INTERPOLACION POLINOMIAL Y AJUSTE DE CURVAS, INTEGRACIÓN NUMÉRICA Y SOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS. PDF

Preview

Summary

taller...

Description

ANALISIS NUMERICO TALLER 3. Tema: INTERPOLACION POLINOMIAL Y AJUSTE DE CURVAS, INTEGRACIÓN NUMÉRICA Y SOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS.

GRUP O

ESTUDIANTES

PTOS ASIGNADOS DEL TALLER 3 a. b.

c. d.

EJERCICIO 1: Dados los datos y la tabla, presente explícitamente: Ecuaciones normales para un ajuste lineal, cuadrático y exponencial. Código en Matlab para realizar los ajustes correspondientes, con sus coeficientes de correlación y la selección del mejor ajuste. Aplique el código y presente la ejecución completa, visualizando resultados intermedios importantes (Tabla de datos). Graficas correspondientes, en Matlab: la data original y las curvas de ajuste, en un mismo plano. De una conclusión óptima. Texto: Análisis Numérico (Richard Burden 7 ed.) Capitulo: 8Tema: 8.1Página: 494Punto: 5Inciso: tome solo la tabla y datos del texto, y aplique lo indicado acá arriba en: a, b, c. de este ejercicio.

EJERCICIO 2: Presente explícitamente: a. Determine los valores de n y h que se requieren para aproximar la integral dada,usando la RCS y la RCT con una exactitud de −4

10 .

1

SOTO SUAREZ ANDRES A. PAREDES MANJARRES JAIME A. (Ingeniería sistema)

b. Aplique manualmentela RCT y la RCS para hallar la solución con n=4, y estime el error de la aproximación. c. Ejecute el guión o programa en Matlab del método de la RCS y la RCT para hallar la solución con el n hallado en el inciso a.y para n=4,con una tolerancia de 10−4 .Presente visualización completa de los resultados del programa aplicado. d. Aplique Matlab directamente y encuentre la solución exacta y compare el resultadocon los hallados en b. y c. e. Texto: Análisis Numérico (Richard Burden 7 ed.) Capitulo: 4Tema: 4.4Página: 204Punto: 7Inciso: tome solo la integral del texto, y aplique lo indicado acá arriba en: a, b, c, d. de este ejercicio.

a. b. c. d. e.

EJERCICIO 3: Dada la ecuación diferencial ordinaria de primer orden, presenteexplícitamente: Discretización del dominio de trabajo con el valor de h dado. Adecuación de las ecuaciones para aplicar el método de RungeKutta de cuarto orden clásico. Ejecute el códigoen Matlab del método de Runge-Kutta de cuarto orden clásico, para resolver el PVI. Presente visualización completa de los resultadosdel programa aplicado. En Matlab, muestre en un mismo plano la gráfica correspondiente a la solución numérica y a la solución exacta respectivamente. Texto: Análisis Numérico (Richard Burden 7 ed.) Capitulo: 5 Tema: 5.4Página: 281Punto: 10Inciso: (d).

EJERCICIO 1: Dados los datos y la tabla, presente explícitamente: f. Ecuaciones normales para un ajuste lineal, cuadrático y exponencial. g. Código en Matlab para realizar los ajustes correspondientes, con sus coeficientes de correlación y la selección del mejor ajuste. Aplique el código y presente la ejecución completa, visualizando resultados intermedios importantes (Tabla de datos). h. Graficas correspondientes, en Matlab: la data original y las curvas de ajuste, en un mismo plano. De una conclusión

i.

óptima. Texto: Análisis Numérico (Richard Burden 7 ed.) Capitulo: 8Tema: 8.1Página: 494Punto: 5Inciso: tome solo la tabla y datos del texto, y aplique lo indicado acá arriba en: a, b, c. de este ejercicio.

