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Ley de Ohm y resistividad eléctrica Autora Marin Casarrubias Daniela Facultad de Química, UNAM. Semestre 2022-1 Laboratorio de Física Grupo 9 Profesor Juan Gabriel Morales Morales Resumen A lo largo de la práctica se desarrollaran dos casos de resistividad eléctrica, siendo el primero en una resistencia de carbón y el segundo en un lápiz de grafito, con lo cual se buscara comprobar el fundamento de la ley de Ohm realizando una regresión lineal de acuerdo al fundamento de las variables de la que depende dicha ley y calculando sus incertidumbres asociadas Introducción Potencial Eléctrico El potencial eléctrico en un punto del espacio es una magnitud escalar que nos permite obtener una medida del campo eléctrico en dicho punto a través de la energía potencial electrostática que adquiriría una carga si la situásemos en ese punto. 𝑉= donde:

𝐸𝑝 𝑞´

V es el potencial eléctrico en un punto del campo eléctrico. Su unidad en el S.I. es el julio por culombio (J/C),el nombre de Voltio. Ep es la energía potencial eléctrica que adquiere una carga testigo positiva q' al situarla en ese punto. El hecho de que todas las magnitudes sean escalares permite que el estudio del campo eléctrico sea más sencillo. De esta forma, si conocemos el valor del potencial eléctrico V en un punto, podemos determinar que la energía potencial eléctrica de una carga q situada en él es:

Corriente Eléctrica

𝐸𝑝 = 𝑉 ⋅ 𝑞

El movimiento de las cargas eléctricas a través de un medio conductor se conoce como corriente eléctrica, y se origina al poner en contacto dos elementos entre los que hay una diferencia de potencial. La corriente eléctrica continua es aquella que fluye de un punto a otro, siempre en el mismo sentido, mientras que la corriente alterna es aquella que fluye de

un punto a otro, cambiando de sentido periódicamente. Por ejemplo la electricidad comercial a gran escala procede de generadores que producen corriente alterna. La corriente eléctrica también genera calor. Cuando las cargas eléctricas fluyen a través de un material conductor, chocan con sus átomos, los electrones ceden una parte de la energía que contienen, y los átomos ganan velocidad, la cual se manifiesta a través del calor. Resistencia Eléctrica Cuando hablamos de resistencia eléctrica podemos estar refiriéndonos a una magnitud, que mide la dificultad con la que un conductor conduce la corriente, o bien a un elemento de un circuito (una pieza física que forma parte de este). Por ejemplo: Resistencia de un Conductor Todos los conductores eléctricos se oponen al paso de la corriente eléctrica en mayor o menor medida. Esto es debido a que los portadores de carga (electrones o iones) se encuentran con ciertas dificultades para desplazarse dentro del material del que forman parte. Esta oposición se denomina resistencia eléctrica de un conductor. De forma experimental se puede demostrar que la resistencia eléctrica de un conductor depende de: El material del que está compuesto. La temperatura a la que se encuentra. Cuanto mayor es la temperatura mayor es su resistencia eléctrica Su longitud. La resistencia aumenta proporcionalmente a la longitud del conductor. Su sección. La resistencia disminuye proporcionalmente a la sección transversal del conductor. Se denomina resistencia eléctrica de un conductor a la oposición que ofrece dicho conductor al paso de la corriente eléctrica. Matemáticamente: 𝑅 =𝜌⋅ Donde:

𝑙 𝑆

R es la resistencia eléctrica. Su unidad de medida en el Sistema Internacional (S.I.) es el ohmio (Ω). ρ es la resistividad del material. Su unidad de medida en el S.I. es el ohmio por metro (Ω·m) l es la longitud del conductor. Su unidad de medida en el S.I es el metro (m) S es la sección del conductor. Su unidad de medida en el S.I es el metro al cuadrado (m2) Resistividad eléctrica La resistividad eléctrica hace referencia a un punto en específico del material. Así que lo que se busca definir es la densidad de corriente en el material resistivo causado por el campo eléctrico en el punto. Así que todos los materiales cuentan con una resistividad característica a temperatura ambiente. Con esto dicho, podemos definir la siguiente fórmula:

