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TEMA 1. ESTRUCTURAS CRISTALINAS. Problemas resueltos y propuestos...

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CM_GIE_2013/14

CIENCIA DE MATERIALES . TEMA 1. ESTRUCTURAS CRISTALINAS Problemas resueltos y propuestos 1. El cobre cristaliza con una estructura cúbica centrada en las caras (c.c.c.). Su parámetro reticular es 0.36147 nm y su masa atómica es 63.55 g/mol. a) Dibujar la celdilla unidad, calcular su densidad y su radio atómico. b) Determinar la densidad superficial de los planos (100) y la densidad lineal en la dirección SOLUCIÓN a)

1 1 n = 8 ⋅ + 6 ⋅ = 4 atm / celd . 8 2

a ⋅ 2 = 4 ⋅ ra ⇒ ra = ρ=

𝑛·𝑀𝐴 𝑉·𝑁𝐴

=

a⋅ 2 = 1.28 ⋅ 10 −10 m = 0.128nm 4

(4 𝑎𝑡/𝑐𝑒𝑙𝑑)·63.55·10−3 𝐾𝑔/𝑚𝑜𝑙 (0.36147·10−9 𝑚)3 ·6.023·1023 𝑎𝑡/𝑚𝑜𝑙

= 8960 Kg/m3 = 8.96 g/cm3

b) densidad superficial de los planos (100), son las caras de la celda unidad

ds(100)=

4·14�+1

�

𝑎2

átomos =

2 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠

(0.36147·10−9𝑚)2

1

= 15.3·1018 at/m2

CM_GIE_2013/14

Densidad lineal en la dirección , diagonal del cubo Longitud

El número de átomos es: (2· 0.62608·10-9 m

1 ) 2

a· √3

y la longitud es:

a·√3 = 0.36147·10-9 m·√3 =

dl= (1átomo/ 0.62608·10-9 m) = 1.60·109 at/m = 1.60 átomos/nm

2. El oro es un metal que presenta a temperatura ambiente una estructura cúbica centrada en las caras (CCC), con un radio atómico r=0.144 nm. La densidad de este elemento es de 19.3 g/cm3. a) Con los datos de que disponemos, determinar la masa atómica. b) calcular la densidad atómica lineal en la dirección y la densidad superficial de los planos (110)

a) a =

4𝑅

√2

=

4·0.144 𝑛𝑚 √2

La densidad se calcula

= 0.407 nm ρ=

𝑛∙𝑀𝐴 𝑉∙𝑁𝐴

siendo n el número de átomos por celda unidad, MA la

masa atómica, V el volumen ( en una celda cúbica es a3 )y NA el número de Avogadro

MA =

𝜌·𝑉·𝑁𝐴 𝑛

=

3

(19.3·103 𝐾𝑔/𝑚3 ) · �0.407·10−9 𝑚� /𝑐𝑒𝑙𝑑 ·6.023·1023𝑎𝑡/𝑚𝑜𝑙 4 𝑎𝑡/𝑐𝑒𝑙𝑑

MA= 0.1959 Kg/ mol = 195.9 g/mol

2

CM_GIE_2013/14 b)

Dirección es la diagonal de la cara

el plano (110) es el representado en la figura

Cálculo de la densidad lineal El número de átomos es: (2· 0.5756·10-9 m

1 + 1) 2

y la longitud es:

a·√2 = 0.407·10-9 m·√2 =

dl= (2átomos/ 0.5756·10-9 m) = 3.474·109 at/m = 3.47 átomos/nm

Cálculo de la densidad superficial

1

1

�4·4�+2∙2

ds(110)=

𝑎 2 · √2

átomos =

2 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠

(0.407∙10−9 𝑚)2 ·√2

= 8.54·1018 at/m2

3. El litio cristaliza con una estructura cúbica centrada (c.c.) Su parámetro reticular

es 0.35092 nm. y su masa atómica es 6.941 g/mol. a) Dibujar la celdilla unidad, calcular su densidad y su radio atómico. b) Determinar la densidad superficial de los planos (100) y la densidad lineal en la dirección SOLUCIÓN a)

3

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𝑛∙𝑀𝐴 ρ = 𝑉∙𝑁 𝐴

La densidad se calcula

siendo n el número de átomos por celda unidad,

MA la masa atómica, V el volumen (en una celda cúbica es a3) y NA el número de Avogadro