4.0 102.56

xi yi

4.2 113.18

4.5 130.11

4.7 142.05

5.1 167.53

5.5 195.14

5.9 224.87

6.3 256.73

a. Construya el polinomio de minimos cuadrados de primer grado y calcule el error. xi yi xi2 4.0 102.56 16 4.2 113.18 17.64 4.5 130.11 20.25 4.7 142.05 22.09 5.1 167.53 26.01 5.5 195.14 30.25 5.9 224.87 34.81 6.3 256.73 39.69 6.8 299.50 46.24 7.1 326.72 50.41 54.1 1958.4 303.39

6.8 299.50

7.1 326.72

xiyi 410.24 475.36 585.5 667.64 854.4 1073.3 1326.7 1617.4 2036.6 2319.7 11367

a1 54.1+ 10 a0=1958.4 a1 303.39+54.1 a0=11367

a1=72.094 a0 =−194.19 y =72.094 x −194.19 n yi y´ i=∑ =195.84 i=1 n xi

yi

4.0 4.2 4.5 4.7 5.1 5.5 5.9 6.3 6.8 7.1 54.1

102.56 113.18 130.11 142.05 167.53 195.14 224.87 256.73 299.50 326.72 1958.4

S t =( y i − y´ i)

2

8701 6832.5 4320.3 2893.3 801.4 0.4886 842.8 3707.7 10746 17130 55975

P(x)=72.094 x−194.19 94.186 108.6 130.23 144.65 173.49 202.33 231.16 260 296.05 317.68 n

E=∑ ( y i−P ( x )) =329.01 2

i=1

r 2=

s 0−s 1 s0

r 2=

55975−329.01 329.01

2

r =0.994122 r=0.9970568 a. Construya el polinomio de minimos cuadrados de segundo grado y calcule el error. xi 4.0 4.2 4.5 4.7 5.1 5.5 5.9 6.3 6.8 7.1 54.1

yi 102.56 113.18 130.11 142.05 167.53 195.14 224.87 256.73 299.50 326.72 1958.4

xi2 16 17.64 20.25 22.09 26.01 30.25 34.81 39.69 46.24 50.41 303.39

xi3 64 74.088 91.125 103.82 132.65 166.38 205.38 250.05 314.43 357.91 1759.8

xi4 256 311.17 410.06 487.97 676.52 915.06 1211.7 1575.3 2138.1 2541.2 10523

xiyi 410.24 475.36 585.5 667.64 854.4 1073.3 1326.7 1617.4 2036.6 2319.7 11367

xi2 yi 1641 1996.5 2634.7 3137.9 4357.9 5903 7827.7 10190 13849 16470 68007

10 a0 +54.1 a1 +303.39 a2=1958.4 54.1 a0 + 303.39 a1 + 1759.8 a2=11367 303.39 a0 +1759.8 a1 +10523 a2=68007 a2=6.2927 a1=2.4856 a0 =−8.5224 y =6.2927 x 2 +2.4856 x −8.5224 n yi y´ i=∑ =195.84 i=1 n 2 xi yi S t =( y i − y´ i) 4.0 4.2 4.5 4.7 5.1 5.5 5.9 6.3 6.8 7.1 54.1

102.56 113.18 130.11 142.05 167.53 195.14 224.87 256.73 299.50 326.72 1958.4

8701 6832.5 4320.3 2893.3 801.4 0.4886 842.8 3707.7 10746 17130 55975

P(x )=6.2927 x2 +2.4856 x −8.522 102.1 112.92 130.09 142.17 167.83 195.5 225.19 256.89 299.35 326.34 n

E=∑ ( y i−P ( x ))2 =0.80543 i=1

r=

s 0−s 1 s0

r 2=

55975−0.80543 329.01

2

r 2=0.99999 r=0.99999 Construya el polinomio de mínimos cuadrados de tercer grado y calcule el error. xi 4.0 4.2 4.5 4.7 5.1 5.5 5.9 6.3 6.8 7.1 54.1

