Práctica 5 Metodo DE Minimos Cuadrados PDF

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UMSSFCYTDpto. FISICAPRÁCTICA 5MÉTODO DE MINIMOS CUADRADOSDocentes: Virginia Luz Vargas VallejosNombre(s): Josue Mendez CastroDia, horario y grupo de laboratorio: miércoles 8 : 15 - 9 : 45 am y Grupo B 3Grupo de trabajo: Grupo 3RESUMENEl presente informe lo realice con el fin de conocer y aprender el...

Description

UMSS FCYT Dpto. FI FISICA SICA

PRÁCTICA 5 MÉTODO DE MINIMOS CU CUADRADOS ADRADOS

Docentes: Virginia Luz Vargas Vallejos Nombre(s): Josue Mendez Castro

Dia, horario y grupo de laboratorio: miércoles 8:1 8:15-9:45am 5-9:45am y Grupo B3 Grupo de trabajo: Grupo 3

RESUM RESUMEN EN

El presente informe lo realice con el fin de conocer y aprender el método de

mínimos cuadrados que es un análisis de regresión buscando la mejor recta a partir de datos experimentales, imponiendo la condición de la suma ponderada de los cuadrados de los errores residuales sea mínima.

Para realizar esta regresión se desarrolló tres ejercicios de laboratorio con los datos obtenidos de mediciones como: en la tabla 1 aceleración en función

de la masa, tabla 2 posición en función del tiempo, tabla 3 periodo en función

de la longitud de un péndulo simple, utilizando 8 datos como base. En el proceso se presentaron ciertos problemas de manejo de ecuaciones, pero no fueron relevantes para la elaboración de la practica ya que se pudo resolver el problema con un poco de análisis matemático.

Aplicando el método de mínimos cuadrados, encontrar la mejor recta que se ajuste a una serie de datos experimentales. Si, los datos tienen tendencia no lineal, primero linealizar la función, aplicando los cambios que se plantea para cada tabla. Para los nuevos datos que tienen tendencia lineal, se encuentra la ecuación de la mejor recta, luego se vuelve a los cambios y se tiene la relación funcional de la curva que mejor se ajuste a las mediciones obtenidas .

Método de mínimos cuadrados

Se debe completar la siguiente tabla para facilitar el procedimiento

AB = DB − (F + HI)

IB

J = ∑AL M = ∑(NB − F − HIB )M = 0

PJ

PF

DB

I BM

∑I BDB

= Q −2 (DB − F − HIB ) = 0

−∑DB + RF + H∑I B = 0 ∑DB = RF + H∑I

B

1

PJ = Q − 2I(DB − F − HIB ) = 0 PH

−∑I BDB + F∑I B + H∑I B M= 0 ∑I BDB = F∑I B + H∑I B M 2

Despejando las ecuaciones 1 y 2 tenemos:

F=

H=

∑D B − H∑I B R

R∑I BDB − ∑I B∑DB R∑I B M− (∑I B) M

1.- C Con on los datos de la tabla 1

Determinar la relación, aceleración en funci función ón de la masa: a = f(m) y las incertidumbres de llos os parámetros de la función. Nº 1 2 3 4 5 6

T(UV /X M) 18,9

F(dianas) × 10M 19,6

56,6

58,8

37,7 75,4 94,3

113,1

39,2 76,4 98,0

117,6

Gráfico 1

120 R² = 0,9995

113,1 94,3

100

aceleración(a)

Tabla 1

75,4

80 56,6

60 37,7 40 18,9 20 0 0

5000

10000

masa(m)

15000

Primero llenamos la tabla anterior de la siguiente manera para facilitar el procedimiento:

IB

DB

I BM

19,6× 10M

18,9

(1960)j

58,8× 10

56,6

(5880)

39,2× 10M M

76,4× 10M 98,0× 10M

117,6 × 10M

37,7 75,4 94,3

113,1

I BDB

37044

(3920)j

147784

(7640)j

576056

j

(9800)j

(11760)j

332808 924140

1330056

∑I B =40960 ∑DB =396 ∑I BM = 346489600 ∑I BDB =3347888

Aplica Aplicando ndo el métod método o de mínimos cuadrados:

