Interpolacion y Extrapolacion PDF

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MANUAL DE METODOLOGÍAS ANEXOS

ANEXO II. MODELOS DE INTERPOLACIÓN Y

EXTRAPOLACIÓN

ANEXO II. MODELOS DE INTERPOLACIÓN Y EXTRAPOLACIÓN

F ECHA: 03-AGO -07

I

II.1 NTERPOLACIÓN Y EXTRAPOLACIÓN LINEAL

En VALMER se aplican distintos métodos de interpolación, que principalmente se utilizan para encontrar la estructura temporal de tasas a partir de puntos concretos (nodos) obtenidos de niveles de mercado, ya sea de manera directa o indirecta. Los nodos son de la forma (t, r t) donde t es el plazo y rt es el rendimiento asociado a dicho plazo. Sin embargo, con la finalidad de exponer los métodos de interpolación de forma general, se utilizará la notación (X, Y) para cada nodo.

INTERPOLACIÓN La interpolación lineal es la forma más simple de interpolar. Consiste en construir una función lineal que tenga como extremos a los nodos conocidos. El problema principal de este tipo de interpolación es que si existen varios nodos que no pertenecen a una misma recta, el resultado es una función no derivable en cada nodo, lo que significa que no es una función “suavizada”, como se muestra, más adelante en el ejemplo 2. Si se consideran dos nodos (X 1, Y1) y (X2, Y2) y se desea encontrar el valor de Y asociado a un valor X, tal que X1 < X < X 2, como se muestra en la siguiente gráfica:

Y

X 2 , Y2

(X, Y)

X1 , Y1

X Se utiliza la equivalencia de los triángulos : Y2

Y1

Y Y1

X2

X1

X X1

Despejando la variable Y de la expresión anterior resulta:

Y

Y2 Y1 X X1 X 2 X1

Y1

INTERPOLACIÓN Y EXTRAPOLACIÓN LINEAL Página 1 de 3

ANEXO II. MODELOS DE INTERPOLACIÓN Y EXTRAPOLACIÓN

Donde el término

Y2

Y1

X2

X1

F ECHA: 03-AGO -07

indica la pendiente de la recta.

De este modo, es posible determinar el valor de Y para cualquier X mayor a X1 y menor que X2. Ejemplo 1. Interpolación con 2 nodos Supóngase que se tiene los siguientes datos: Plazo

Tasa de Interés

28

7.26 %

91

7.43 %

Y se desea obtener las tasas de interés correspondiente a los plazos 50 y 70 días. Por comodidad se trabajarán con las tasas multiplicadas por 100. La función lineal que contiene a los dos nodos conocidos está dada por:

7.43 7.26 X 28 91 28

Y

Si X = 50 entonces Y

7.43 7.26 50 28 91 28

7.26

7.3194

Si X = 70 entonces Y

7.43 7.26 70 28 91 28

7.26

7.3733

7.26

Ejemplo 2. Interpolación con 4 nodos Plazo

Tasa de interés

40

7.29 %

50

7.34 %

60

7.35 %

70

7.38 %

Como se tienen 4 nodos existen tres funciones lineales, dadas por:

INTERPOLACIÓN Y EXTRAPOLACIÓN LINEAL Página 2 de 3

ANEXO II. MODELOS DE INTERPOLACIÓN Y

F ECHA: 03-AGO -07

EXTRAPOLACIÓN

Y

7.34 7.29 X 40 50 40

7.29

Para 40 < X < 50

Y

7.35 7.34 X 50 60 50

7.34

Para 50 < X < 60

Y

7.38 7.35 X 60 70 60

7.35

Para 60 < X < 70

Obteniendo la siguiente gráfica: Tasas Y 7.40% 7.38% 7.36% 7.34% 7.32% 7.30% 7.28% 7.26% 7.24%

40

50

60

70

Plazos X

EXTRAPOLACIÓN Por otra parte, para extrapolar linealmente se utiliza la última recta generada con los datos conocidos. Por ejemplo, si se desea obtener el valor cuando X = 75 del ejercicio anterior, la extrapolación lineal es la siguiente:

Y

7.38 7.35 75 60 70 60

7.35 7.395

INTERPOLACIÓN Y EXTRAPOLACIÓN LINEAL Página 3 de 3

ANEXO II. MODELOS DE INTERPOLACIÓN Y EXTRAPOLACIÓN

F ECHA: 03-AGO -07

I

II.2. NTERPOLACIÓN CÚBICA CON ESTIMACIÓN LINEAL DE PENDIENTES El método de Interpolación cúbica con estimación lineal de pendientes consiste en la interpolación de n nodos conocidos de la forma (X 1,Y1), (X2,Y2), …, (X n,Yn), utilizando una familia de n-1 polinomios de tercer grado. De la siguiente expresión se desea encontrar el valor Yi asociado a X. Yi

Si (X)

a i (X X i ) 3 b i (X X i ) 2

i (X

X i) d i

Donde el subíndice i, indica el polinomio de tercer grado que asocia a los nodos (X i,Yi) y (Xi+1, Yi+1). Para obtener la interpolación, es necesario obtener los coeficientes ai, bi, ci y di de cada polinomio a partir de los nodos conocidos. De manera explícita la familia de los n-1 polinomios, es la siguiente:

a1 ( X X1 )3

S1 ( X) Y

S( X)

S2 ( X)

a2 (X X2 )

b1 ( X X1 )2 3

b2 (X X 2 )

c1 ( X X1 ) d1 2

Para X1

X

X2

Para X 2

X

X3

c2 (X X2 ) d 2

... Sn 1 ( X)

an 1 ( X Xn 1 )3

bn 1 (X Xn 1 )2

c n 1 (X X n 1 ) d n 1

Para X n 1

X

Xn

Se tienen 4n-4 incógnitas (los coeficientes de cada polinomio) y se establecerán 4n-4 condiciones a la curva, para contar con un sistema de ecuaciones del cual se obtengan los coeficientes de cada polinomio. Propiedades de la curva 1.-Congruencia con los nodos originales: Cada polinomio debe pasar por los nodos o puntos originales que lo generaron, por lo que: Si (X i ) Yi

Para i = 1, …, n-1

Con lo que se obtienen n-1 condiciones. 2.-Continuidad: La curva debe ser continua, por lo que se incluye la condición de que el último valor del polinomio anterior i debe ser igual al primer valor del polinomio posterior i+1. Dicha condición se expresa de la siguiente forma: Si (X i ) Si (X i )

S n (X n )

Yi

Para i = 1, …, n-2 Para i = n-1

Yn

Con lo que se obtienen n-1 condiciones.

INTERPOLACIÓN CÚBICA CON ESTIMACIÓN LINEAL DE PENDIENTES Página 1 de 7

ANEXO II. MODELOS DE INTERPOLACIÓN Y

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EXTRAPOLACIÓN

3.-La curva debe ser derivable (suavidad en la curva): Para los nodos que se encuentren dentro de los nodos extremos, la derivada evaluada con el polinomio anterior debe ser igual a la derivada evaluada con el polinomio posterior: S 'i (X i )

S 'i (X i )

Para i = 2, …, n-1

' 2 Donde la primera derivada está dada por Si (X ) 3ai (X Xi )

2bi (X Xi )

i

Con lo que se obtienen n-2 condiciones. 4.- Condiciones de Frontera: Las pendientes de la curva en los puntos extremos son definidas como la pendiente de cada recta formada por los dos primeros y últimos puntos, respectivamente.

S 1' (X 1 )

Y2

Y1

X2

X1

S'n

y

(X n )

Yn

Yn

Xn

Xn

Con lo que se tienen 2 condiciones más. 5. Estimación lineal de pendientes: Para encontrar el valor con la que se igualan las derivadas de los nodos internos, se define a la pendiente como el promedio ponderado de las pendientes de las dos rectas formadas con los nodos adyacentes, siempre y cuando cuenten con el mismo signo, en caso contrario, la pendiente será igual a cero. Para i = 2, …, n-1, el valor se obtiene a partir de:

1 mi 3

1,i

2 m i,i 3

1

Para m i

1,i

* m i,i

1

Para m i

1,i

* m i,i

1

0

Si' 1 (X i ) 0

0

Donde: m i ,i

Yi Xi

Yi Xi

Con lo que se obtienen n-2 condiciones. Con las cinco propiedades anteriores se forma un sistema de 4n-4 ecuaciones y 4n-4 incógnitas, por lo que es posible encontrar los coeficientes de cada polinomio.