𝑛 =8∙ ρ=

𝑛∙𝑀𝐴

𝑉∙𝑁𝐴

1

8

=

+ 1= 2 átomos/celdilla 𝑎𝑡

2 � 𝑐𝑒𝑙𝑑�∙� 6.941∙10−3�𝑘𝑔/𝑚𝑜𝑙

{(0.35092∙10−9𝑚)3 /𝑐𝑒𝑙𝑑}∙6.023∙1023

la relación arista - radio en redes c.c. es : R =

= 532 kg/m3 =0.532 g/cm3 𝑎𝑡/𝑚𝑜𝑙

𝑎 √3 4

=

0.35092 𝑛𝑚 √3 4

= 0.152 nm

b)

plano (1 0 0) , caras de la celda unidad

dirección la diagonal del cubo

Cálculo de la densidad superficial de los planos (1 0 0) 1

�4· �á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 1 á𝑡𝑜𝑚𝑜 4 = ds(100)= = 8.12·1018 at/m2 −9 2 𝑎2 (0.35092∙10 𝑚)

Cálculo de la densidad lineal en la dirección El número de átomos es: (2· 0.6078·10-9 m

1 + 1) 2

y la longitud es:

a·√3 = 0.35092·10-9 m·√3 =

dl= (1átomo/ 0.6078·10-9 m) = 3.29·109 at/m = 3.29 átomos/nm

4

CM_GIE_2013/14 4. El wolframio es un metal que presenta a temperatura ambiente una estructura cúbica

centrada (cc), con un radio atómico r=0.141 nm. La densidad de este elemento es de 19.3 g/cm3 . a) Con los datos de que disponemos, determinar la masa atómica . b) Determinar la densidad superficial de los planos (111) y la densidad lineal en la dirección

SOLUCIÓN a) MA= 183.9 g/mol b) dS (111)=5.43·1018 átomos/m2 dl ( = 2.16·109 átomos/m

5. El magnesio cristaliza en una red hexagonal compacta. Sus parámetros reticulares son a= 0.32094 nm y c= 0.52105 nm, su masa atómica es 24.31 g/mol. Calcular la densidad , el radio atómico y dibujar la celdilla unidad. Solución:

� V= 323 𝑎2c

n= 12·(1/6) +2·(1/2)+3 = 6 átomos/celdilla V = 0.1394 ·10-27 m3/ celd ρ=

𝑛∙𝑀𝐴 𝑉∙𝑁𝐴

= 𝑎𝑡

6 � 𝑐𝑒𝑙𝑑�∙� 24.31∙10−3�𝑘𝑔/𝑚𝑜𝑙

{(0.1394∙10−27𝑚)3 /𝑐𝑒𝑙𝑑}∙6.023∙1023 𝑎𝑡/𝑚𝑜𝑙

ρ= 1737 Kg/m3 = 1.737 g/cm3 a = 2R

; R = a/2 = 0.32094 nm/ 2 = 0.16047 nm

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6. El cobre cristaliza con una estructura cúbica centrada en las caras (c.c.c.). Su radio atómico es 0.128 nm. y su masa atómica es 63.55 g/mol. a) Dibujar la celdilla unidad, calcular su densidad y su radio atómico. b) calcular la densidad atómica lineal en la dirección y la densidad superficial de los planos (110)

SOLUCIÓN: a) ρ= 8.894 g/cm3 = 8894 Kg/m3 b) Densidad lineal en la dirección ; 3.91 átomos/nm Densidad superficial de los planos (1 1 0) ; 10.79 átomos/nm2

7. a)Calcular el radio atómico del hierro a temperatura ambiente sabiendo que cristaliza con una estructura c.c., siendo su masa atómica 55.85 g/mol y su densidad 7700 kg/m3. b) Calcular la densidad atómica lineal en la dirección

y la densidad atómica

NA=6.023⋅1023 átomos/mol

superficial para los planos (111)

SOLUCIÓN: a) R = 0.125 nm b) Densidad lineal en la dirección ; 3.995 átomos/nm Densidad superficial de los planos (1 1 1) ; 27.65 átomos/nm2 6

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8. a) Calcular el parámetro reticular del hierro a temperatura ambiente sabiendo que cristaliza con una estructura c.c., siendo su masa atómica 55.85 g/mol y su densidad 7700 kg/m3.