yi 102.56 113.18 130.11 142.05 167.53 195.14 224.87 256.73 299.50 326.72 1958.4

xi 2 16 17.64 20.25 22.09 26.01 30.25 34.81 39.69 46.24 50.41 303.39

xi3 64 74.088 91.125 103.82 132.65 166.38 205.38 250.05 314.43 357.91 1759.8

xi 4 256 311.17 410.06 487.97 676.52 915.06 1211.7 1575.3 2138.1 2541.2 10523

xi5 10.24 1306.9 1845.3 2293.5 3450.3 5032.8 7149.2 9924.4 14539 18042 64608

xi6 4096 5489 8303.8 10779 17596 27681 42181 62524 98867 128100 495620

xi y i 410.24 475.36 585.5 667.64 854.4 1073.3 1326.7 1617.4 2036.6 2319.7 11367

xi 2 y i 1641 1996.5 2634.7 3137.9 4357.9 5903 7827.7 10190 13849 16470 68007

xi 3 y i 6563.8 8385.3 11856 14748 22223 32466 46184 64195 94172 116940 417730

10 a0 +54.1 a1 + 303.39 a2 + 1759.8 a3=1953.4 54.1 a0 +303.39 a1 +1759.8 a2 +10523 a3=11367 303.39 a0 + 1759.8 a1 + 10523 a2 + 64608 a3 =68007 1759.8 a0 +10523 a1 +64608 a2 + 405620 a3=417730 a0 =−37.692 a1=19.822 a2=2.9369 a3 =0.21136 3 2 0.21136 x 2.9369 x 19.822 x−37.692 n y y´ i=∑ i =195.84 i=1 n 2 xi yi S t =( y i − y´ i) 4.0 4.2 4.5 4.7 5.1 5.5 5.9 6.3 6.8 7.1 54.1

102.56 113.18 130.11 142.05 167.53 195.14 224.87 256.73 299.50 326.72 1958.4

8701 6832.5 4320.3 2893.3 801.4 0.4886 842.8 3707.7 10746 17130 55975

P ( x ) =0.21136 x 2.9369 x 19.822 x− 3

102.11 113.03 130.24 142.29 167.85 195.34 224.9 259.6 299.36 326.74 n

E=∑ ( y i−P ( x ) )2 =0.46168 i=1

2

r=

s 0−s 1 s0

r 2=

55975−0.46168 329.01

2

r 2=0.99999 r=1

>> x=[4.0; 4.2; 4.5; 4.7; 5.1; 5.5; 5.9; 6.3; 6.8; 7.1] x= 4 4.2 4.5 4.7 5.1 5.5 5.9 6.3 6.8 7.1 >> y=[102.56; 113.18; 130.11; 142.05; 167.53; 195.14; 224.87; 256.73; 299.50; 326.72] y= 102.56 113.18 130.11 142.05 167.53 195.14 224.87 256.73 299.5 326.72 >> xi=sum(x) xi = 54.1 >> yi=sum(y) yi = 1958.4 >> x1=x.^2 x1 = 16 17.64 20.25 22.09

26.01 30.25 34.81 39.69 46.24 50.41 >> x2=sum(x1) x2 = 303.39 >> xiyi=x.*y xiyi = 410.24 475.36 585.5 667.64 854.4 1073.3 1326.7 1617.4 2036.6 2319.7 >> x3=sum(xiyi) x3 = 11367 >> >> A=[54.1 10; 303.39 54.1;]; >> B=[1958.4; 11367;]; >> x=linsolve(A,B) x= 72.094 -194.19 >> >> x=[4.0; 4.2; 4.5; 4.7; 5.1; 5.5; 5.9; 6.3; 6.8; 7.1]; >> y=[102.56; 113.18; 130.11; 142.05; 167.53; 195.14; 224.87; 256.73; 299.50; 326.72]; >> plot(x,y,'o') >> plot(x,y,'o') >> x1=4:0.01:7.5; >> y1=72.094.*x1-194.19; >> plot(x1,y1,'r-')

