PMIK202021 Uebungsblatt 5 Loseung PDF

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Prof. Dr. Ferdinand von Siemens Victor Klockmann

WS 2020/21

Mikro¨okonomie 2 ¨ Ubungsblatt 5 - L¨osungsskizzen ¨ bungsblatt finden Sie L¨ ¨ 5. F¨ur Fragen zu einzelAuf diesem U osungsskizzen zur Ubung nen Aufgaben oder L¨osungen, wenden Sie sich bitte per Email an Victor Klockmann ([email protected]). Aufgabe 1 (Wiederholung): Dynamische Spiele und SPNE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Betrachten Sie folgendes dynamisches Spiel: Spieler 1 L

Spieler 2 a

M

R

Spieler 2

1, 1

c

b

e d

2, 3

0, −1

1, 0

3, 2

Spieler 1 X

3, 1

Y

1, 5

a. Bestimmen Sie alle teilspielperfekten Nash-Gleichgewichte. L¨ osungsvorschlag: L¨osen durch R¨ uckw¨artsinduktion: SPNE : s∗ = ((R, X) , (a, e))

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b. Bestimmen Sie die Anzahl der reinen Strategien f¨ ur jeden Spieler. L¨ osungsvorschlag: N1 = (Entscheidung am ersten Knoten des Baums (L, M oder R)) x (zwei Wahlm¨oglichkeiten am letzten Knoten (X oder Y )) = 6 N2 = (zwei Wahlm¨ oglichkeiten am linken Knoten (a oder b)) x (drei Wahlm¨oglichkeiten am rechten Knoten (c, d oder e)) = 6 Beide Spieler haben 6 verschiedene reine Strategien. c. Bestimmen Sie ein Nash-Gleichgewicht (in reinen Strategien), das nicht teilspielperfekt ist. L¨ osungsvorschlag: NE1 : s∗ = ((L, X) , (a, c)) oder NE2 : s∗ = ((L, Y ) , (a, c)) oder NE3 : s∗ = ((M, X) , (b, c)) oder NE4 : s∗ = ((M, Y ) , (b, c)) oder NE5 : s∗ = ((R, X) , (b, e)) NE6 : s∗ = ((R, X) , (a, e)) entspricht SPNE

(a, c) (L, X) 2, 3 (L, Y ) 2, 3 (M, X) 1, 1 Spieler 1 (M, Y ) 1, 1 (R, X) 0, −1 (R, Y ) 0, −1

(a, d) 2, 3 2, 3 1, 1 1, 1 3, 1 1, 5

Spieler 2 (a, e) (b, c) 2, 3 1, 0 2, 3 1, 0 1, 1 1, 1 1, 1 1, 1 3, 2 0, −1 3, 2 0, −1

(b, d) 1, 0 1, 0 1, 1 1, 1 3, 1 1, 5

(b, e) 1, 0 1, 0 1, 1 1, 1 3, 2 3, 2

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Aufgabe 2 (Wiederholung): Prinzessin-Frosch Spiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Es war einmal eine Prinzessin, die mit einem Frosch ein Signalspiel spielte. Der Frosch war der “Sender”. Er konnte sagen er sei ein “Prinz” oder er konnte sagen er sei ein “Frosch”. Die Prinzessin war die “Empf¨angerin”. Sie konnte den Frosch k¨ussen. In diesem Fall w¨are es m¨oglich, dass der Frosch sich in einen Prinzen verwandelt. Alternativ, konnte die Prinzessin den Frosch essen. Zu jener Zeit war allgemein bekannt, dass 10% der Fr¨osche im K¨onigreich tats¨ achlich verhexte Prinzen waren. Nur solche Fr¨ osche, die eigentlich Prinzen waren konnten sich nach einem Kuss in einen Prinz verwandeln. Es folgen noch einige wohlbekannte Tatsachen u ¨ ber Fr¨osche und Prinzessinnen, die die Auszahlungen bei dem Signalspiel verdeutlichen. Fr¨osche werden nicht gerne gegessen, aber sie werden gerne von Prinzessinnen gek¨usst. Dies gilt insbesondere f¨ ur jene Fr¨osche, die eigentlich Prinzen sind (weil diese danach keine Fr¨osche mehr sind). Fr¨ osche, die eigentlich keine Prinzen sind, m¨ussen zuerst einen kostspieligen Sprachkurs absolvieren bevor sie das Wort “Prinz” aussprechen k¨onnen. Prinzessinnen essen gerne Fr¨osche, aber wenn der Frosch eigentlich ein Prinz ist, bevorzugen sie es, ihn zu k¨ ussen. Prinzessinnen vermeiden es ¨ublicherweise, Fr¨osche zu k¨ussen, die keine Prinzen sind. Der folgende Spielbaum zeigt Auszahlungen, die diesen Anspr¨uchen gen¨ugen. 5, −10