𝜌 = 𝐸/𝐽

La anterior fórmula representa la resistividad con la letra griega "Rho" (ρ), en el numerador tenemos el campo eléctrico "E" y en el denominador la densidad de corriente "J". Si observamos bien, esta fórmula es muy similar a la ley de ohm, sólo que en lugar de voltaje usamos campo eléctrico, en lugar de corriente es la densidad de corriente y en lugar de resistencia es resistividad. La resistividad describe el comportamiento de un material frente al paso de corriente eléctrica, por lo que da una idea de lo buen o mal conductor que es. Un valor alto de resistividad indica que el material es mal conductor mientras que uno bajo indicará que es un buen conductor. Desarrollo experimental Materiales: • • • •

Multimetro (multimedidor de magnitudes eléctricas) Resistencia de carbón Grafito de lápiz Un par de cables

Resultados Resistencia:

𝑅 = 100.5 Ω

∑ 84.7

Y 1.25 1.35 1.46 1.53 1.68 1.75

9.02

Al observar que es un modelo lineal, graficamos y realizamos su análisis con mínimos cuadrados: 𝑚 = 105.76𝛺 = 𝑅

i contra V

V (V)

X 11.7 12.7 13.7 14.4 15.7 16.5

𝑢(𝑅) = 1.4Ω

2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0

y = 0.1058x + 0.0103

0

5

10

i (mA)

𝑆𝑚 = 1.48𝛺

15

Grafito

∑ 729.9

𝑣(𝑉) Y 1.25 1.44 1.56 1.71 2.14 2.18 2.3 2.35 2.48 17.41

i vs V en Gráfito 3 y = 0.0235x + 0.0325

2.5 2

V (V)

𝑖(𝑚𝐴) X 51.2 60.4 64.9 72.2 89.5 92.8 97.2 98.4 103.3

1.5 1 0.5

0 0

20

40

60

80

i (mA)

Al observar que es un modelo lineal, graficamos y realizamos su análisis con mínimos cuadrados: 𝑚 = 23.45 𝛺 = 𝑅

𝑆𝑚 = 0.34 𝛺

Con lo anterior y sabiendo que la resistencia se ve afectada por la geometría del material, calculamos resistividad del material y su incertidumbre 𝜌 = 8.35𝑥10−4 Ω ∙ m

𝑢(𝜌) = 0.09

Discusión de Resultados: Se midió la intensidad y la resistencia de corriente para la resistencia de carbón, y de acuerdo a los datos recabados se realizó una regresión lineal, en la cuál podemos observar que la pendiente obtenida es muy similar al valor dado de la resistencia. Por otro lado, para el grafito del lápiz, se midió de manera experimental la intensidad así como la resitencia de corriente y al igual que la resistencia de carbón, se hizo su respectiva regresión lineal. Se obtuvo la pendiente que está relacionada con el valor de su resistencia , no obstante, en el grafito podemos analizar la resistividad a partir de la geometría del material.

Conclusiones: Cuando hablamos de ley de Ohm y la relación entre sus variables nos percatamos que se trata de un modelo lineal con lo que realizamos una regresión lineal, calculando sus mínimos

100

120

cuadrados y las incertidumbres concluimos que el en ambos casos se cumple la ley de ohm y el grafito es un material óhmico, el cociente entre el potencial y corriente será constante. Referencias: Halliday, D., Resnick, R. & Walker, J. . (2013). Fundamentos de Física. México: Grupo editorial Patria Corriente Eléctrica Continua, José L. Fernández. Resistencia Eléctrica. Consultado de: https://www.fisicalab.com/apartado/resistencia-electrica-conductor Campo Eléctrico, José L. Fernández. Potencial Eléctrico. https://www.fisicalab.com/apartado/potencial-electrico-punto

Consultado

Apéndice: Resistencia:

𝑅 = 100.5 Ω 𝑢(𝑅) = [1.2%(100.5 Ω) + 0.2 Ω] 𝑢(𝑅) = 1.406Ω

𝑅 = 100.5 Ω

𝑢(𝑅) = 1.4Ω

𝑖(𝑚𝐴)

𝑣(𝑉)

𝑖2

(𝑖)(𝑉)

X 11.7 12.7 13.7 14.4 15.7 16.5

Y 1.25 1.35 1.46 1.53 1.68 1.75

X2 136.89 161.29 187.69 207.36 246.49 272.25

XY 14.625 17.145 20.002 22.032 26.376 28.875

∑ 84.7

9.02

𝒎=

1211.97

129.055

2

∑(𝑦1 − 𝑚𝑥1 − 𝑏) 5.32686E-06 1.19163E-05 6.20944E-07 1.05235E-05 8.58958E-05 2.85156E-05 0.000142799