∑DB = RF + H∑I

B

∑I BDB = F∑I B + H∑I B M Despejando: F=

H=

∑D B − H∑I B 396 − 0,00964 × 40960 = 0,19093 = 6 R

R∑I BDB − ∑I B∑DB 6(3347888) − 40960) × 396 = 0.00964 = 6(346489600) − (40960)M R∑I B M− (∑I B)M

∑AL M = ∑(NB − F − HIB )M

∑AL M = ∑(0,0343) + (0,0782) + (0,0751) + (2,4319) + (0,1317) + (0,2091) ∑AL M = 2,9694

2 ∆= R∑IB M − (∑IB )M = 6(346489600) −(40960) =401216000

]M =

∑AL M 2,9694 = = 0,7424 R−2 6−2

]^ = _

] M ∑IB M 0,7424 × 346489600 = 0,8007 =_ 401216000 ∆

]` = a

b cd ∆

= a geiMiheee = 0,000105 e,fgMg×h

F = (0,2 ± 0,8)

H = (96,40 ± 1,05) × 10lg

a = f(m) → T = 0,2 + 0,00964V

2.- C Con on los datos de la tabla 2 que corresp corresponden onden a p posición osición y tiem tiempo po de un cuerpo een caída libre n libre.. a) Linea Linealizar, lizar, adoptando cambio de variable n = op, asumiendo b=2 D = t(r) D = Tu

Tabla 2

Gráfico 2 (t^ •)

Nº h(m) t(s) q(r M) 1

0,8

0,4

0,16

2

3,1

0,8

0,64

3

7,0

1,2

1,44

4

12,5

1,6

2,56

5

19,6

2,0

4,00

6

28,2

2,4

5,76

7

38,3 2,8

h (m)

q = rs

45 R² = 1 40 35 30 25 20 12,5 15 7 10 3,1 5 0,8 0 0 2

38,3

28,2 19,6

4

6

8

Z (t^2)

7,84

Primero llenamos la tabla anterior de la siguiente manera para facilitar el procedimiento:

IB

DB

I BM

I BDB

O,16

0,8

(0,16)j

0,128

1,44

7,0

(1,44)

10,08

0,64

3,1

2,56

12,5

5,76

28,2

4,00

19,6

7,84

38,3

∑vw = jj , x ∑y w = z{| , }

Aplicando el método de mínimos cuadrados:

∑DB = RF + H∑I

B

∑I BDB = F∑I B + H∑I B M Despejando:

(0,64)j j

(2,56)j (4,00)j (5,76)j

(7,84) M ∑v w j = zz| , ~{}•

1,984 32

78,4

162,432 300,272

∑v w y w = }€}, j|•

10

F=

∑D B − H∑I B

=

109,5 − 4,891 × 22,4 = −0,00834 7

R R∑I BDB − ∑I B∑DB 7(585,296) − 22,4 × 109,5 H= = = 4,891 R∑I B M− (∑I B)M 7(119,7056) − (22,4) M ∑AL M = ∑(NB − F − HIB )M

∑AL M = ∑(0,000665) + (0,000480) + (0,00120) + (0,000159) + (0,00197) + (0,03618) + (0,00138)

∑AL M = 0,0420

∆= R∑IB M − (∑IB )M = 7(119,7056) −(22,4)2 = 336,1792 ]M =

∑AL M 0,0420 = = 0,0084 R−2 7−2

]^ = _

] M ∑IB M 0,0084 × 119,7056 = 0,0547 =_ 336,1792 ∆

]` = a

b cd ∆

=a

e,ee‚g×f

ƒƒh,if„M

= 0,0132

D = t (r) → D = −0,00834 + 4,891r M

b) Linea Linealizar, lizar, aplicando logaritmos

t* -0,398 -0,097 0,079 0,204 0,301 0,380 0,447

Gráfico 3 1,8 R² = 1

1,583 1,45 1,292

1,6 1,4

1,097

1,2 1

h (m)

Nº h* 1 -0,097 2 0,491 3 0,845 4 1,097 5 1,292 6 1,450 7 1,583

0,845

0,8 0,491 0,6 0,4 0,2 -0,097

-0,6

-0,4

0 -0,2

-0,2

0

t (s)

