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UNIVERSIDAD NACIONAL DE CATAMARCA Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Departamento de Física – Catedra: Laboratorio II – Carrera: Prof. y Lic. en Física

TRABAJO PRACTICO N°4 TITULO: Leyes de Kirchoff.

OBJETIVO:Que los alumnos sean capaces de: 

Determinar las corrientes y tensiones eléctricas en un circuito aplicando métodos basados en las leyes de Kirchoff.

INTRODUCCION:  LEY DE NUDOS: La ley de los nudos se basa en el principio de la conservación de la carga, la cual dice que en un nudo no se acumulan cargas. La suma de las intensidades de corriente que llegan a un nudo es igual a la suma de las intensidades que salen de él. Si se consideran positivas las corrientes que llegan y negativas las que salen, esta ley establece que la suma algebraica de las intensidades de todas las corrientes que concurren en un nudo es cero, como lo demuestra la figura (1).

Figura 1: Esquematización de las corrientes que concurren en un nudo.

i1+ i4 =i2+ i3 +i 5 ∑i=0

 LEY DE LAS MALLAS: En un circuito cerrado o malla, la suma algebraica de las fuerzas electromotrices aplicadas, o subidas de tensión, es igual a la suma algebraica de las caídas de tensión en todos los elementos pasivos. En otras palabras, la suma algebraica de las diferencias de potencial en todo circuito cerrado es nula. Véase figura (2).

Robledo Flores Daniel Fernando Federico MUN: LF600, PF638

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Figura 2: Esquematización de un circuito cerrado o malla.

−V 1−V 2−V 3 +V 4=( I − I 1 ) R1+ ( I + I 2 ) R 2+ ( I −I 3 ) R3 +( I +I 4 )R 4 ∑V =0

MATERIALES Y METODOS DE TRABAJO:

En este trabajo practico utilizamos: - 3 Fuentes - 10 Resistores - Conectores - multímetros - 2 Tableros eléctricos Para las diferentes resistencias tenemos los siguientes valores nominales:

R1=100 KΩ R 2=120Ω R3 =2,2 KΩ R4 =1 KΩ R5=47 KΩ R6=22 KΩ R 7=4,7 KΩ R8=10 KΩ R 9=10 KΩ R 10=3,9 KΩ R11 =10 KΩ Y el voltaje aplicado en las diferentes fuentes es:

e 1=30 V e2=20 V e 3=40 V A continuación, se aplicará los diferentes métodos para el circuito graficado en la figura 3:

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Figura 3: Esquematización del circuito realizado para la experiencia.

 MÉTODO DE MALLAS:



Malla 1:

e 1+ e2− e3 =¿

( R1 + R2 + R3 + R4 ) I 1 + R6 ( I 2−I 1) + R5 (I 1−I 3) R (¿ ¿ 1+ R2 + R3 + R4 + R 5+ R 6) I 1− R6 I 2− R 5 I 3 e1 +e 2−e 3=¿ 

Malla 2:

−e 2=I 2 ( R7 +R 8 )+ R 6( I 2− I 1 ) + R11 (I 2−I 3 ) −e 2=−I 1 R6 +I 2( R 7+ R 8 + R6 + R11) −I 3 R11

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Malla 3:



e 3=I 3 ( R 9+ R 10 )+ R 11 ( I 3 −I 2 ) + R5 (I 3−I 1) e 3=−I 1 R5 −I 2 R 11 + I 3 ( R 9+ R 10+ R 11+ R5 )

Evaluando para cada una de las mallas con sus valores respectivos, de resistencia y fem, con lo que se obtuvo un sistema de ecuaciones con coeficientes constantes que luego se resolvió con la función EQUATION de la calculadora fx-991EX.

R 1+ R + R + R + R ¿ (¿ 2 3 4 5 + R 6 ) I 1 − R6 I 2 − R 5 I 3 e1 +e 2−e 3=¿ (30+20-40) v=

I 1 (100+0,12+2,2+1+47+22) kΩ - I 2 22 kΩ - I 3 47 kΩ 10v= 172,32 kΩ I 1 -22 kΩ I 2 -47 kΩ I 3