INTERPOLACIÓN CÚBICA CON ESTIMACIÓN LINEAL DE PENDIENTES Página 2 de 7

ANEXO II. MODELOS DE INTERPOLACIÓN Y

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EXTRAPOLACIÓN

Para ilustrar de forma general las propiedades antes descritas, se ejemplificará el sistema de ecuaciones con tres puntos o nodos originales, lo cual genera un sistema de 8 ecuaciones con 8 incógnitas, dicho sistema sería de la siguiente forma:

Primera propiedad, S i ( X i )

Yi 3

2

3

2

1ª ecuación: S1(X1) = a1(X1-X1) + b1(X1-X1) + c1(X1-X1) + d1 = d1 = Y1 2ª ecuación: S2(X2) = a2(X2-X2) + b2(X2-X2) + c2(X2-X2) + d2 = d2 = Y2 Segunda propiedad, S i (X i )

Yi

3

2

3

2

3ª ecuación: S1(X2) = a1(X2-X1) + b1(X2-X1) + c1(X2-X1) + d1 = Y2 4ª ecuación: S2(X3) = a2(X3-X2) + b2(X3-X2) + c2(X3-X 2) + d2 = Y3 '

Tercera propiedad, Si

(X i )

'

Si (X i )

Al ser tres nodos, solamente se tiene un nodo interior, en el que la derivada del polinomio anterior y el posterior deben ser iguales. ' ' 5ª ecuación: S1 (X 2 ) = S2 ( X 2 )

Es decir, 2

3a1(X2-X1) + 2b1(X2-X1)+c1 = c2 Cuarta propiedad, condiciones de frontera 6ª ecuación: S'1 ( X 1 )

3a 1 (X 1 X 1 ) 2

7ª ecuación: S'2 ( X 3 )

3a 2 ( X 3 X 2 ) 2

2b 1 ( X 1 X 1 )

1

2b 2(X 3 X 2 )

c1

2

Y 2 Y1 X 2 X1 Y3 Y 2 X3 X 2

Quinta propiedad, estimación lineal de pendientes 2 ' 8ª ecuación: S1 (X 2 ) = 3a1(X2-X1) + 2b1(X2-X1)+c1 =

1 Y2 3 X2

Y1 X1

2 3

Y3 X3

Y2 X2

El sistema de ecuaciones se puede expresar de manera matricial de la siguiente forma:

INTERPOLACIÓN CÚBICA CON ESTIMACIÓN LINEAL DE PENDIENTES Página 3 de 7

ANEXO II. MODELOS DE INTERPOLACIÓN Y

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EXTRAPOLACIÓN

0 0 X1 ) 3 0 3(X2 X1 ) 2 0 0 3(X2 X1 ) 2 (X 2

0 0 0 0 (X 2 X1 )2 X 2 X 1 0 0 2(X 2 X 1 ) 1 0 1 0 0 2(X 2 X 1 ) 1

1 0 1 0 ( X3 0 0 0 3( X3 0

0 0 0 X2 )3 0 0 X2 ) 2 0

0 0 0 0 0 0 (X 3 X 2 )2 X 3 X 2 0 1 0 0 2(X 3 X 2 ) 1 0 0

0 1 0 1 0 0 0 0

a1 b1 c1 d1 a2 b2 c2 d2

Y1 Y2 Y2 Y3 0 ' S1 (X1 ) S'2 (X 3 ) S'1 (X 2 )

Donde: S '1(X 1 ) S '2 ( X 3 )

S'1 ( X2 )

