Estructuras Cristalinas Metálicas PDF

Title Estructuras Cristalinas Metálicas
Author Luis Alfredo Ramos Huasasquiche
Course Ingenieria de materiales
Institution Universidad Ricardo Palma
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ESTRUCTURAS CRISTALINAS METÁLICAS Las técnicas habituales para estudiar las estructuras cristalinas se basan en el fenómeno de difracción de rayos X. La difracción hablando en términos físicos, es un proceso que ocurre en todo tipo de ondas cuando éstas se esparcen o se curvan frente a la presencia de un obstáculo u orificio. Dicho fenómeno se da cuando la longitud de onda es mucho mayor que las dimensiones del obstáculo. Entre mayor sea el tamaño del objeto en comparación con la longitud de onda, más difícil será detectar la difracción. En el espectro electromagnético, los rayos X tienen longitudes de onda cercanos a las distancias interatómicas de la materia, a esto se debe su utilidad en el estudio de las estructuras cristalinas.

CELDA UNITARIA E l orden atómico de los sólidos cristalinos indica que grupos de pocos áto mos forman un patrón que se repite en el espacio. Al describir la estructura cristalina conviene dividirla en las pequeñas entidades, que se repiten, llamadas celdas unitarias. Debido a la naturaleza del enlace metálico, los átomos de un metal pueden ser visualizados como esferas rígidas. Los átomos se organizan en un arreglo (reticulado) espacial, que es una colección tridimensional de puntos, donde cada punto del arreglo es idéntico a cualquier otro punto. El reticulado puede ser descrito por la celda unitaria (modelo geométrico), que es la menor unidad de repetición del reticulado. Hay solo siete formas de celda unitaria que pueden ser empiladas para formar los sistemas cristalinos en el espacio tridimensional. Ellas son: cúbica, tetragonal, ortorrómbica, romboédrica, ortorrómbica, hexagonal, monoclínica y triclínica. De estos sistemas cristalinos podemos identificar 14 tipos diferentes de celdas unitarias, conocidas como Redes de Bravais (figura). Cada una de estas celdas unitarias tiene ciertas características que ayudan a diferenciarlas de las otras celdas unitarias. Estas características también auxilian en la definición de las propiedades de un material particular. El arreglo atómico juega un papel importante en la determinación de la microestructura y en el comportamiento de un material sólido. Por ejemplo, el arreglo atómico en el aluminio proporciona buena ductilidad, en tanto que en el hierro es la causa de una buena resistencia. La celda unitaria viene a ser entonces, la porción más simple de la estructura cristalina que al repetirse mediante traslación reproduce todo el cristal. Todos los metales adoptan una distribución regular de átomos en el espacio. La celda unitaria es la subdivisión de la red cristalina que sigue conservando las características generales de toda la red. En este texto, se verá la celda unitaria y la estructura cristalina de manera indistinta. Al apilar celdas unitarias idénticas, se puede construir toda la red.

Fig. Los catorce tipos de Redes de Bravais agrupados en los siete sistemas cristalinos En esta sección se presentan las principales estructuras cristalinas de metales puros. Al observar una Tabla Periódica con información de la estructura cristalina de los metales puros, se observa que ellas corresponden, en un 90%, a cristales cúbicos de cuerpo centrado (bcc), cúbicos de caras centradas (fcc) y hexagonales compactas (hc o hcp). A la mínima configuración elemental de estas estructuras vendría a ser la celda unitaria (ver figuras).

Fig. Celdas unitarias típicas en las estructuras cristalinas de los metales Las cuatro estructuras citadas son muy compactas (densas). De hecho, las estructuras bcc y hc son las más compactas que puede haber, según se desprende del modelo de esferas duras en contacto; la estructura fcc es sólo algo menos densa. Los sólidos al equilibrio tienen sus átomos ordenados periódicamente y de la forma más compacta posible teniendo en cuenta tres factores: neutralidad eléctrica, número y orientación de los enlaces y, en el caso de haber más de un elemento químico, los radios relativos de dichos elementos. Para metales puros, todos los átomos son del mismo tamaño de manera que, dichas estructuras están densamente empaquetadas. Factor de Empaquetamiento Atómico La forma como los átomos se agrupan en el estado sólido, dicta las propiedades de los materiales. La disposición de los átomos depende de los radios relativos de los mismos que intervienen, y también del tipo de enlace de dichos átomos. Generalmente se acepta que la naturaleza favorece los arreglos y estados de la materia que tienden a minimizar los niveles de energía (energía potencial). Por ello podemos preguntarnos qué tan eficiente es en verdad el arreglo de un cristal y si es razonable asumir un empaquetamiento denso; para este último se parte de la premisa de que:  Generalmente sólo está presente un elemento, por lo que todos los radios atómicos son iguales.  El enlace metálico no es direccional.  Las distancias a los primeros vecinos tienden a ser cortas para disminuir la energía de enlace.

Entonces, para evaluar la eficiencia de la estructura cristalina o cuán eficiente están arreglados los átomos se calculará el volumen atómico contenido en la celda unitaria en relación con el volumen total de la celda unitaria, como sigue:

Conociendo el tipo de celda unitaria para un sólido cristalino particular y los radios atómicos correspondientes, es posible calcular la densidad real del sólido cristalino. De manera inversa, si conocemos la densidad y el tipo de la estructura, podemos calcular el radio atómico y la constante reticular o distancia interatómica. Al mismo tiempo, también obtenemos el factor de disposición atómica de un cristal.