𝑛Σ(𝑋𝑌) − Σ(𝑋) ∗ Σ(𝑌) 6(129.055) − (84.7)(9.02) = (6)(1211.97) − (84.7)2 𝑛Σ(𝑋2 ) − (Σ𝑥)2 𝑚 = 0.1057607695

𝑅𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑢𝑛 𝑎𝑗𝑢𝑠𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠: 𝑚 = 105.76𝛺 = 𝑅 𝑆𝑦 ≡ 𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑠𝑝𝑒𝑟𝑠𝑖ó𝑛 = √

∑(𝑦1 − 𝑚𝑥1 − 𝑏)2 𝑁−2

𝑆𝑦 = 5.97493𝑥10−3

de:

𝑁 𝑆𝑚 = 𝑆𝑦 √ 𝑁 ∑ 𝑥2 − (∑ 𝑥)2

𝑅𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑢𝑛 𝑎𝑗𝑢𝑠𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠: 𝑆𝑚 = 1.48𝛺 Grafito

𝑖(𝑚𝐴)

𝑣(𝑉)

𝑖2

(𝑖)(𝑉)

X

Y

X2

XY

51.2 60.4 64.9 72.2 89.5 92.8 97.2 98.4 103.3 729.9

1.25 1.44 1.56 1.71 2.14 2.18 2.3 2.35 2.48 17.41

2621.44 3648.16 4212.01 5212.84 8010.25 8611.84 9447.84 9682.56 10670.89 62117.83

64 86.976 101.244 123.462 191.53 202.304 223.56 231.24 256.184 1480.5

𝒎=

2

∑(𝑦1 − 𝑚𝑥1 − 𝑏) 0.00028069 8.1093E-05 2.9817E-05 0.00024773 7.2924E-05 0.00083245 0.000145 9.6356E-05 0.00062006 0.00240613

𝑛Σ(𝑋𝑌) − Σ(𝑋) ∗ Σ(𝑌) 9(1480.5) − (729.9)(17.41) = (9)(62117.83) − (729.9)2 𝑛Σ(𝑋2 ) − (Σ𝑥)2 𝑚 = 0.023452072

𝑅𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑢𝑛 𝑎𝑗𝑢𝑠𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠: 𝑚 = 23.452072𝛺 = 𝑅 𝑆𝑦 ≡ 𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑠𝑝𝑒𝑟𝑠𝑖ó𝑛 = √ 𝑆𝑦 = 0.01854

𝑆𝑚 = 𝑆𝑦 √

∑(𝑦1 − 𝑚𝑥1 − 𝑏)2 𝑁−2

𝑁 𝑁 ∑ 𝑥2 − (∑ 𝑥)2

𝑆𝑚 = 3.429254992𝑥10−4

𝑅𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑢𝑛 𝑎𝑗𝑢𝑠𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠: 𝑆𝑚 = 0.3429𝛺

Ahora la resistencia se ve afectada por la geometría del conductor:

𝑅 =𝜌⋅

𝑙 𝐴𝑇

π𝐷2

𝐴𝑇 = 4

𝐴𝑇 =

𝜌=

π(2.2𝑚𝑚)2 4

(𝐴 𝑇 )(𝑅) 𝑙

(3.801327111𝑚𝑚2 )(23.452072Ω) 𝜌= 106.75𝑚𝑚 𝜌 = 0.8351194108Ω ∙ 𝑚𝑚

𝜌 = 8.351194108𝑥10−4 Ω ∙ m

𝛿𝜌 2 𝛿𝜌 2 𝛿𝜌 2 𝑢(𝜌) = √[ ] [𝑢(𝐷)]2 + [ ] [𝑢(𝑙)]2 + [ ] [𝑢(𝑅)]2 𝛿𝑅 𝛿𝐷 𝛿𝑙 𝛿𝜌 πRD = 2𝐿 𝛿𝐷

𝛿𝜌 π𝐷2 𝑅 = 4𝐿2 𝛿𝑙

𝑢(𝜌) = √[

𝛿𝜌 π𝐷2 = 4𝐿 𝛿𝑅

2

π(23.452072)(2.2) 2 π(2.2)2(23.452072) π(2.2)2 ] [(1.48)]2 ] [(0.05)]2 + [ ] [(0.05)]2 + [ 4(106.75) 106.75 4(106.75)2 𝑢(𝜌) = 0.09242032988

2...