Grafica 1: Polinomios cuadrados de primer orden. >> y=[102.56; 113.18; 130.11; 142.05; 167.53; 195.14; 224.87; 256.73; 299.50; 326.72]; >> mean(y) ans = 195.84 >> y=[102.56; 113.18; 130.11; 142.05; 167.53; 195.14; 224.87; 256.73; 299.50; 326.72]; >> mean(y) ans = 195.84 >> x=[4.0; 4.2; 4.5; 4.7; 5.1; 5.5; 5.9; 6.3; 6.8; 7.1]; >> st=(y-mean(y)).^2 st = 8701 6832.5 4320.3 2893.3 801.4 0.4886 842.8 3707.7 10746 17130 >> s=sum(st) s= 55975 >> y1=72.094.*x-194.19 y1 =

94.186 108.6 130.23 144.65 173.49 202.33 231.16 260 296.05 317.68 >> my1=mean(y1) my1 = 195.84 >> sr=(y-y1).^2 sr = 70.124 20.932 0.015129 6.7694 35.514 51.653 39.622 10.707 11.908 81.769 >> s1=sum(sr) s1 = 329.01 >> r=st-sr r= 8630.8 6811.6 4320.3 2886.5 765.89 -51.164 803.18 3697 10734 17048 >> r1=s-s1 r1 = 55646 >> R=r1/s

R= 0.99412 >> RR=sqrt(R) RR = 0.99706 >>

Grafica 2: Polinomios cuadrados de primer(rojo) y segundo(azul) orden.

Grafica 3: Polinomios Cuadrados de tercer orden

Grafica 4: Polinomios de primer(rojo), segundo(azul) y tercer(mangenta) orden

Grafica 4: Grafica ampliada de los polinomios de primer(rojo), segundo(azul) y tercer(mangenta) orden

e. f. g.

h. j.

EJERCICIO 2: Presente explícitamente: Determine los valores de n y h que se requieren para aproximar la integral dada,usando la RCS y la RCT con una exactitud de 10−4 . Aplique manualmente la RCT y la RCS para hallar la solución con n=4, y estime el error de la aproximación. Ejecute el guión o programa en Matlab del método de la RCS y la RCT para hallar la solución con el n hallado en el inciso a.y para n=4,con una tolerancia de 10−4 .Presente visualización completa de los resultados del programa aplicado. Aplique Matlab directamente y encuentre la solución exacta y compare el resultadocon los hallados en b. y c. Texto: Análisis Numérico (Richard Burden 7 ed.) Capitulo: 4Tema: 4.4Página: 204Punto: 7Inciso: tome solo la integral del texto, y aplique lo indicado acá arriba en: a, b, c, d. de este ejercicio.

Regla compuesta de Simpson (RCS)

2 b−a 2− 0 = h= n n n −b −a 4 h Max|f ( 4 ) ( μ)| 180 (4 ) 2x 2x f ( x ) =e2 x sen 3 x f ( x ) =−120 cos ( 3 x ) e −119 sen(3 x)e h=

|

|

b −a |−180 |h Max|−120 cos ( 3 x ) e 4

2x

−119 sen(3 x )e2 x|

Max|−120 cos ( 3 μ ) e −119 sen(3 μ)e |=2845 2 4 24 16 h4 =( ) = 4 = 4 n n n −2−0 16 (2845) 180 n4 32 91040 2∗16 ( 2845) ≤10−4 = ( 2845 ) ≤10−4 = ≤10−4 4 4 4 180 n 180 n 180 n 91040 4 =5057777.778 n= −4 180∗10 2μ

|

|

2μ

;

0≤μ≤2

n=√4 5057777=47.423 ≅ 48 2 2 n=48 ; h= ⟹ n=48; h= 48 n n=48 ; h=0.04167 Regla compuesta del trapecio (RCT)

2 b−a 2− 0 = h= n n n −b −a 2 h Max|f '' ( μ )| 12

h=

|

|

2x '' 2x 2x f ( x ) =e sen 3 x f ( x ) =12cos ( 3 x ) e −5 sen (3 x) e −b −a 4 2x 2x h Max|12cos ( 3 x ) e −5 sen (3 x ) e | 180

|

|

Max|12cos (3 μ ) e 2 μ−5 sen (3 μ) e2 μ|=705.4 2 22 4 2 h2=( ) = 2 = 2 n n n −2−0 4 (705.4 ) 180 n2 8 5643.2 2∗4 −4 −4 ≤ 10− 4 (705.4 ) ≤ 10 = ( 705.4) ≤10 = 2 2 2 12 n 12 n 12 n 5643.2 2 n= =4702666.667 12∗10−4 n=√2 4702666=2168.563 ≅ 2169 2 2 n=2169 ; h = ⟹ n=2169 ; h = 2169 n

|

|

;