−e 2=−I 1 R6 +I 2( R 7+R 8 +R6 +R11) −I 3 R11 -20v=- I 1 22 kΩ +

I 2 ( 4,7 + 10 + 22 + 10 ) kΩ - I 3 10 kΩ ¿

-20v=- I 1 22 kΩ + I ¿ 46,7) kΩ - I 3 10 kΩ 2

e 3=− I 1 R5 −I 2 R 11 + I 3 ( R 9+ R 10+ R 11+ R5 ) 40v= −I 1 47 kΩ−I 2 10 kΩ+ I 3 (10+3,9+10 + 47)kΩ 40v= − I 1 47 kΩ − I 2 10 kΩ+ I 3 70,9 kΩ

{

10 v=172,32 kΩ I 1−22 kΩ I 2− 47 kΩ I 3 −20 v=−22 kΩ I 1 + 47 kΩ I 2−10 kΩ I 3 40 v=−47 kΩ I 1−10 kΩ+70,9 kΩ I 3

▪ I 1=2,223 ×10−4 A ▪ I 2=−1,761 × 10−4 A ▪ I 3=6,875 ×10−4 A

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A partir de estas corrientes y tomando como referencia Vb=0 se obtienen las tensiones en los puntos A, C y D.

V A −V B = ( I 1 −I 2) R6−e2 −4 3 V A = ( 2,223 + 1,761 ) × 10 A∗22 × 10 Ω−20 v

V A =−11,2352 v

V C −V B= ( I 3− I 1) R 5−e 3 −4

V C = ( 6,875 −2,223) × 10 A∗47 × 10 Ω−40 v 3

V C =−8,6360 v

V D −V B= ( I 2− I 3) R 11 −4

V D = ( −1,761−6,875 ) × 10

A∗10 ×103 Ω

V A =−8,6360 v

 MÉTODO DE LOS NUDOS: 

Analizando Nudo A:

I c + I B + I D =0 V A =V B + I B × R6 −e 2

V A +e 2 =I B R6 V A =V C + I C ( R1 + R2 + R3 + R4 ) +e 1

V A −V C −e1 =I R 1 + R 2+ R 3 + R 4 C

A=¿V D + I D ( R 7+R 8 ) V¿

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V A −V D R7 + R8

=I D

V A −V C −e 1 V A +R2 V A−V D + + =0 R6 R1 + R2 + R3 + R4 R 7+ R 8

▪1 V A=

( )(

)

e e1 VD VC 1 1 − 2 = − − + R6 R1 + R2 + R3 + R 4 R1 + R2 + R3 + R4 R7 +R 8 R1 + R2 + R3 +R 4 R6

Analizando Nudo D:



I A ' + I B '+ I C '=0

V D =I B ' R11 +V B ( 0 )

I B '=

VD R11

V D =V C + ( R 9+R 10 ) I C '

'

IC =

V D −V C R 9+ R10

V D =V A + I A ' ( R7 + R 8 )

I A '=

V D −V A R 7+ R 8

V D V D−V C V D −V A + + =0 R 11 R9 + R10 R7 + R 8

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▪2

−V A −V C 1 1 1 + + =0 − +V D R 11 R9 + R10 R7 +R 8 R7 + R 8 R 9+ R 10

(

)

Analizando Nudo C:



I 'B' + I A'' +I 'D'

V C =V B (0 ) +I B ( RS ) −e 3 ''

V C + e3 '' =I B RS

V C =V D + I D ' ' (R 9+ R 10 )

V C −V D =I ' ' R 9 + R10 D

V C =V A + I 'A' ( R 1+ R 2 + R3 + R 4 ) −e1

V C −V A +e1 =I ' ' R 1+R 2 +R3 + R4 A

V C −V A +e 1 V C + e3 V C −V D =0 + + RS R 9+ R 10 R1 +R2 + R 3+ R 4

▪3

e1 VD −e −V A 1 1 + − = 3− +V C R R R1 + R2 + R3 + R4 R 1+ R 2 +R3 +R 4 R9 + R10 R 9+ R 10 S S

(

)

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V A=

(R1 + R + R +1 R +R + R +1 R )− R + R + R + R − R +R = R + R + R +R − R 6

1

−V A R 1+R 2 +R3 + R4

2

−V C

3

4

7

(R1 + R +1R S

9

1

8

+ 10

2

3

4

7

e2

e1

VD

VC

1

8

2

3

6

e1 VD −e 1 − = 3− R 1+R 2 +R3 + R 4 R9 + R10 RS R1 + R2 +R 3 + R4

)

VC −V A 1 1 1 − =0 +V D + + R 11 R 9+ R 10 R 7+ R 8 R 7+ R 8 R 9+ R 10

(

)

