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Prácticas de Juan Aguiar. Nota de prácticas 9....

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CONSTANTE ELASTICA DE UN MUELLE Francisco Fernández León y Sergio Guerrero Porras

Objetivo Hallar la constate recuperadora de los muelles.

Material Soporte con metro incorporado, 2 muelles (uno de radio mayor que el otro), platillo, pesas, cronómetro y balanza electrónica.

Fundamento Teórico Método Estático La ley de Hooke establece que la fuerza elástica recuperadora es directamente proporcional a la deformación. Matemáticamente:

donde es la fuerza, y es la deformación, y K es la constante que tiene un valor característico para cada material y se conoce como Módulo de Elasticidad. El signo negativo pone de manifiesto que

tiende a llevar el cuerpo a la posición de equilibrio.

En la figura 1, “y” es la deformación, F’ es la fuerza deformante (debida al sobrepeso) y es la fuerza elástica, ejercida por el muelle. De la ley de Hooke y de que el sistema está en equilibrio:

K = F’/y

Método Dinámico Cuando un muelle se separa de su posición de equilibrio estable y se suelta a continuación, tiende a volver hacia dicha posición en virtud de la fuerza recuperadora, produciendo un movimiento armónico simple cuyo periodo es:

Siendo M la masa del platillo más la del posible sobrecarga. En la ecuación anterior se ha despreciado la masa del muelle m. Se puede demostrar que el efecto que produce dicha masa es igual al que se obtendría si actuase la tercera parte de la misma concentrada en su extremo, por lo que podemos considerar que la masa total que cuelga del muelle es M + m/3, y el periodo de oscilación será:

Método Experimental Método Estático En primer lugar, anote la medida tomada sobre la escala del metro cuando el índice enrasa el fondo del platillo (o del portapesas), estando éste sin masas adicionales. Ésta será la longitud inicial y posición de equilibrio, y el primer par de valores (sobrepeso = 0; Longitud inicial). Coloque masas adicionales sobre el platillo, anotando

las nuevas longitudes que se obtienen del “muelle + portapesas” en cada caso. Advertencia: No se pueden colocar sobrepesos demasiado grandes, a fin de evitar comportamientos no lineales del muelle y un posible cambio de su posición de equilibrio (histéresis). Rellene una tabla con, al menos, 6 pares de valores (sobrepesos y longitudes), sin olvidar la pareja inicial sin sobrepeso. Realice, seguidamente, una tabla donde aparezcan los pesos (g = 9,8 m/s2) asociados a cada masa que hayamos puesto en el portapesas y la elongación (o alargamiento) que dichos pesos producen en el muelle. Finalmente, el valor de la constante elástica se obtiene llevando estos últimos datos a una gráfica peso frente a alargamiento y realizando un ajuste por mínimos cuadrados.

Método Dinámico Mida la masa de los muelles y la del platillo (o portapesas) con la balanza electrónica; añada una pesa como sobrecarga (recuerde la advertencia apuntada anteriormente). A continuación, provoque un movimiento oscilatorio suave y mida el tiempo que tarda en realizar un determinado número de oscilaciones completas. Calcule el período y, a partir de este dato, la constante elástica del muelle despejándola de la ecuación.

Ahora procederemos a mostrar los resultados obtenidos así como los cálculos realizados. En primer lugar expondremos los errores instrumentales: *Error Cronómetro → 0.01 s *Error Metro → 1 mm

*Error Balanza → 0.01 g

A continuación medimos la masa del portapesas y de los dos muelles: Masa Portapesas = 10.01 ± 0.01 𝑔

Masa muelle grande = 15.54 ± 0.01 𝑔

Masa muelle pequeño = 5.77 ± 0.01 𝑔

método estático: Muelle Grande Para el muelle grande, los datos tomados fueron los siguientes:

0 1 2 3 4 5 6

Masa (g)

Alargamiento (mm)

0 10 20 30 40 50 60

326 356 389 421 453 484 516

Cabe mencionar que al ser el alargamiento una medida directa, el error cometido es el del error instrumental, ±1𝑚𝑚. Posteriormente se mostrará una tabla con una serie de datos calculados (medidas indirectas). En este caso, los datos calculados han sido el peso y la elongación.

Masa (g)

Peso (N)

Elongación (m)

0 10 20 30 40 50 60

0 0.098 0.196 0.294 0.392 0.49 0.588

0 0.030 0.063 0.095 0.127 0.158 0.190

∆𝑙 (𝑚)

0.002

Para calcular la elongación, es decir, la deformación que ha sufrido el muelle, restamos a cada longitud la longitud inicial (326 mm en este caso). Así pues, la elongación que ha sufrido el muelle con la pesa de 10g ha sido: 𝐸𝑙𝑜𝑛𝑔𝑎𝑐𝑖ó𝑛 = 356 − 326 = 30𝑚𝑚 = 0,030 𝑚

