 1. Luas sebuah daerah rata adalah bilangan (real) tak negatif. 2. Luas segi empat adalah hasil kali panjang dan lebarnya (keduanya diukur dalam satuan sama). Hasil dalam suatu persegi misalnya kaki persegi atau sentimeter persegi. 3. Daerah-daerah yang sama dan sebangun mempunyai luas sama. 4. Luas gabungan dua daerah yang hanya berimpit menurut sebuah ruas garis sama dengan jumlah luas kedua daerah tersebut. 5. Jika sebuah daerah terkandung di dalam daerah yang kedua, maka luas daerah pertama lebih kecil daripada atau sama dengan luas yang kedua.

Pendahuluan Luas

Luas Menurut PoligonPoligon Dalam Luas Daerah dengan batas melengkung

Luas Menurut PoligonPoligon Luar

Luas Menurut Poligon-Poligon Dalam Tinjaulah daerah R yang dibatasi parabola y=f(x)=x2 , sumby-x dan garis tegak x=2. R adalah daerah di bawah kurva y=x2 di antara x=0 dan x=2. y

y=f(x)=x2

4

3

2

1 x

R 1

2

Luas Menurut Poligon-Poligon Dalam Luas A(R) dapat dicari dengan langkah berikut. Buatlah selang [0,2] menjadi n selang bagian, masing-masing dengan panjang Δx menggunakan titik-titik n+1. x0  0

0  x0  x1  x2  x3  x4 

 xn1  2

0

x0

2

x1

x2

x3

xn-1

xn

x1  x 

2 n

x2  2  x 

4 n 6 x3  3  x  n xi  i  x 

2i n

xn 1   n  1  x  xn   n   x 

2  n  1 n

2n 2 n

Luas Menurut Poligon-Poligon Dalam Perhatikan segi empat dengan alas [xi-1 , xi ] dan tingginya f(xi-1) Luasnya adalah f(xi-1)Δx .

f(xi-1)

xi-1

xi

Gabungan dari Rn dari semua segi empat yang demikian membentuk poligon dalam dengan luas A(Rn) dapat dihitung dengan menjumlahkan luas semua segi empat.

Luas Menurut Poligon-Poligon Dalam A  Rn   f  x0  x  f  x1  x  f  x2  x  f  x3  x  A  lingkaran   lim A  Pn 

Dimana :

n

Maka : A  Rn   f  x0  x  f  x1  x  f  x2  x  f  x3  x   8   3  n

 2   8  0    3    n

 2   8  1    3    n

 2   8  2    3    n

 f  xn 1  x   f  xi  x

 2 3   

n 1

 2 2 2  1  2  2  

2

i 0

 8  2    3   n  1   n  

 8   n 1 2     n  1   3    i    n   i 1  3 2  8    n  1  n   2  n  1  1  8   2n  3n  n     3    3 n 6 6  n      8 1 1  8 4 4  2  3  2     2 6 n n  3 n 3n

 8  3 n

 f  xn1  x

Luas Menurut Poligon-Poligon Dalam Purcell, et all. (page 233,2003): Luas lingkaran adalah limit n∞ dari luas Pn . Jadi jika A(F) menyatakan luas daerah F maka :

A  lingkaran   lim A  Pn  n

Dengan demikian :

A  R   lim A  Rn  n 

8 4 4   lim    2  n  3 n 3n   8  3

Luas Menurut Poligon-Poligon Luar Perhatikan segi empat dengan alas [xi-1 , xi ] dan tingginya f(xi) Luasnya adalah f(xi)Δx .

f(xi)

xi-1

xi

Gabungan dari Sn dari semua segi empat yang demikian membentuk poligon luar dengan luas A(Sn) dapat dihitung dengan menjumlahkan luas semua segi empat.

Luas Menurut Poligon-Poligon Luar A  Sn   f  x1  x  f  x2  x  f  x3  x 

 f  xn  x

A  lingkaran   lim A  Pn 

Dimana :

n

Maka : A  S n   f  x1  x  f  x2  x  f  x3  x   8   3  n

 2   8  1    3    n

 2   8  2    3    n

 2 3   

 f  xn  x   f  xi  x n

i 1

 8  2    3   n  1   n  

 8   n 1 2     n  1   3    i    n   i 1  3 2  8    n  1  n   2  n  1  1  8   2n  3n  n     3    3 6 n 6  n      8 1 1  8 4 4  2  3  2     2 6 n n  3 n 3n

 8  3 n

 2 2 2  1  2  2  

2

Luas Menurut Poligon-Poligon Luar Purcell, et all. (page 233,2003): Luas lingkaran adalah limit n∞ dari luas Pn . Jadi jika A(F) menyatakan luas daerah F maka :