Para facilitar los cálculos definimos los siguientes coeficientes y los guardamos en la memoria de nuestra calculadora:

A=

1 1 −6 1 = =9.679 x 10 3 Ω R1 + R2 + R3 + R4 ( 100 + 0,12 + 2,2 + 1) x 10 Ω

B=

1 1 −5 1 =2.128 x 10 = 3 Ω RS 47 x 10 Ω

C=

1 1 1 =4.545 x 10−5 = 3 Ω R 6 22 x 10 Ω

D=

1 1 −5 1 = =6.803 x 10 Ω R7 + R8 ( 4,7+10 ) x 103 Ω

E=

1 1 −5 1 = =7.194 x 10 3 Ω R9 + R10 ( 10 + 3,9) x 10 Ω

F=

1 1 1 =1 x 10−4 = 3 R11 10 x 10 Ω Ω

Introduciendo estos coeficientes en el sistema de ecuaciones anterior y luego se resolvió con la función EQUATION de la calculadora fx-991EX con la que se obtuvo:

{

V A (C + A+ D) −V C A−V D D =30 v A −20 v C −V A A −V C ( B + E + A )−V D E=−40 v B−30 v A −V A D −V C E+V D ( F+E+ D )=0

V A =−11,2208 V V C =−18,1837 V V D =−8,6323 V

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Con estos resultados se calculo los valores de las corrientes en cada malla del circuito:

I I =I A' =

I I=

V C −V A +e 1 R1 + R2 + R3 + R 4

−18,1837 V +11,2208 V +30 V 103120 Ω

I I =0,2234 mA

I II =I D=

V A −V D −11,2208 V +8,6323V = 14,700 Ω R7 + R8

I II =−0,1761 mA

'

III=¿ I C=

V D−V C −8,6323 V +18,2837 V = 13900 Ω R9 + R10 I¿

I III =0,6875 mA

Medición “directa” Se realizo la medición directa de la tensión en bornes de cada una de las resistencias siendo utilizandos en la tabla 1 para el calculo de la corriente que atravieza a cada una de ellas.

Tabla 1: Voltajes y resistencias obtenidas. N 1

Voltaje medido

Resistencia

[v] 22.4

[kΩ] 100

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Ii [mA] 0.2240

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2 0.026 0.12 3 0.496 2.2 4 0.229 1 5 22.1 47 6 9.05 22 7 0.85 4.7 8 1.81 10 9 6.91 10 1 2.69 3.9 0 11 8.82 10 Fuente: Datos obtenidos experimentalmente.

0.2167 0.2255 0.2290 0.4702 0.4114 0.1809 0.1810 0.6910 0.6897 0.8820

Todos los valores de corrientes y tensiones obtenidos aplicando los distintos metodos fueron volcados en la tabla 2 para su análisis. Tabla 2: corrientes nudos.

I

y tensiones

METODO DE MALLAS

V

utilizando métodos de mallas y de METODO DE NUDOS

VALORES MEDIDOS

i/j

Ii

V j [v]

Ii

[mA] [mA] 0.2229 -11.2353 0.2234 1/ A 0.2229 0 0.2234 2/ B 0.2229 -18.1356 0.2234 3/ C 4/ 0.2229 -8.6360 0.2234 D 5 -0.4642 -0.4641 6 0.3990 0.3995 7 -0.0176 -0.1761 8 -0.1761 -0.1761 9 0.6871 0.6875 10 0.6871 0.6875 11 0.8632 0.8636 Fuente: Datos obtenidos experimentalmente.

Vj

Ii

[v]

-11.2208

[mA] 0.2240

[v] -11.1

0

0.2167

0

-18.1837

0.2255

-17.9

8.6323

0.2290

-8.6

0.4702 0.4114 0.1809 0.1810 0.6910 0.6897 0.8820

CONCLUSION: Para esta experiencia el objetivo se cumple tanto por métodos de mallas como de nudos dado que sus resultados son similares con los medidos directamente desde el circuito.

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Vj

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Las fuentes posibles de error sin duda fue el no medir directamente las resistencias y tomar como dato para los calculos los valores nominales de cada resistor.

BIBLIOGRAFIA:  

Serie de compendios Schaum – TEORIA Y PROBLEMAS DE CIRCUITOS ELECTRICOS. Apunte de la catedra de Laboratorio II.

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