0≤μ≤2

n=2169; h=0.000922 Aplicación manual de los métodos con n=4 y estimar el error de aproximación Regla compuesta de Simpson (RCS)

b−a 2− 0 2 = h= ; n=4 n n n h=0.5 ; n=4 x 0=0 x 1=0+0.5 =0.5 x 4=1.5+ 0.5=2 h=

2 h= =0.5 4 x 2=0.5+0.5=1

x 3=1+0.5=1.5

2

∫ e2 x sen 3 x dx≅ b−a [ f ( a ) +4 f ( x 1) +2 f ( x2) + 4 f ( x3 )+f ( b ) ] 3∗n 0 2

[ f ( 0) +4 f (0.5 ) +2 f ( 1) +4 f (1.5 ) + f ( 2) ] ∫ e2 x sen3 x dx ≅ 2−0 3∗4 0 2

∫ e2 x sen3 x dx ≅ 122 [0 +4 ( 2.7115 ) +2 (1.0427 ) +4 (−19.6342) + f ( −15.2556) ] 0 2

∫ e2 x sen3 x dx ≅ 0.1667 [0+10.846 +2.0854 −78.5368−15.2556 ] 0 2

∫ e2 x sen3 x dx ≅−13.480 0

Calculemos el error Valor aproximado: 2

∫ e2 x sen3 x dx ≅−13.480 0

Valor real: 2

∫ e2 x sen3 x dx=−14.2140 0

Et =¿ −14.2140− (−13.480 ) ∨¿∨−14.2140+ 13.480∨¿ Et =|−0.7340|=0.7340 −14.2140−(−13.480 ) ∗100 %=5.16 % εt = −14.2140 −(b −a )5 4 Ea = f (ξ ) 180 n4 b

∫ f4

2

∫ (−120 cos (3 x )∗e2 x −119 sin (3 x)∗e 2 x )

f (ξ)= a = 2−0 b−a 5 5 − ( 2−0 ) 4 −2 ( 582.2839 ) =0.4044 Ea = f = 4 180∗256 180 ¿ 4 4

0

=

1164.5679 =582.2839 2

Regla compuesta del trapecio (RCT)

2 b−a 2− 0 = h= ;n=4 n n n h=0.5 ; n=4 x 0=0 x 1=0+0.5 =0.5 x 4=1.5+ 0.5=2 h=

2 h= =0.5 4 x 2=0.5+0.5=1

x 3=1+0.5=1.5

2

∫ e 2 x sen3 x dx ≅ b−a [ f ( a ) +2 f (x 1 ) + 2 f ( x2) +2 f ( x 3 ) + f ( b) ] 2∗n 0 2

[ f ( 0) +2 f ( 0.5) +2 f ( 1) +2 f ( 1.5) + f ( 2) ] ∫ e2 x sen3 x dx ≅ 2−0 2∗4 0 2

∫ e2 x sen3 x dx ≅ 28 [ 0+2 (2.7115 ) +2 (1.0427 )+2 (−19.6342 ) +f ( −15.2556) ] 0 2

∫ e 2 x sen3 x dx ≅ 0.25 [0+ 5.423+ 2.0854 −39.2684−15.2556 ] 0 2

∫ e2 x sen3 x dx ≅−11.7539 0

Calculemos el error Valor aproximado: 2

∫ e2 x sen3 x dx ≅−11.7539 0

Valor real: 2

∫ e2 x sen3 x dx=−14.2140 0

Et =¿ −14.2140− (−11.7539 ) ∨¿∨−14.2140+11.7539∨¿ Et =|−2.4601 |=2.4601 −14.2140−(−11.7539 ) ∗100 %=17.31 % εt = −14.2140 − ( b−a )3 ' ' Ea = f (ξ ) 2 12n b

