Capítulo 2 VIDA Media - ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS PDF

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ECUACIONES DIFERENCIALES ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA INDUSTRIAL APLICACIONES Determinación de la edad por el carbono. Las E.D.separables son aplicables al problema del cálculo de la edad de artefactos. Por ejemplo en el proceso de determinación de la edad por el carbono. Los elementos radiactivos se desintegran en nuevos elementos, o isotopos del mismo elemento, a una razón proporcional a su masa. La tasa de desintegración se mide detectando el número de partículas alfa y betas emitidas como parte del proceso de desintegración. La vida media de un isotopo es el tiempo que tardan en desintegrarse la mitad de los átomos en una muestra del isotopo. Si hay m gramos presentes el año t0 y la vida media es de H años, habrá m/2 gramos presentes en t0  H años. Estrictamente hablando, el proceso de desintegración radiactiva no es continuo, porque el número de núcleos es finito y los átomos se desintegran de uno en uno. Sin embargo, él número de átomos que hay en una muestra cualquiera de material es tan grande que el proceso de desintegración se puede considerar continuo y puede ser modelado así: Sea M (t) la masa del material radiactivo presente en el tiempo t. Como la tasa o rapidez de variación de M con respecto al tiempo es proporcional a M se tiene: dM  kM (t ),k constante dt

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Usando separación de variables: dM  kdt, k constante M Ln|𝑀| = 𝑘𝑡 + 𝐶, como M es positivo: M (t) = 𝑒 𝑘𝑡+𝐶 =A𝑒 𝑘𝑡 , con A = 𝑒 𝐶 Suponga M (0)=m una cantidad conocida de masa se tiene que: M (0)= A = m, queda M(t)=m𝑒 𝑘𝑡 .Para obtener k Debemos conocer la masa en algún otro tiempo Conviene expresar k en términos de la vida media de la sustancia ( el tiempo que tarda la mitad de la masa en ser convertida en energía).Suponga que hemos medido la vida media M(H) =m/2 Entonces M (H)= m ekH  m / 2,ekH  1/ 2 y tomando logaritmo Se tiene: k H=ln1/2= - ln2, k= -ln2/H Queda finalmente M (t)=m e  ln 2(t ) / H

 m 2t / H

CRECIMIENTO BACTERIANO Un cultivo tiene una cantidad inicial N 0 de bacterias. Después de una hora, la cantidad medida de bacterias es (3/2) N 0 .Si la razón de reproducción es proporcional a la cantidad de bacterias presentes, calcule el tiempo necesario para triplicar la cantidad inicial de bacterias. Sol. dN  kN ,N  N (0), N (1)  3/ 2N es una ecuación separable y dt

0

0

lineal a la vez. Resolviendo tenemos N (t) = N 0e kt .

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Cuando t=1, (3/2) N 0 = N 0e k , k =ln3/2=0.4055. Entonces N (t)  N 0e 0.4055t Cuando se triplica la cantidad de bacterias, 3N  N e0.4055t , despejamos t de 0.4055t=ln3 0 0

t=ln3/0.4055 =2.71h Periodo medio del plutonio En Física, el periodo medio es una medida de la estabilidad de una sustancia radiactiva, es el tiempo que transcurre para que se desintegre o transmute (convertir un elemento químico en otro) la mitad de los átomos en una muestra inicial A0 ,y se conviertan en átomos de otro elemento .Mientras mayor sea su semivida, más estable es una sustancia, por ejemplo la semivida del radio Ra-226 muy radiactivo, es unos 1700 años. En este lapso, la mitad de determinada cantidad de Ra-226 se transmuta y forma radón Rn-222.El isotopo más común del uranio, el U-238 tiene un periodo medio de 4500 millones de años. Es el tiempo que tarda en transmutarse la mitad de la cantidad de U-238 en plomo 206. Un reactor convierte al uranio 238, relativamente estable en plutonio 239, un isotopo radiactivo. Al cabo de 15 años, se ha desintegrado el 0.043% de la cantidad inicial A0 , de una muestra de plutonio. Calcule el periodo medio de ese isotopo, si la razón de desintegración es proporcional a la cantidad presente. Sol. Sea A (t) la cantidad de plutonio que queda en cualquier momento t. Tenemos el problema de valor inicial

dA  kA, A(0)  A , cuya solución es A(t )  A e kt 0 dt 0

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Como se desintegra el 0.043% de los átomos de A0 queda 99.957%.Para hallar la constante k, A (15)=0.99957 A0 , despejamos k= - 0.00002867. A( t)  A 0 e0.00002867t . Si el periodo medio es el valor que corresponde a A (t)= A0 / 2 , 𝑙𝑛2

despejando t se obtiene t =0.00002867 = 24176 años Antigüedad de un fósil

Alrededor de 1950,el químico Willard Libby creo un método que emplea el carbono radiactivo para determinar las edades aproximadas de fosiles.La teoría del fechamiento o fechado con radiocarbono, se basa en que el isotopo carbono 14 se produce en la atmosfera por acción de la radiación cósmica sobre el nitrógeno. La razón de la cantidad de C-14 al carbono ordinario en la atmosfera parece ser constante y en consecuencia ,la cantidad proporcional del isotopo presente en todos los organismos vivos es igual que la de la atmosfera. Cuando muere un organismo la absorción del C-14 sea por respiración o alimentación cesa. Así se compara la cantidad proporcional de C-14 presente, por ejemplo en un fósil, con la relación constante que existe en la atmosfera, es posible obtener una estimación razonable de su antigüedad. El método se basa en que se conoce que el periodo medio del C-14 radiactivo es aproximadamente 5600 años. Por este trabajo, Libby ganó el Premio Nobel de Química en 1960.Su método se usó para fechar los muebles de madera de las tumbas egipcias y las envolturas de lino de los rollos del Mar Muerto.

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Ejemplo. Se analizó un fósil y se encontró que contenía la centésima parte de la cantidad original de carbono 14 (C -14). Halle la edad del hueso fosilizado. Sol. El modelo es A (t) =

A

0

/ 2  A(5600)

Luego

A

0

ekt

A0 / 2  A e

5600k

0

., 5600k=ln1/2 =-ln2

K = - ln2/5600 =-0.0001237. Luego A(t)  A0e 0.0001237t A (t)= A0 /100 , A0 /100 = A0 e t=

𝑙𝑛100 0.0001237

0.0001237 t

, despejando

= 55,800años

Arequipa, 11 de mayo del 2020

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