0,2

0,4

0,6

Primero llenamos la tabla anterior de la siguiente manera para facilitar el procedimiento:

I L∗

DL∗

j

- 0,398

-0,097

(−0,398) j

0,079

0,845

(0, 079)

- 0,097

0,491

0,204

- 0,0476

(0, 204)j

0,2238

1,583

∑vw = {, |z•

∑y w = •, ••z

(0, 380)j

(0,447) M ∑v w j = {, •~j

Aplicando el método de mínimos cuadrados:

∑DB = RF + H∑I

0,3889

(0, 301)j

1,450

0,447

0,0668

j

1,292

0,380

0,0386

(−0,097) j

1,097

0,301

I L∗DL∗

(I L ∗)

0,551

0,7076

∑vw y w = z, |j|

B

∑I BDB = F∑I B + H∑I B M Despejando: F=

H=

∑D B − H∑I B 6,661 − 1,915 × 0,916 = 0,701 = 7 R

R∑I BDB − ∑I B∑DB 7(1,929) − 0,916 × 6,661 = 1,915 = 7(0,672) − (0,916) M R∑I B M− (∑I B)M

∑AL M = ∑(NB − F − HIB )M

∑AL M = ∑(0,00128) + (5,88 × 10lg) + (5,31 × 10l…) + (2,85 × 10l… ) + (2,13 × 10lg) + (4,54 × 10lg ) + (6,76 × 10lg)

∑AL M = 0,00329

∆= R∑IB M − (∑IB )M = 7(0,672) −(0,916)2 =3,865 ]M =

∑AL M 0,00329 = 0,000658 = 7−2 R−2

]^ = _

0,000658 × 0,672 ] M ∑IB M =_ = 0,0107 ∆ 3,865

]` = a

b cd ∆

=a

e,eeeh…‚×f ƒ,‚h…

F = †‡ˆT → T = 10^

= 0,0345

T = 10e,fei = 5,02 B = b = 1,915

ℎ = Tr s → ℎ = 5,02ri,„i…

3.- C Con on los datos de la tabla 3, que correspon corresponden den a la lass mediciones d del el period periodo o del pe pendulo ndulo Determinar la relación de dell periodo en función de la longitud, T=f(L) y las incertidumbres de llos parametros de la función. os a)Line a)Linealizar, alizar, adoptando cambio de variable n = ‹p, asu asumiendo miendo b = 0,5 Nº L(m) T(s)

Œe, …(V )

1

0,3

1,11 0,548

2

0,6

1,56

0,774

3

0,9

1,90

0,949

Gráfico 4 (L^• )

3,5 3

1,9

2

4

1,2

2,20 1,095

5

1,5

2,44

1,224

1

6

1,8

2,67 1,342

0,5

7

2,1

2,88

2,88 2,67 2,44 2,2

R² = 0,9999

2,5

T(s)

Tabla 3

1,56 1,11

1,5

0

1,449

0

0,5

1

1,5

L(m)

Primero llenamos la tabla anterior de la siguiente manera para facilitar el procedimiento:

DB

IB

0,548 0,774 1,095 1,449

∑vw = ~, •€z

(0, 548)j

0,608

1,90

(0, 949)j

1,803

(0, 774)j

2,20

1,224

(1, 095)j

2,44 2,67 2,88

∑y w = zx , ~•

(1, 224)j

B

∑I BDB = F∑I B + H∑I B M

(1, 342)j

(1,449) M ∑v w j = €, •|€

Aplicando el método de mínimos cuadrados:

∑DB = RF + H∑I

I BDB

1,11 1,56

0,949 1,342

I BM

1,207 2,409 2,986 3,583 4,173

∑v wy w = z• , ~•|

2

Despejando: F=

H=

∑D B − H∑I B R

=

14,76 − 1,9595 × 7,381 = 0,0424 7

R∑I BDB − ∑I B∑DB 7(16,769) − 7,381 × 14,76 = 1,9595 = R∑I B M− (∑I B)M 7(8,398) − (7,381)M

∑AL M = ∑(NB − F − HIB )M

∑AL M = ∑(3,85 × 10l…) + (8,97 × 10lf ) + (3,86 × 10lh) + (1,43 × 10lg ) + (6,85 × 10lf) + (4,2 × 10lh ) + (2,94 × 10lh) ∑AL M = 0,000194