−10, 5

k¨ussen

SagtP rinz Frosch SagtF rosch

essen

essen IstFrosch 90% Natur

Prinzessin 10, 100

−10, 5

k¨ ussen

essen

SagtF rosch

SagtP rinz Frosch

0, 5

Prinzessin

IstPrinz 10% k¨ussen

10, −10

k¨ ussen essen

10, 100

−10, 5

Finden Sie alle (separierende oder vereinigende) perfekt-Baysianische Gleichgewichte in reinen Strategien. L¨ osungsvorschlag: Bezeichne SagtP rinz mit P und SagtF rosch mit F sowie k¨ ussen mit K und essen mit E. Es gibt vier Kandidaten f¨ ur PBNEs: zwei separierende (Frosch sagt die Wahrheit: F P und Frosch l¨ugt: P F ) und zwei vereinigende (Frosch sagt immer Frosch: F F und Frosch sagt immer Prinz: P P ) Gleichgewichte.

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Betrachte zun¨achst F P , d.h. der Frosch vom Typ IstFrosch sagt die Wahrheit F und der Frosch vom Typ IstPrinz sagt P . Dann ist die beste Antwort der Prinzessin EK, d.h. essen bei SagtFrosch und k¨ussen bei SagtPrinz. Jedoch hat, gegeben diese Strategie, der Frosch vom Typ IstFrosch einen Anreiz abzuweichen zu SagtPrinz. Daher gibt es kein Gleichgewicht mit F P . Betrachte nun P F , d.h. der Frosch vom Typ IstFrosch l¨ ugt und sagt P und der Frosch vom Typ IstPrinz sagt F . Dann ist die beste Antwort der Prinzessin KE , d.h. k¨ ussen bei SagtFrosch und essen bei SagtPrinz. Jedoch hat, gegeben diese Strategie, der Frosch vom Typ IstFrosch einen Anreiz abzuweichen zu SagtFrosch. Daher gibt es kein Gleichgewicht mit P F . Betrachte nun F F , d.h. der Frosch sagt in jedem Fall F . Dann ist der erwartete Nutzen der Prinzessin nach SagtFrosch bei k¨ussen 0.9 · (−10) + 0.1 · 100 = 1 und bei essen 0.9 · 5 + 0.1 · 5 = 5). Daher wird sie essen falls der Frosch SagtF rosch w¨ ahlt. Damit kein Typ Frosch auf SagtPrinz abweicht, muss die Prinzessin essen nach SagtPrinz w¨ahlen. Bezeichne π = µ(IstF rosch|SagtP rinz) die Erwartung, dass ein Frosch der P sagt vom Typ IstFrosch ist. Damit die Prinzessin essen nach SagtPrinz w¨ ahlt, muss gelten 5 ≥ π(−10) + (1 − π)100 ⇔ π ≥ 95/110. Folglich existiert folgendes perfekt-Baysianische Gleichgewicht: PBNE : ((SagtF rosch, SagtF rosch), (essen, essen)) mit

µ(IstF rosch|SagtF rosch) = 0.9 95 µ(IstF rosch|SagtP rinz) ≥ 110

Betrachte nun P P , d.h. der Frosch sagt in jedem Fall P . Dann ist der erwartete Nutzen der Prinzessin nach SagtPrinz analog zu vorher h¨oher bei essen. In diesem Fall wird ein Frosch vom Typ IstFrosch immer auf SagtFrosch abweichen. Daher gibt es kein Gleichgewicht mit P P .

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Aufgabe 3 (Wiederholung): Gefangenendilemma mit sozialen Pr¨ aferenzen . . . . . . . . . . Zwei Spieler spielen folgende Version des Gefangenendilemmas.