A  lingkaran   lim A  Pn  n

Dengan demikian :

A  R   lim A  Sn  n 

8 4 4   lim    2  n  3 n 3n   8  3

Jumlah Riemann Purcell, et all. (page 239,2003): Pandanglah sebuah fungsi f yang didefinisikan pada selang tutup [a,b]. Fungsi itu boleh bernilai positif ataupun negatif pada selang tersebut dan bahkan tidak perlu kontinu. Tinjaulah suatu partisi P dari selang [a,b] menjadi n selang bagian (tidak perlu sama panjang) menggunakan titik-titik

a  x0  x1  x2  x3  x4 

 xn1  b

Dan andaikan Δxi =xi - xi -1 . Pada tiap selang bagian [xi-1, xi], ambilah sebuah titik sebarangxi (yang mungkin saja sebuah titik ujuk), titik itu disebut sebagai titik sampel untuk selang bagian ke-i

Jumlah Riemann Contoh untuk n=6

Terbentuklah penjumlahan

Rp   f  xi  xi n

i 1

Jumlah Riemann

Jumlah Riemann Contoh : Hitunglah jumlah Riemann Rp untuk : f  x    x  1  x  2   x  4   x3  5x 2  2 x  8 Pada selang [0,5] dengan menggunakan partisi P dengan titiktitik parsial :

0  1,1  2  3, 2  4  5

Dan titik sampel berpadanan

x1  0, 5 x2  1, 5 x3  2, 5 x4  3, 6 x5  5

R p   f  xi  xi 5

 f  x1  x1  f  x2  x2  f  x3  x3  f  x4  x4  f  x5  x5 i 1

 f  0, 5  1,1  0   f 1, 5   2  1,1  f  2, 5   3, 2  2   f  3, 6   4  3, 2   f  5   5  4   23, 9698

Jumlah Riemann dan Integral Tentu

Paul A. Foerster (page 204, 2005) :

Definisi Integral Tentu Purcell, et all. (page 239,2003): Anggaplah f suatu fungsi yang didefinisikan pada selang tertutup [a,b], jika

 f  x  x n

lim

P 

i 1

i

i

Ada, katakan f adalah terintegrasikan pada [a,b]. Lebih lanjut

 f  x  dx b

a

disebut integral tentu (integral riemann) f dari a ke b diberikan oleh

 f  x  dx  lim  f  x  x b

a

n

P 

i 1

i

i

Integral Tentu  f  x  dx  A b

atas

 f  x  dx  0

 Abawah

a a

 f  x  dx    f  x  dx, a  b a

b

a

a

b

Contoh :

3 x  dx  0 2

2

3 3 x dx   x   dx 2

6

6

2

Integral Tentu TEOREMA A (Purcell, et all. page 242,2003): Teorema Keintegrasian Jika f terbatas pada [a,b] dan f kontinu disana kecuali pada sejumlah titik yang berhingga, maka f terintegrasikan pada [a,b]. Khususnya, jika f kontinu pada seluruh selang [a,b], maka f terintegrasikan pada [a,b]. Fungsi-fungsi yang terintegrasikan pada selang [a,b] : 1.

Fungsi polinomial

2.

Fungsi sinus dan kosinus

3.

Fungsi rasional, asalkan selang [a,b] tidak mengandung titik-titik yang mengakibatkan penyebut 0

Integral Tentu Contoh : Hitunglah

  x  3  dx 3

2

Penyelesaian :

Buatlah partisi selang [-2,3] menjadi n selang bagian yang sama, masing-masing dengan panjang Δx =5/n. dalam setiap selang bagian [xi-1, xi], gunakan

xi sebagai titik sampel :

x0  2

5 x1  2  x  2  n x2  2  2x  2 

10 n 15 x3  2  3x  2  n xi  2  i x  2 

5i n

xn  2  nx  2 

5n 3 n

Integral Tentu Jadi

f  xi   xi  3  1 

Sehingga :

5i n

 f  x  x   f  x  x n

n

i 1

i

i

i 1

i

i

n  5i   5    1     n  n i 1 

5 n 5  1   n i 1  n 

2

i n

i 1

5 5  n  n  1   n       n 2 n   25  1   5  1  2  n 

2

 f  xi  xi   x  3  dx  Plim  3

n

2

i 1

 25  1    lim  5   1    P  2  n   35  2

Integral Tentu TEOREMA B (Purcell, et all. page 244,2003): Sifat Tambahan pada Selang Jika f terintegrasikan pada sebuah selang yang mengandung titik-titik a, b, dan c, maka

 f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx c

b

c

a

a

b

Tidak perduli apapun orde a, b, dan c.

Contoh :

2 2 2 x dx  x dx  x    dx 2

1

2

0

0

1

TERIMA KASIH...