2 ∆= R∑IB M − (∑IB )M = 7(8,398) −(7,381) = 11,307

]M =

∑AL M 0,000194 = = 0,0000388 R−2 7−2

]^ = _

0,0000388 × 8,398 ] M ∑IB M =_ = 0,00537 ∆ 11,307

]` = a

b cd ∆

=a

e,eeeeƒ‚‚×f ii,ƒef

= 0,00490

D = t (r) → D = 0,0424 + 1,9595rM

b) Linea Linealizar, lizar, aplicando logaritmos Œ∗ -0,523 -0,222 -0,046 0,079 0,176 0,255 0,322

Ž∗ 0,045 0,193 0,279 0,342 0,387 0,426 0,459

Gráfico 5

0,193

0,4 0,342 0,35 0,279 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0

0,045

-0,6

0,459 0,426 0,387

0,5 0,45

R² = 1

T(s)

Nº 1 2 3 4 5 6 7

-0,4

-0,2

0

L(m)

0,2

0,4

Primero llenamos la tabla anterior de la siguiente manera para facilitar el procedimiento:

I L∗

DL∗

(I L ∗)

j

I L∗DL∗

- 0,523

0,045

(−0,523) j

- 0,0235

- 0,046

0,279

(−0,046)

- 0,0128

- 0,222

0,193

0,079

(−0,222) j

0,342

0,176

(0, 079)j

0,387

0,255 0,322

∑vw = {, {xz

0,426 0,459

j

(0, 176)j

∑y w = j , z•z

(0, 255)j

(0,322) M ∑v w j = {, }•z

Aplicando el método de mínimos cuadrados:

∑DB = RF + H∑I

- 0,0428 0,0270 0,0681 0,1086 0,1478

∑v wy w = {, j~jx

B

∑I BDB = F∑I B + H∑I B M Despejando: F=

H=

∑D B − H∑I B 2,131 − 0,4897 × 0,041 = 0,3016 = 7 R

R∑I BDB − ∑I B∑DB 7(0,2724) − 0,041 × 2,131 = = 0,4897 7(0,531) − (0,041)M R∑I B M− (∑I B)M

∑AL M = ∑(NB − F − HIB )M

∑AL M = ∑(2,37 × 10lf) + (1,28 × 10l‚ ) + (5,4 × 10l„) + (2,94 × 10lh ) + (6,2 × 10lf) + (2,24 × 10lf) + (8,03 × 10l‚) ∑AL M = 4,12 × 10lh

∆= R∑IB M − (∑IB )M = 7(0,531) −(0,041)2 = 3,7153 ]M =

∑AL M 4,12 × 10lh = 8,24 × 10lf = 7−2 R−2

]^ = _

8,24 × 10lf × 0,531 ] M ∑IB M =_ = 0,000343 ∆ 3,7153

]` = a

b cd ∆

=a

8,24×10−7 ×f

ƒ,fi…ƒ

= 0,00124

F = †‡ˆT → T = 10 ^ T = 10e,ƒeih = 2,00

B = b = 0,49

Ž = TŒs → ℎ = 2Œe,g„

4.- Haga u un n comentar comentario io sobre lo loss dos método métodos, s, gráfico y analítico.

R.- Métod Método o analític analítico: o: este método es un poco largo y complicado de realizar que el método gráfico, cuando se haga uso de este método de mínimos cuadrados se debe buscar una línea de mejor ajuste que explique la posible relación entre una variable independiente y una variable dependiente. Este método te permite encontrar la mejor recta que se ajusta a una serie de datos experimentales. Método gráfico: este método es mucho más fácil y rápido de resolver que el método analítico de mínimos cuadrados, con este método solo necesitas saber graficar y linealizar las funciones no lineales, ubicar

recta con el eje “y”.

∆• ∆‘

y la intersección de la...