Y2

Y1

X2

X1

Y3 Y 2 X3 X2

1 Y2 3 X2

Y1 X1

2 Y3 3 X3

Y2 X2

Una vez que se cuente con este sistema de ecuaciones de la forma Ax = b es posible utilizar algún método matemático para encontrar su solución, por ejemplo, utilizar descomposición triangular, matrices inversas, etc. Al resolver el sistema de ecuaciones anterior se determinan los coeficientes de los dos polinomios y por ende la curva completa. Ejemplo 1. Interpolación con 3 nodos. Se tienen los siguientes nodos:

Plazo

Tasa de interés

1

7.00

7

7.50

28

8.00

En esta tabla se tienen 3 nodos, por lo que es necesario construir dos polinomios de grado 3, lo que implica encontrar los 8 coeficientes de los polinomios. Por comodidad se trabajarán con las tasas multiplicadas por 100. Por lo tanto las 8 ecuaciones expresadas de manera matricial son:

INTERPOLACIÓN CÚBICA CON ESTIMACIÓN LINEAL DE PENDIENTES Página 4 de 7

ANEXO II. MODELOS DE INTERPOLACIÓN Y EXTRAPOLACIÓN

0 1 0 0

0 0

0 0

0 0

0 a1 1 b1

7 7.5

216 36 6 1

0

0

0

0 c1

7.5

0 0 0

0 0 0

0 0 9261 441 21 1 d 1

8

1 0 a2

0

108 12 1 0

0

0

0

1 0

0

0

0 0 1323

108 12 1 0

0 0

0 0

0

0 b2

0.08333

42

1

0 c2

0.02381

0

0

0 d2

0.04365

F ECHA: 03-AGO -07

Al resolver el sistema utilizando la matriz inversa, se obtiene el vector solución de coeficientes de los polinomios:

Coeficientes del primer polinomio

Coeficientes del segundo polinomio

a1 =

-0.001102

a2 =

0.000045

b1 =

0.006614

b2 =

-0.001890

c1 =

0.083333

c2 =

0.043651

d1 =

7

d2 =

7.5

Por lo tanto, los polinomios son: 3

2

S1(X) = -0.001102 (X-1) + 0.006614 (X-1) + 0.083333 (X-1) + 7 3

2

S2(X) = 0.000045 (X-7) – 0.001890(X-7) + 0.043651(X-7) + 7.5

Gráficamente, los polinomios generan la siguiente curva:

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ANEXO II. MODELOS DE INTERPOLACIÓN Y

F ECHA: 03-AGO -07

EXTRAPOLACIÓN

Tasas Y

8.10% 7.90% 7.70% 7.50% 7.30% 7.10% 6.90%

1

3

5

7

9

11

13

15

17

19

21

23

25

27

Plazos X

Ejemplo 2. Interpolación con 5 nodos. Se tienen los siguientes nodos:

Plazo

Tasa de interés

1

5.00

28

5.80

180 300

6.50 9.00

360

10.00

Estos nodos están dispuestos de manera que la curva es un poco más accidentada que la anterior. Estos nodos generan 4 polinomios de tercer grado (cuatro coeficientes cada uno) por lo que se debe construir una matriz de 16X16. La construcción de dicha matriz es análoga a la anterior por lo que sólo se mencionarán los resultados obtenidos, los cuales son los siguientes:

INTERPOLACIÓN CÚBICA CON ESTIMACIÓN LINEAL DE PENDIENTES Página 6 de 7

ANEXO II. MODELOS DE INTERPOLACIÓN Y

F ECHA: 03-AGO -07

EXTRAPOLACIÓN

ai

S1(X)

S2(X)

S3(X)

S4(X)

-0.000023

0.000001

-0.000001

0.000000

0.000618

-0.000181

0.000113

-0.000046

0.029630

0.012947

0.015424

0.018056

5.000000

5.800000

6.500000

9.000000

bi ci di

Por lo que la gráfica de interpolación es:

Tasas Y 12.00%

10.00%

8.00%

6.00%

4.00%

2.00% 0.00% 1

30

60

90

120

150

180

210

240

270

300

330

360

INTERPOLACIÓN CÚBICA CON ESTIMACIÓN LINEAL DE PENDIENTES Página 7 de 7

Plazos X

ANEXO II. MODELOS DE INTERPOLACIÓN Y EXTRAPOLACIÓN

F ECHA: 03-AGO -07

I

II.3. NTERPOLACIÓN POR CUBIC SPLINES

El modelo de Interpolación Cubic Spline o Trazadores Cúbicos, es similar al modelo de interpolación cúbica con estimación lineal de pendientes, la única diferencia es que en este caso se asumen propiedades con la segunda derivada. Se cuenta con la información de n nodos conocidos, de la forma (X 1,Y1), (X 2,Y2), …, (Xn,Yn), utilizando una familia de n-1 polinomios de tercer grado. De la siguiente expresión se desea encontrar los coeficientes ai, bi, ci y di, para i = 1,…,n-1. Yi

Si ( X)

a i (X X i ) 3 b i (X X i ) 2

i (X

X i) d i

Donde el subíndice i, indica el polinomio de tercer grado que asocia a los nodos (X i,Yi) y (Xi+1, Yi+1). De manera explícita la familia de los n-1 polinomios, es la siguiente:

S1 (X) Y

S( X)

S2 ( X)

3

2

a1 (X X1 )

b1 ( X X1 ) 3

a2 ( X X2 )

b2 ( X X 2 )

c1 ( X X1 ) d1 2

c2 (X X2 ) d 2

Para X1

X

X2

Para

X

X3

X2

... Sn 1 ( X)

an 1 ( X Xn 1 )3

bn 1 (X Xn 1 )2

c n 1 (X X n 1 ) d n 1

Para X n 1

X

Xn

Se tienen 4n-4 incógnitas (los coeficientes de cada polinomio), por lo que se establecerán 4n-4 ecuaciones, tales que reflejen las siguientes propiedades: 1.-Congruencia con los nodos originales. Cada polinomio debe pasar por los nodos o puntos originales, por lo que: Si (X i )

Para i = 1, …, n-1

Yi

Con lo que se obtienen n-1 condiciones. 2.-Continuidad. La curva debe ser continua, por lo que se incluye la condición de que el último valor del polinomio anterior i debe ser igual al primer valor del polinomio posterior i+1. Dicha condición se expresa de la siguiente forma: Si (X i ) Si (X i )

S n (X n )

Yi

Para i = 1, …, n-2 Para i = n-1

Yn

Con lo que se obtienen n- 1 condiciones.

INTERPOLACIÓN POR CUBIC SPLINES Página 1 de 6

ANEXO II. MODELOS DE INTERPOLACIÓN Y

F ECHA: 03-AGO -07

EXTRAPOLACIÓN

3.- La curva debe ser derivable (suavidad en la curva). Para los nodos que se encuentren dentro de los nodos extremos, la derivada evaluada con el polinomio anterior debe ser igual a la derivada evaluada con el polinomio posterior, por lo que se tienen n-2 condiciones dadas por:

Si' ( X i ) S 'i (X i )

Para i = 2, …, n-1

La primera derivada es: S'i (X )

3ai (X Xi ) 2

2b i (X X i )

i

Con lo que se obtienen n-2 condiciones. 4.- Segunda derivada de la función. De la misma forma que en la primera derivada, en los nodos que se encuentren dentro de los nodos extremos, la segunda derivada evaluada con el polinomio anterior debe ser igual a la segunda derivada evaluada con el polinomio posterior, por lo que se tienen n-2 condiciones dadas por:

Si'' (X i ) S 'i' (X i )

Para i = 2, …, n-1

La segunda derivada es:

S'i' (X)

6a i (X X i ) 2b i

Con lo que se obtienen n-2 condiciones. 5. Condiciones de Frontera. Para contar con las dos últimas ecuaciones necesarias para obtener los coeficientes de cada polinomio, se debe utilizar cualquiera de las siguientes condiciones de frontera: (i) S'1' (X1 ) Sn'' ( X n ) (ii) S'1 (X1 )

'

0

Frontera libre o natural

S'n (Xn )

( X 1) y

'

(X n )

Frontera sujeta

En Valmer, se utiliza la segunda opción y los valores de las condiciones de frontera, están dados por: S'1 ( X1 )

Y 2 Y1 X 2 X1