Pokok Bahasan 5 REGRESI KUADRAT TERKECIL REGRESI KUADRAT TERKECIL PDF

Preview

Summary

Pokok Bahasan 5 REGRESI KUADRAT TERKECIL Indrianawati Teknik Geodesi Itenas 2015 REGRESI KUADRAT TERKECIL Masalah : Mencari metode pengolah data bagi data percobaan untuk memperoleh formula/ fungsi yang menghubungkan y dan x. Jika data dihinggapi kesalahan yang besar/ signifikan, maka penggunaan int...

Description

Pokok Bahasan 5 REGRESI KUADRAT TERKECIL

Indrianawati Teknik Geodesi Itenas 2015

REGRESI KUADRAT TERKECIL Masalah : Mencari metode pengolah data bagi data percobaan untuk memperoleh formula/ fungsi yang menghubungkan y dan x. Jika data dihinggapi kesalahan yang besar/ signifikan, maka penggunaan interpolasi polinominal untuk menaksir nilai-nilai antara tidak cocok dan mungkin memberikan hasil yang tidak memuaskan. Contoh : Pada Gambar 1a menunjukkan 7 buah titik data hasil percobaan yang dihinggapi kesalahan yang signifikan.

1

y

y

y

5

5

0

5

Gambar 1a

x

5

0

5

Gambar 1b

0

5

Gambar 1c

Secara visual terlihat bahwa data menunjukkan hubungan yang positif antara y dan x, yaitu makin besar nilai x, makin tinggi nilai y. Jika polinom orde 6 dicocokkan terhadap data di atas (Gambar 1b) maka polinom tersebut akan tepat melalui semua titik, akan tetapi karena variabilitas data maka kurva tersebut berosilasi dalam interval antara titik-titik data.

Strategi yang lebih cocok untuk kasus seperti itu adalah menurunkan kasus fungsi pendekatan yang mengikuti kecenderungan umum data tanpa perlu tepat melalui semua titik data. Gambar 1c menunjukkan sebuah garis lurus digunakan untuk mewakili kecenderungan umum data. Untuk menurunkan fungsi pendekatan yang paling baik diperlukan beberapa kriteria. Muncul prinsip kuadrat terkecil Teknik yang digunakan untuk memenuhi kriteria yang objektif tersebut disebut regresi kuadrat terkecil.

2

6.1.

REGRESI LINIER

Contoh sederhana dari pendekatan kuadrat terkecil adalah mencocokan garis lurus terhadap sekumpulan pasangan data pengamatan (x1,y1), (x2,y2),……, (xn,yn). Persamaan matematik untuk garis lurus tersebut adalah:

y  a0  a1 x  e

….(1)

Dimana :

a0 , a1 : koefisien

e

: kesalahan/ residu/ simpangan antara model dan pengamatan

persamaan (1) dapat disusun ulang :

e  y  a0  a1 .x

….(2)

jadi, kesalahan/simpangan adalah selisih antara nilai sebenarnya dari y (data) dan nilai pendekatan yang ditaksir melalui persamaan linier:

a0  a1 x Kriteria dari prinsip kuadrat terkecil adalah meminimumkan jumlah kuadrat dari simpangan : n

n

i 1

i 1

S r   ei2    yi  a0  a1 xi 

2

….(3)

3

Untuk menentukan nilai a0 dan a1 , persamaan (3) di-deferensiasi terhadap setiap koefisien S r  2  yi  a0  a1 xi  a0 S r  2  yi  a0  a1 xi xi  a1

Kita akan mendapatkan harga Sr minimum bila turunan Sr terhadap a0 dan a1 sama dengan nol.

0   yi   a0   a1 xi 0   yi xi   a0 xi   a1 x i

2

a

karena

0

 n.a0

maka persamaan di atas dapat dinyatakan sebagai dua persamaan linier simultan dengan dua bilangan anu (a0 dan a1 ):

n a0   xi a1   yi

….(4)

x a  x a  x y i

0

2 i 1

i

i

….(5)

kedua persamaan tersebut disebut persamaan normal. Sistem persamaan linier di atas dapat dipecahkan secara simultan dan diperoleh :

4

a1 

n. xi yi   xi  yi

….(6)

n x   xi 

2

2 i

a0  y  a1 x

….(7)

dimana

y dan x masing-masing adalah rata-rata (means) dari x dan y Simpangan baku dari garis regresi adalah

S



y x

Sy x

Sr n2

….(8)

disebut juga kesalahan baku dari nilai taksiran (standard error of the estimate).