Y su correspondiente error será: ∆𝑙 = |

𝜕𝑙 𝜕𝑙 | ∆𝑙0 + | | ∆𝑙𝑓 = ∆𝑙0 + ∆𝑙𝑓 = 0,002 𝑚 𝜕𝑙𝑓 𝜕𝑙0

Y para el cálculo del peso solo tenemos que hacer la siguiente multiplicación:

𝑚 𝑚𝑎𝑠𝑎 (𝑘𝑔) × 𝑔𝑟𝑎𝑣𝑒𝑑𝑎𝑑 (9,8 𝑠 2 ) = 𝑃𝑒𝑠𝑜(𝑁) 0,010 × 9,8 = 0,98 𝑁 A continuación realizamos la gráfica Peso-Elongación:

Tras el ajuste por mínimos cuadrados obtenemos la recta: y=3,083x+0,0020 A partir de ella obtenemos:

*Término independiente = 0,0020 ± 0,0013 𝑁

* Pendiente = 3,083 ± 0,012 N/m * 𝑅 2 = 0,999924

Como hemos dicho anteriormente en el apartado “método experimental”, el valor de la constante elástica y su error lo obtenemos de la pendiente de la recta obtenida por el ajuste. Así, la pendiente (K), se correspondería con 3,083 ± 0,012 N/m.

Muelle Pequeño

De forma análoga a como hemos hecho con el muelle grande, hacemos con el muelle pequeño. Así pues, para el muelle pequeño los datos tomados fueron los siguientes:

0 1 2 3 4 5 6 7

Masa (g)

Alargamiento (mm)

0 20 40 60 80 100 120 140

335 346 356 367 377 388 397 408

Cabe mencionar de nuevo, que al ser el alargamiento una medida directa, el error cometido es el del error instrumental, ±1𝑚𝑚.

Y los datos calculados, peso y elongación, se corresponden con los siguientes valores:

Masa (g) 0 20 40 60 80 100 120 140

Peso (𝑁) Elongación (m) 0 0,196 0,392 0,588 0,784 0,98 1,176 1,372

0 0,011 0,021 0,032 0,042 0,053 0,062 0,073

∆𝑙 (𝑚)

0,002

Y realizamos la gráfica Peso-Elongación:

Tras el ajuste por mínimos cuadrados obtenemos la recta: y

= 18,87x - 0,007

De ella obtenemos:

*Término independiente = -0,007 ± 0,006 N * Pendiente = 18,87 ± 0,14 N/m

* 𝑅 2 = 0,99969

Por tanto la pendiente nos indica que K se corresponde con 18,87 ± 0,14 N/m.

método dinámico Muelle Grande Para el muelle grande, los datos tomados se mostrarán en la siguiente tabla:

Masa (g) Oscilaciones

20

25 40

Tiempo (s) 16.72 16.72 16.78 20.87 20.89 20.97

Tiempo medio (s)

Error del tiempo medio (s)

Error de dispersión (%)

16.74

0.02

0.36

20.91

0.03

0.48

Aparte de los datos tomados, la tabla incluye una serie de medidas indirectas que serán usadas en otros cálculos posteriores. Además, podemos observar que también se incluye el error de dispersión, que nos indica el grado de fiabilidad de las medidas tomadas. Así, el tiempo medio se calcula de la siguiente forma: 𝑡 =

𝑡1 + 𝑡2 + 𝑡3 16,72 + 16,72 + 16,78 = 16,74 𝑠 = 3 3

Dependiendo de la dispersión, el error será el instrumental si esta (la dispersión) es menor que el error instrumental. En cambio, si la dispersión es mayor que el error instrumental, se calcula el tanto por ciento de dispersión, y se toma como error el instrumental o el que obtenemos de aplicar la formula [7] de nuestros apuntes de teoría de errores, el que sea mayor. Así pues, en el caso de anterior,

𝐷 = 16,78 − 16,72 = 0,06 𝑠 > 𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑟𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙 → 𝜀𝐷 =

Y el error será:

∆𝑡 = √

𝐷 𝑡

× 100% = 0,36%

∑ 3𝑖=1(𝑡𝑖 − 𝑡 )^2 = 0,02 𝑠 3 ∗ (3 − 1)

A continuación se muestra otra tabla con medidas indirectas y sus respectivos errores. Estas medidas indirectas serán introducidas más adelante en la fórmula para así averiguar la constante elástica del muelle por el método dinámico.

Masa (g)

T (s)

20 40

0.6696 0.8364

∆𝑻 (𝒔)

𝑻𝟐 (𝒔𝟐 )

0.0008 0.0012

0.4484 0.700

∆𝑻𝟐 (𝒔𝟐 )

0.0011 0.002

Seguidamente se mostrará como se han relizado dichos cálculos, poniendo de ejemplo para ello el caso en el que el sobrepeso ha sido de 20 g. Para el cálculo del periodo hemos utilizado la siguiente fórmula: 𝑇=

𝑡

𝑜𝑠𝑐𝑖𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠

=

16,74 25

Y mediante derivadas parciales deducimos su error:

∆𝑇 = |

= 0,6696 𝑠

1 1 𝜕𝑇 × 0,02 = 0,0008 𝑠 | ∆𝑡 = × ∆𝑡 = 25 𝜕 𝑡 𝑜𝑠𝑐𝑖𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠

Para averiguar 𝑇 2 , basta con elevar el periodo al cuadrado, y su error viene dado por: ∆𝑇 2 = 2 × 𝑇 × ∆𝑇 = 2 × 0,6696 × 0,0008 = 0,0011 𝑠2

Finalmente, solo queda introducir los datos en la fórmula con K despejada:

𝐾=

1 𝑚) 4𝜋 2 (𝑀 + 3

4𝜋 ([0,01001 + 0,020] + 0,4484 = 2

13

𝑇2 Y el error lo obtendremos mediante derivadas parciales:

× 0,01554)

𝜕𝐾 𝜕𝐾 𝜕𝐾 ∆𝐾 = | | ∆𝑀 + | | ∆𝑚 + | 2 | ∆𝑇 2 = 𝜕𝑇 𝜕𝑀 𝜕𝑚

= 3.098

N m

1 4𝜋 2 (𝑀 + 3 𝑚)(−2) 4𝜋 2 4𝜋 2 −3 | ∆𝑇 2 = | 2 | 0,02 × 10 + | | 0,01 × 10−3 + | 3 2 𝑇 𝑇 3𝑇

4𝜋2 4𝜋 2 | 0,01 × 10−3 = | | 0,02 × 10−3 + | 3 ∗ 0,4484 0,4484

+|

4𝜋 2 ([0,01001 + 0,020] +

1 × 0,01554)(−2) 3

0,66963

| 0,0011 = 0.011 𝑁/𝑚

Así, las constantes elásticas obtenidas son: ∆𝐾20 = 0.011 𝑁/𝑚;

∆𝐾40 = 0.016 𝑁/𝑚;

𝐾20 = 3.098 N/m 𝐾40 =3.115 N/m

Por tanto, la constante elástica será la media de los 2 valores y su error lo obtendremos con la siguiente fórmula: ∆𝐾 =

1 (∆𝐾20 + ∆𝐾40 ) = 0,014 𝑁/𝑚 2

Por tanto, concluimos que 𝐾 = 3,107 ± 0,014 𝑁/𝑚

Muelle Pequeño

Todo lo que hemos hecho antes, lo hacemos ahora con el muelle pequeño: Datos tomados:

Masa (g) Oscilaciones

70

25 140

Tiempo (s) 10,37 10,34 10,41 14,07 14,10 14,09

Tiempo medio (s)

Error del tiempo medio (s)

Error de dispersión (%)

10,37

0,02

0,67

14,09

0,01

0,21

Cálculos realizados:

Masa (g)

T (s)

∆𝑻 (s)

𝑻𝟐 (𝒔𝟐 )

∆𝑻𝟐 (𝒔𝟐 )

70

0,4149

0,0008

0,1727

0,0007

140

0,5635

0,0004

0,3175

0,0005

Tras introducir los datos correspondientes en la fórmula, obtenemos: 𝐾70 = 18,73 ± 0,07 𝑁/𝑚

𝐾140 = 18,89 ± 0,04 𝑁/𝑚

Por tanto, concluimos que 𝐾 = 18,81 ± 0,06 𝑁/𝑚

CUESTIONES 1.- ¿Qué otra fuerza existe en esta experiencia que no hemos tenido en cuenta? Otra fuerza que existe y que no hemos tenido en cuenta es la fuerza de rozamiento viscosa, la cual hemos considerado que era despreciable. 2.- ¿Variaría esta constante K si la experiencia la realizáramos en la Luna? ¿Obtendríamos un valor mayor, menor o igual? ¿Por qué? La constante elástica de un muelle no varía en función del lugar donde se realice el experimento. El valor sería el mismo ya que el valor K es característico del muelle y no depende de la gravedad. 3.- Defina los conceptos: masa inercial y masa gravitatoria. Consulte la bibliografía si desconoce estos términos. Se define masa inercial como la medida de la resistencia de una masa al cambio de velocidad en relación con un sistema de referencia inercial. Se define masa gravitatoria como la medida de la fuerza de atracción gravitatoria que experimenta una porción de materia másica dentro de un campo gravitatorio. 4.- ¿Cuál de estas masas (gravitatoria o inercial) interviene en cada uno de los métodos? La masa inercial se corresponde con el método dinámico y la masa gravitatoria se corresponde con el método estático.

5.- Suponiendo que la masa del muelle fuese despreciable, ¿podría explicar el motivo por el que la masa del platillo no aparece en la ecuación [1]?

Esto es porque en la fórmula 1 lo que nos interesa medir son las deformaciones del muelle únicamente, y para facilitar la toma de medidas, consideramos como longitud inicial la longitud del muelle con el portapesas. A partir de esta longitud inicial, mediamos las deformaciones que sufría el muelle, que como ya hemos dicho antes, era lo único que nos interesaba medir, para después realizar la gráfica peso-elongación y averiguar la constante elástica del muelle....