NA=6.023⋅1023 átomos/mol

b) Determinar la densidad superficial de los planos (110) y la densidad lineal en la dirección

SOLUCIÓN: a) Parámetro reticular a= 0.289 nm b) Densidad superficial de los planos (1 1 0) ; 16.93 átomos/nm2 Densidad lineal en la dirección ; 3.46 átomos/nm

9 . a) calcular la densidad del aluminio a temperatura ambiente sabiendo que cristaliza con una estructura c.c.c., siendo su masa atómica 27 g/mol y su radio atómico 0.143 nm b) determinar la densidad superficial de los planos (1 1 1 ) y la densidad lineal en la dirección

1 1 n = 8 ⋅ + 6 ⋅ = 4atm / celd . 8 2

a ⋅ 2 = 4⋅ ra ⇒ a =

ρ=

4 ⋅ ra 2

=

4 ⋅ 0,143 ⋅10 −9 = 4,045 ⋅ 10 −10 m = 404,5 pm =0.4045 nm 2

n⋅ MA 4at / cel . ⋅ 27 ⋅10 −3 kg / mol = = 2709,29 kg / m 3 = 2,709 g / cm3 −12 3 23 v ⋅ N A (404,5 ⋅ 10 m ) ⋅ 6,023 ⋅ 10 at / mol

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b)densidad superficial de los planos (1 1 1)

h Lado del triángulo equilátero

(111) a·√2

2

2 2 a ⋅ 2 8 ⋅a − 2 ⋅a  + h2 = ( a ⋅ 2 ) 2 ⇒ h2 =  ⇒h=  2  4  

h⋅a⋅ 2 s= = 2

3 ⋅a 2

3 ⋅ a ⋅ a ⋅ 2 a 2 ⋅ 3 ( 4,045 ⋅ 10 − 10 ) 2 ⋅ 3 = = = 1,417 ⋅ 10−19 m 2 2 2 2 ⋅2

d(111)

1 1 3⋅ + 3⋅ n 2 6 = 1,411 ⋅1019 at / m 2 = = −19 s 1,417 ⋅ 10

Densidad lineal en la dirección

a⋅ 2

d l 110

1 2⋅ +1 2 = 2 = = 3, 496 ⋅ 10 9 at / m −12 a⋅ 2 404,5 ⋅ 10 ⋅ 2

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10. El platino cristaliza con una estructura cúbica centrada en las caras (c.c.c.). Su parámetro reticular es 0.392 nm. y su masa atómica es 195.1 g/mol. Dibujar la celdilla unidad, calcular su densidad y su radio atómico.

SOLUCIÓN: Densidad

ρ = 21510 Kg/m3

Radio atómico

R = 0.139 nm

11. El aluminio es un metal que presenta a temperatura ambiente una estructura cúbica centrada en las caras (CCC), con un radio atómico r=0.143 nm. La densidad de este elemento es de 2.70 g/cm3 .Con los datos de que disponemos, para el aluminio, determinar su masa atómica. (número de Avogadro

NA = 6,023·1023 átomos/mol) SOLUCIÓN : MA = 26.80 g/mol

12. El molibdeno es un metal con una temperatura de fusión de 2610ºC y presenta a temperatura ambiente una estructura cúbica centrada en el cuerpo (CC), con masa atómica de 95.94 g/mol y una densidad de 10.22 Mg/m3 obtenida a 20ºC.Determinar su radio atómico. SOLUCIÓN Radio atómico R = 0.137 nm

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13. Determinar el factor de empaquetamiento atómico de las estructuras ccc (cúbica centrada en caras) y cc (cúbica centrada) SOLUCIÓN: c.c.c.

F.E. = 0.74

c.c.

F.E. = 0.68

14. Determinar la densidad superficial de los planos (100); (110) y (111) de las estructuras ccc y cc.( “a “ es el parámetro reticular) SOLUCIÓN: PLANOS

REDES c.c.c.

REDES c.c.