Spieler 1

A B

Spieler 2 A B 5, 5 13, 3 3, 13 10, 10

Spieler 1 hat soziale Pr¨aferenzen mit Parametern α und β. Sein Mitspieler wird zuf¨ allig aus einer Population mit folgenden Charakteristiken ausgesucht. Ein Teil µ der Population hat keine sozialen Pr¨aferenzen und ist nur an der eigenen Auszahlung interessiert, der Rest der Population hat die gleichen sozialen Pr¨aferenzen wie Spieler 1. a. Angenommen Spieler 1 spielt mit einem Spieler 2, der die gleichen sozialen Pr¨ aferenzen wie er selbst hat. F¨ur welche Parameterwerte (α, β) ist (B, B ) ein Nash-Gleichgewicht? L¨ osungsvorschlag: Die sozialen Pr¨ aferenzen ¨andern das Spiel wie folgt: Spieler 2 A B A 5, 5 13 − 10β, 3 − 10α Spieler 1 B 3 − 10α, 13 − 10β 10, 10 Damit (B, B) ein Nash-Gleichgewicht ist, muss BA(B) = B gelten, d.h. 10 ≥ 13 − 10β ⇔ β ≥ 0.3 ⇒ β ∈ [0.3, 1), α ≥ β

b. F¨ ur welche Parameterwerte (α, β) ist (B, B) das einzige Nash-Gleichgewicht des Spiels? L¨ osungsvorschlag: Es gibt keine solchen Parameterwerte, weil u1 (A, A) > u1 (B, A) f¨ ur alle Werte von α. c. Gibt es Parameterwerte (α, β) f¨ ur die es rational ist B zu spielen, auch wenn der Mitspieler keine sozialen Pr¨aferenzen hat? L¨ osungsvorschlag: Nein. F¨ur Spieler ohne soziale Pr¨aferenzen ist A eine strikt dominante Strategie, deshalb ist (A, A) das einzige Nash-Gleichgewicht.

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d. Angenommen Spieler 1 hat soziale Pr¨aferenzen und weiß nicht, ob sein Mitspieler soziale Pr¨ aferenzen hat oder nicht. Leiten Sie die Besten Antworten (in reinen Strategien) dieses statischen Bayesianischen Spiels in Abh¨ angigkeit der Parameter µ, α, β her. Bestimmen Sie anhand dessen die Bayesianischen NashGleichgewichte. L¨ osungsvorschlag: Beginne mit der informierten Seite (Spieler 2): F¨ ur Spieler 2 ohne soziale Pr¨aferenzen ist die Aktion A strikt dominant: BA2e (A) = BA2e (B) = A Die beste Antwort von Spieler 2 mit sozialen Pr¨aferenzen h¨angt ab von β: BA2s (A) = A ∀β ( A falls β ≤ 0.3 BA2s (B) = B falls β ≥ 0.3 Betrachte nun Spieler 1 im Falle β ≤ 0.3. Da beide Typen von Spieler 2 stets A spielen werden und die Aktion A auch f¨ ur Spieler 1 strikt dominant ist, wird im Bayesianischen Nash-Gleichgewicht von allen Spielern A f¨ ur alle Werte von µ gespielt. Betrachte Spieler 1 im Falle β ≥ 0.3. Sein erwarteter Nutzen f¨ ur die Aktionen A und B ist dann: Eu1 (A) = 5 Eu1 (B) = µ(3 − 10α) + (1 − µ)10 = 10 − µ(7 + 10α) Folglich ist es optimal f¨ ur Spieler 1 B zu w¨ahlen, falls 10 − µ(7 + 10α) ≥ 5 5 ⇔ µ≤ 7 + 10α Es ergeben sich schließlich folgende Bayesianischen Nash-Gleichgewichte: ∗ = A)), µ ∈ [0, 1], BNE1 : s∗ = (s1∗ = A, (s∗2e = A, s2s 5 ∗ = A)), µ ≥ , BNE2 : s∗ = (s1∗ = A, (s∗2e = A, s2s 7 + 10α 5 ∗ ∗ = B)), µ ≤ , = A, s2s BNE3 : s∗ = (s1∗ = B, (s2e 7 + 10α

falls β ≤ 0.3 falls β ≥ 0.3 falls β ≥ 0.3

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