Contoh Regresi Linier : Cocokkan sebuah kesalahan lurus terhadap nilai-nilai x dan y pada tabel berikut Xi Yi

1

2

3

0,5 2,5 2,0

4

5

6

7

4,0

3,5

6,0

5,5

Solusi : Xi

Yi

(Yi - a0 - a1 . Xi)2

1 2 3 4 5 6 7

0,5 2,5 2,0 4,0 3,5 6,0 5,5

0,1687 0,5625 0,3473 0,3265 0,5896 0,7972 0,1993

28

24

2,9911

5

n

=7

Y

i

 24

i

 x y  119,5  X  28

X  28  4 7

i

x

2 i

 140

i

Y  24  3,428571429 7

Gunakan persamaan (6) dan (7) a1 

n. xi yi   xi  yi



n xi2   xi 

2

7.119,5  2824 2 7.140  28

= 0,839285714

a0  y  a1 x = 3,428571429  0,839285714 (4) = 0,07142857 Dengan demikian garis kuadrat terkecil yang cocok dengan data adalah: y = 0,07142857 + 0,839285714 x Kesalahan baku dari nilai taksiran:

s

y x



Sr n2



2,9911 72

= 0,7735

6

6.2. REGRESI POLINOMIAL Seringkali regresi linier tidak cocok/sesuai dengan data. Mungkin persamaan kuadratik atau kubik lebih cocok untuk data tersebut. y

0

x

Untuk kasus-kasus demikian, dilakukan regresi polinomial. Prosedur kuadrat terkecil dapat diaplikasikan untuk mencocokkan data dengan suatu polinom berderajat atau ber-orde m :

y  a0  a1 x  a2 x 2    am x m  e

….(9)

Jumlah kuadrat simpangannya adalah : n



S r   yi  a0  a1 xi  a2 xi2    am xim



….(10)

2

i 1

Sama seperti prosedur pada regresi linier, kita dideferensialkan persamaan (10) terhadap koefisien bilangan anu, seperti dalam:

 y

s r = 2 a 0 s r a1

=

s r a 2

=

i

 a0  a1 xi  a2 xi2    am xim

  2 x y



 x 

 2 x1 yi  a0  a1 xi  a2 xi2    am xim 2 i

i

 a0  a1 xi  a2 xi2    am

m i

7

s r a m

=



 2 xim yi  a0  a1 xi  a2 xi2    am xim



Agar diperoleh s r minimum maka persamaan-persamaan di atas diset sama dengan nol, dan disusun kembali sehingga diperoleh persamaan normal :

a0 n  a1  xi  a2  xi2    am  xim   yi a0  xi  a1  xi2  a2  xi3    am  xim1   xi yi

a0  xi2  a1  xi3  a2  xi4    am  xim2   xi2 yi a0  xim  a1  xim1  a2  xim2    am  xi2m   xim yi

..(11)

dimana semua penjumlahan ( ∑ ) adalah dari i =1 s/d n.

Sistem persamaan linier di atas terdiri dari m+1 persamaan linier dengan m+1 bilangan anu :

a 0 , a1 , a 2 ,  , a m

Sistem di atas dapat dipecahkan dengan salah satu metode pemecahan sistem persamaan linier yang telah dijelaskan dahulu. Simpangan baku dari nilai taksiran (standard error of the estimate) untuk regresi polinominal:

Sy  x

Sr n  m  1

….(10)

dimana : n = jumlah titik data m = derajat polinominal

8

Contoh Regresi Polinominal : Cocokkan polinom orde 2 terhadap data pada tabel berikut : xi

0

1

2

yi

2,1

7,7

3

4

5

13,6 27,2 40,9 61,1

y

Parabola kuadrat terkecil y = a0 + a1x + a2x2

50

0

5

x

Gambar 3

Persamaan normal yang harus disusun :

n.a0   xi .a1   xi2 a2   Yi  xi .a0   xi2 .a1   xi3 a2   X i Yi  xi2 .a0   xi3 .a1   xi4 a2   X i2Yi Solusi :

(yi-a0-a1xi-a2xi2)2

xi

yi

0 1 2 3 4 5

2,1 7,7 13,6 27,2 40,9 61,1

0,14332 1,00286 1,08158 0,80491 0,61951 0,09439

15

152,6

3,74657

9

Dari data yang diberikan, diperoleh : m=2

 xi  15

 xi4  979

n=6

 y i  152,6

 xi y i  585,6

x = 2,5

 xi2  55

 xi2 y i  2488,8

y = 25,433

xi3  225

sehingga, sistem persamaan linier simultan yang terbentuk adalah :

6a 0  15 a1  55 a 2  152,6 15a 0  55 a1  255 a 2  585,6 55a 0  225 a1  979 a 2  2488,8

Sistem persamaan linier tersebut dipecahkan dengan metode Eliminasi Gauss dan didapat : a0 = 2,47857 a1 = 2,35929 a2 = 1,86071 maka persamaan dari parabola kuadrat terkecil dalam kasus ini adalah: y = 2,47857 + 2,35929 x + 1,86071 x2 Simpangan baku dari nilai taksiran pada polinom kuadratik diatas : Sy  x

3,74657  1,12 63

10

TUGAS Diberikan data : xi

yi

0 0,25 0,5 0,75 1,00

1,000 1,2840 1,6487 2,1170 2,7183

Cocokkan data di atas dengan polinom kuadrat terkecil derajat 2! Hitung pula simpangan bakunya!

11...