2

∫ f ' ' ∫ (12∗cos (3 x )¿ e 2 x −5 sin (3 x )∗e 2 x ) f ' ' (ξ)=

a

b−a

=

0

2−0

=

123.7594 =61.8797 2

3

Ea =

− ( 2−0 ) ' ' −23 ( 61.8797 )=2.5783 f = 12∗16 12 ¿ 4 2

Ejecución de los códigos en Matlab para los métodos con el n hallado y el n=4 Regla compuesta de Simpson (RCS) Para n=4

Para n=48

Regla compuesta del trapecio (RCT) Para n=4

Para n=2169 Hallamos la solución exacta y comparamos con los n calculados y los n=4 Regla compuesta de Simpson (RCS) n h 4 0.5 48 0.0417 Valor exacto

Resultado -13.47684 -14.21395 -14.21397

Regla compuesta de Trapecio (RCT) n 4 2169

EJERCICIO 3: Dada la ecuación diferencial ordinaria de primer orden, presenteexplícitamente: f. Discretización del dominio de trabajo con el valor de h dado. g. Adecuación de las ecuaciones para aplicar el método de Runge-Kutta de cuarto orden clásico. h. Ejecute el códigoen Matlab del método de Runge-Kutta de cuarto orden clásico, para resolver el PVI. Presente visualización completa de los resultadosdel programa aplicado. i. En Matlab, muestre en un mismo plano la gráfica correspondiente a la solución numérica y a la solución exacta respectivamente. j. Texto: Análisis Numérico (Richard Burden 7 ed.) Capitulo: 5 Tema: 5.4Página: 281Punto: 10Inciso: (d).

Solucion Parte 1: Discretizacion del domino. (0,1) h=0.25, el número de subdivisiones n es:

n=

t f −t 0 1− 0 1 = = =4 0.25 0.25 h

ti = t0 + ih t0 = 0 t1 = 0 + (1)(0.25) = 0.25 t2 = 0 + (2)(0.25) = 0.5 t3 = 0 + (3)(0.25) = 0.75 t4 = 0 + (4)(0.25) = 1 Parte 2: Adecuación de las ecuaciones

dy =cos 2 t+sin 3 t → f ( t , y )= cos 2 t+sin 3 t dt 2t i +¿ sin 3 ti k 1=f ( t i , y i )=cos ¿ 1 1 1 1 k 2=f t i + h , yi+ k 1 h =cos 2t i + h+sin 3 ti + h 2 2 2 2

(

)

(

)

1 1 1 1 k 3=f ti + h , yi+ k 2 h =cos 2 t i + h+sin 3 t i+ h 2 2 2 2 k 4=f ( ti +h , yi +k 3 h ) =cos 2 ti +h+sin 3 t i+h Parte 3: Cálculos y organización de los resultados: Para i=0, t0=0 y y0=1 k1=1 k2=1.25 k3=1.25 k4=1.5

h y 1= y 0 + ( k 1+ 2 k 2+ 2 k 3+ k 4) 6 y 1=1.3125 Entonces y1 es la proximacion en t=t1 => t1=t0+h = 0+0.25 = 0.25  y1=y(0.25)=1.3125 Para i=1, t1=0.25 y y1=1.3125 k1=1.5592

k2=1.8092 k3=1.8092 k4=2.0592

h y 2= y 1 + ( k 1+2k 2+2 k 3 + k 4) 6 y 2=1.7648 Entonces y2 es la proximacion en t=t2 => t1=t0+h = 0.25+0.25 = 0.5  y2=y(0.5)=1.7648 Para i=2, t2=0.5 y y2=1.7648 k1=1.5378 k2=1.7878 k3=1.7878 k4=2.0378

h y 3= y 2 + ( k 1+2 k 2+2k 3+ k 4) 6 y 3=2.2117 Entonces y3 es la proximacion en t=t3 => t1=t0+h = 0.5+0.25 = 0.75  y3=y(0.5)=2.2117 Para i=1, t3=0.75 y y3=2.2117 k1=0.84881 k2=1.0988 k3=1.0988 k4=1.3488

h y 4 = y 3+ ( k 1 +2 k 2 +2 k 3 +k 4 ) 6 y 4 =2.4864 Entonces y4 es la proximacion en t=t4 => t1=t0+h = 0.75+0.25 = 1  y4=y(1)=2.4864

k

Tamaño(hk)