(1 0 0)

2 átomos/ a2

1 átomo/ a2

(1 1 0)

2 átomos/a 2·√𝟐

2 átomos/a 2·√𝟐

(1 1 1)

4 átomos/a 2·√𝟑

1 átomo/a2·√𝟑

15. Determinar la densidad lineal en las direcciones ; ; estructuras ccc y cc. ( “a “ es el parámetro reticular) dirección

REDES c.c.c.

REDES c.c.

1 átomo/ a

1 átomo/ a

2 átomos/a √𝟐

1 átomo/a √𝟐

1 átomo/a √𝟑

2 átomos/a √𝟑

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de las

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16. Calcular la densidad del germanio, sabiendo que su masa atómica es 72.59 g/mol, que cristaliza con estructura cúbica del diamante y su radio atómico es 0.122 nm.

Solución: n = 8 átomos/celdilla relación arista – radio atómico: (1/4) diagonal cubo = 4R (1/4)· a √𝟑 = 4R a= 0.56349 nm ρ=

𝑛·𝑀𝐴 𝑉·𝑁𝐴

=

(8 𝑎𝑡/𝑐𝑒𝑙𝑑)·72.59·10−3 𝐾𝑔/𝑚𝑜𝑙 (0.56349·10−9𝑚)3 ·6.023·1023 𝑎𝑡/𝑚𝑜𝑙

= 5389 Kg/m3 = 5.389 g/cm3

DIFRACCIÓN DE R.X. Ley de Bragg

2d(hkl) senθ = n λ

d(hkl) es la distancia entre planos de índices de Miller (h k l ) λ es la longitud de onda de los R.X utilizados n es el orden de difracción, consideramos n= 1 , difracción de primer orden en redes cúbicas

d(hkl) =

𝑎 √ℎ2 +𝑘 2 +𝑙 2

ángulo de difracción (2θ) 11

=

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17. Utilizando la ley de Bragg, calcular los ángulos de difracción de los tres primeros picos del espectro de difracción de polvos de aluminio, sabiendo que cristaliza con una estructura ccc y su parámetro reticular es a=0.404 nm. La radiación utilizada es de λ= 0.1542 nm. SOLUCIÓN: en redes ccc los tres primeros picos observables son los correspondientes a los planos de índices de Miller : (111) , (2 0 0) y (2 2 0) d(hkl) =

𝑎

√ℎ2 +𝑘 2 +𝑙 2

;

2d(hkl) senθ = λ

; θ = (sen)-1

d(111) = 0.404 nm/√3 = 0.233 nm ; θ = (sen)-1 d(200) =0.404 nm/2 = 0.202 nm ; θ = (sen)-1

0.1542 nm

2·0.233𝑛𝑚

0.1542 nm

2·0.233𝑛𝑚

d(220) = 0.404 nm/2√2 = 0.143 nm ; θ = (sen)-1

λ 2𝑑

= 19.30

= 22.40

0.1542 nm

2·0.233𝑛𝑚

= 32.60

los ángulos de difracción son (2θ) : 38.60 ; 44.80 y 65.30 18. Calcular los ángulos de difracción para los tres primeros picos en el diagrama de difracción de polvo de Fe-α utilizando la radiación Kα del Cu (λ= 0.1542 nm). El Fe-α tiene una estructura cc siendo su radio atómico R = 0.124 nm. SOLUCIÓN: en redes cc los tres primeros picos observables son los correspondientes a los planos de índices de Miller : (110) , (2 0 0) y (2 1 1) a = (4·0.124 nm) / √3 = 0.286 nm

a·√3 = 4R d(hkl) =

𝑎 √ℎ2 +𝑘 2 +𝑙 2

;

2d(hkl) senθ = λ

; θ = (sen)-1

d(110) = 0.286 nm/√2 = 0.202 nm ; θ = (sen)-1 d(200) =0.286 nm/2 = 0.143 nm ; θ = (sen)-1

0.1542 nm

2·0.233𝑛𝑚

0.1542 nm

2·0.233𝑛𝑚

d(211) = 0.286 nm/√6 = 0.117 nm ; θ = (sen)-1

λ

2𝑑

= 22.410

= 32.620

0.1542 nm

2·0.233𝑛𝑚

= 41.320

los ángulos de difracción son (2θ) ; 69.10 , 106.50 y 156.50 12...