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ALUMNO1: ALUMNO2: PRÁCTICA ALGORÍTMICA NUMÉRICA CURSO 2019/2020 Se desea construir una carretera que pase lo más próxima posible a una serie de provincias de España cuyas coordenadas X e Y se van a obtener interactivamente. Concretamente la carretera debe pasar por Cáceres, Valladolid, Madrid, Albacete y Valencia.

1.a) Para obtener los puntos por donde tiene que pasar la carretera se va a pulsar con el ratón sobre una imagen de España, concretamente sobre los nombres de las provincias pedidas. El comando ginput (help ginput) nos dará los puntos donde hemos pulsado y estos serán los datos de nuestro problema de interpolación. Para obtener los puntos tenéis que: -

Salvar la imagen del mapa de España en el directorio de trabajo con el nombre provincias.jpg Para mostrar la imagen y poder pinchar sobre las provincias de España podéis utilizar el siguiente código:

figure A=imread('provincias.jpg'); image(A), axis image,hold on [x,y]=ginput(5);

Tras pulsar 5 veces sobre la imagen del mapa, en los vectores x e y tenéis los datos del problema de interpolación. A continuación debéis rellenar la tabla y pintar los puntos seleccionados. Una vez fijados los puntos, hay que resolver todos los apartados con los mismos puntos. Provincias Cáceres Valladolid Madrid Albacete Valencia

Coordenada X (Km.)

Coordenada Y (Km.)

Código Matlab, vector X e Y de puntos y gráfico de los puntos Vamos a probar diferentes trazados de la carretera que deberéis implementar aplicando técnicas de interpolación y mejor aproximación, para cumplir las condiciones de cada una de las siguientes opciones de construcción: 2.a) Diseñar el trazado de la carretera (trazado 2.a) forzando a la carretera a pasar por las 5 provincias Utilizar la interpolación de Newton y la regla de Horner para evaluar el polinomio. Realizar una representación gráfica del trazado de la carretera. Indicar el grado del polinomio interpolador. Código Matlab, gráfico y grado del polinomio razonado. 2.b) Resolver el problema de interpolación anterior utilizando la fórmula de Lagrange: n p (x )  i0 Li (x ) f (xi ) Donde Li ( x ) son los elementos de la base de Lagrange y que se pueden calcular de la siguiente manera: n (x  x ) j Li ( x)  j0 ( xi  x j ) ji

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Implementar una función en Matlab que dibuje los polinomios de la base de Lagrange en el intervalo que contenga los puntos del problema de interpolación con incrementos de 0.01. Como argumento de entrada recibirá un vector con los puntos xi del problema de interpolación. Cada uno de los elementos de la base se dibujara en unos ejes independientes (subplot(n,1,k)). Código Matlab, gráfico

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Crear una nueva función basada en la del apartado anterior que permita calcular el polinomio de interpolación y su evaluación. Esta función recibirá como argumentos de entrada 3 vectores uno con los datos x i, otro don los datos y i y un tercero con los puntos donde evaluar el polinomio. Aplicar la nueva función implementada para resolver el problema de interpolación del apartado 2.a. ¿Se obtiene la misma gráfica? ¿Por qué? Código Matlab, gráfico. Respuesta razonada

2.c) Diseñar el trazado de la carretera (trazado 2.c) forzando a la carretera a pasar por las 5 provincias teniendo en cuenta que sólo se pueden utilizar polinomios de grado 2 y que el trazado debe ser continuo. Realizar una representación gráfica del trazado de la carretera resultante junto al de la carretera del apartado 2.a (trazado 2.a) Código Matlab, gráfico 2.d) Diseñar el trazado de la carretera (trazado 2.d) teniendo en cuenta que se utiliza un polinomio de grado 3 y que la carretera debe pasar lo más cercana posible a las 5 provincias en el sentido de mínimos cuadrados. Realizar una representación gráfica del trazado de la carretera resultante junto al de la carretera del apartado 2.a (trazado 2.a) Código Matlab, gráfico 2.e) Diseñar el trazado de la carretera (trazado 2.e) teniendo en cuenta que se utiliza un polinomio de grado 3 y que la carretera debe pasar obligatoriamente por Madrid y lo más cercana posible de las 4 provincias restantes en el sentido de mínimos cuadrados. Realizar una representación gráfica del trazado de la carretera resultante junto al de la carretera del apartado 2.d (trazado 2.d). Código Matlab, gráfico 2.f) Diseñar el trazado de la carretera (trazado 2.f) teniendo en cuenta que se utiliza un polinomio de grado 3 y que es el doble de importante que la carretera pase cerca (sentido mínimos cuadrados) por Madrid y Valencia que por el resto de provincias. Realizar una representación gráfica del trazado de la carretera resultante junto al de la carretera del apartado 2.d (trazado 2.d). Código Matlab y gráfico

A continuación vamos a calcular las longitudes de los distintos trazados de las carreteras que hemos calculado. Para ello vamos a suponer que la longitud de la carretera se puede aproximar por la siguiente expresión: L   ( x(i  1)  x(i )) 2  ( y (i  1)  y (i )) 2 3.a) Calcular la longitud de los trazados de carreteras: trazado 2.d (apartado 2.d), trazado 2.e (apartado 2.e y trazado 2.f (apartado 2.f). Código Matlab y longitudes

4.a) Realizar un estudio comparativo de costes de construcción de los trazados de carretera de los cuales se conoce la longitud del apartado anterior (trazados 2 d, e y f). Para ello hay que tener en cuenta además la siguiente información: -

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En caso de que la carretera diseñada no pase por los puntos de interés, habrá que construir una carretera auxiliar que conecte el punto de interés con la carretera diseñada. Estas carreteras auxiliares sólo pueden ser rectas verticales, es decir a lo largo del eje de las Y. El coste de construcción de la carretera diseñada es de 2 millones de euros por kilometro El coste de las carreteras auxiliares que hacen falta para conectar los puntos de interés con la carretera diseñada es de 0.5 millones de euros por kilometro.

¿En qué trazado se necesitan construir más kilómetros de carreteras auxiliares? ¿Por qué? ¿Cuál de los trazados es más barato? Código Matlab y cálculo de costos. Respuestas razonadas....