Yk(Numerico)

Yk(exacto)

0 1 2 3 4

0.0 0.25 0.5 0.75 1

1.0000 1.3125 1.7648 2.2117 2.4864

1.0000 1.3125 1.7648053 2.2117546 2.4864572

>> syms x y h >> x=0; >> y=1; >> h=0.25; >> k1=cos(2*x)+sin(3*x) k1 = 1 >> k2=(cos(2*x)+(0.5*h))+(sin(3*x)+(0.5*h))

(yk(exacto) – yk(num) 0.0000 0.0000 0.0000053 0.0000546 0.0000572

Ρynum|% 0.00 0.00 0.00053 0.00546 0.00572

k2 = 1.25 >> k3=(cos(2*x)+(0.5*h))+(sin(3*x)+(0.5*h)) k3 = 1.25 >> k4=(cos(2*x)+h)+(sin(3*x)+h) k4 = 1.5 >> y1=y+((h/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4)) y1 = 1.3125 >> >> syms x y h >> x=0.25; >> y=1.3125; >> h=0.25; >> k1=cos(2*x)+sin(3*x) k1 = 1.5592 >> k2=(cos(2*x)+(0.5*h))+(sin(3*x)+(0.5*h)) k2 = 1.8092 >> k3=(cos(2*x)+(0.5*h))+(sin(3*x)+(0.5*h)) k3 = 1.8092 >> k4=(cos(2*x)+h)+(sin(3*x)+h) k4 = 2.0592 >> y2=y+((h/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4)) y2 = 1.7648 >> >> syms x y h >> x=0.5; >> y=1.7648; >> h=0.25;

>> k1=cos(2*x)+sin(3*x) k1 = 1.5378 >> k2=(cos(2*x)+(0.5*h))+(sin(3*x)+(0.5*h)) k2 = 1.7878 >> k3=(cos(2*x)+(0.5*h))+(sin(3*x)+(0.5*h)) k3 = 1.7878 >> k4=(cos(2*x)+h)+(sin(3*x)+h) k4 = 2.0378 >> y3=y+((h/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4)) y3 = 2.2117 >> >> syms x y h >> x=0.75; >> y=2.2117; >> h=0.25; >> k1=cos(2*x)+sin(3*x) k1 = 0.84881 >> k2=(cos(2*x)+(0.5*h))+(sin(3*x)+(0.5*h)) k2 = 1.0988 >> k3=(cos(2*x)+(0.5*h))+(sin(3*x)+(0.5*h)) k3 = 1.0988 >> k4=(cos(2*x)+h)+(sin(3*x)+h) k4 = 1.3488 >> y4=y+((h/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4)) y4 =

2.4864 >> >> syms x y h >> x=1; >> y=2.4864; >> h=0.25; >> k1=cos(2*x)+sin(3*x) k1 = -0.27503 >> k2=(cos(2*x)+(0.5*h))+(sin(3*x)+(0.5*h)) k2 = -0.025027 >> k3=(cos(2*x)+(0.5*h))+(sin(3*x)+(0.5*h)) k3 = -0.025027 >> k4=(cos(2*x)+h)+(sin(3*x)+h) k4 = 0.22497 >> y5=y+((h/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4)) y5 = 2.4801

>> ed4 >> plot(u,v,'o'), grid on, hold on >> g=dsolve('Dy-(cos(2*x)+sin(3*x))=0','y(0)=1','x') g= 5/3 - (2*(9*tan(x/2)^4 - 6*tan(x/2)^2 - 3*tan(x/2) + 3*tan(x/2)^5 + 1))/(3*(tan(x/2)^2 + 1)^3) >> ezplot(g,[0,1]) >>...