Fig. Celda unitaria cúbica simple

Fig. Celda unitaria cúbica de cuerpo centrado y sección de la red cristalina

Fig. Estructura cristalina cúbica de caras centradas: (a) representación de la celda unitaria mediante esferas rígidas, (b) celda unitaria representada mediante esferas reducidas

Fig. Celda unitaria cúbica de caras centradas y compartición de las esferas atómicas

Fig. Celda unitaria hexagonal compacta y sus diferentes configuraciones

RED CRISTALINA En geometría y cristalografía las Redes de Cristalinas son una disposición infinita de puntos discretos cuya estructura es invariante bajo traslaciones (figura 37). En la mayoría de casos también se da una invariancia bajo rotaciones o simetría rotacional. Estas

propiedades hacen que desde todos los nodos de una red cristalina se tenga la misma perspectiva de la red. Se dice entonces que los puntos de una red cristalina son equivalentes. Mediante teoría de grupos se ha demostrado que solo existe una única red unidimensional, 5 redes bidimensionales y 14 modelos distintos de redes tridimensionales.

Fig. Sección de las redes cristalinas con celdas unitarias cubica de cuerpo centrado, cúbica de caras centradas y hexagonal compacta Es posible advertir que la relación c/a en la celda unitaria hexagonal compacta perfecta es de 1,633. En muchos metales, sin embargo, la razón difiere del valor ideal (por ejemplo, en el Zn es de 1,856; para el Cd, 1,885; para el Mg, 1,6236; para el Be, 1,5848; para el Ti, 1,568, y para las tierras raras, cerca de 1,57. Las estructuras cúbicas de caras centradas y las muy compactas hexagonales representan otras formas de ordenar átomos idénticos, tan compactos como sea posible. Solo existe una forma por la cual una sola capa de esferas de igual tamaño puede disponerse lo más densamente posible, y debe colocarse una segunda capa encima de la primera, de tal modo que sus esferas se adaptaran y llenaran los huecos que queden entre cada tres esferas de la capa inferior. A estas puede sumárseles una tercera capa en dos maneras diferentes, lo cual produce la misma disposición compacta, pero estructuras totalmente diferentes. En ambos tipos de disposición compacta cada átomo es rodeado por otros doce. La mayor parte de los sólidos metálicos cristalizan en las estructuras más compactas mencionadas. Existen, sin embargo, algunos metales como el manganeso, el mercurio, el galio y el indio, que no cristalizan en las estructuras simples corrientes de los metales, sino en estructuras mucho más complejas.

PROBLEMAS RESUELTOS Problema resuelto 1: La constante reticular del fierro alfa es de 2,86 Å y la del fierro gamma de 3,6Å. Determinar sus densidades. Peso Atómico del Fe = 55,85 Solución. Fe ( α ): Celda unitaria cúbica de cuerpo centrado Fe ( γ ): Celda unitaria cúbica de cara centrada.

a)

Cálculo de la densidad del Fe (α)

a = 2,86 Å =2,86 x 10 –8 cm

; P.A. = 55,85 g /át-g (Fe)

Celda unitaria = cúbica de cuerpo centrado

N° de átomos = 1/8 (8)+1 = 2 átomos de Fe Cálculo de la masa: 1 at-g (Fe) pesa 55,85 g 55,85 g. ---------------- 6,023 x 10 23 átomos Fe X --------------- 2 átomos Fe De donde: Densidad =

X= 1,854 x 10 -2 2 g Masa de los átomos de la c.u. Volumen de la c.u.

Densidad = 1,854 x 10 -22 g / (2,86 x 10 –8 cm) 3 = 7 ,92 g/cm 3

b)

Cálculo de la densidad del Fe (γ)

Datos: a = 3,6 Å = 3,6 x 10 –8 cm ; P.A. = 55,85 g. /át-g (Fe) Celda unitaria = cúbica de cara centrada

Rpta.

N° de átomos = 1/8 (8) + 1/2 (6) = 4 átomos de Fe Cálculo de la masa: 1 at-g. Fe pesa

55,85 g.

55,85 g. ------------- 6,023 x 10 23 átomos Fe X ------------- 4 átomos Fe De donde:

X= 3,709 x 10 -22 g.

Masa de los átomos de la c.u. Volumen de la c.u. Densidad = (3,709 x 10 -22 g) / (3,6 x 10 –8 cm) 3 = 7,94 g/cm 3

Densidad =

Rpta.

Problema resuelto 2: Entre las celdas unitarias cúbica de cuerpo centrado y cúbica de caras centradas, cuál tiene mayor porcentaje en volumen de espacios intersticiales libres en su interior. Calcularlos de ser posible. Solución. Se puede calcular de la siguiente manera: % Espacio intersticial = (1 – Factor de empaquetamiento) x 100 a)

Cálculo del espacio intersticial: c.u. cúbica de cuerpo centrado

De igual forma se calcula para este caso:

La diagonal de la celda unitaria en el espacio, se calcula de la siguiente manera: (a√2 ) 2 + a 2 = (4r) 2



a = 4r /√3

Por lo tanto: Factor de empaquetamiento: (F)

Y como: N° de átomos = 1/8 (8) +1 = 2 átomos F = 2(4/3 x π r 3 )/ (4r /√3) 3 F para la c.u. cúbica de cuerpo centrado = % Espacio intersticial

0,68

= (1-0,68) x 100 = 32 %

Rpta.

b) Cálculo del espacio intersticial: c.u. cúbica de caras centradas

De la configuración anterior :

a 2 + a 2 = (4r) 2



a = 4r /√2

Por lo tanto:

Y como: N° de átomos = 1/8 (8)+1/2 (6) = 4 átomos F = 4(4/3 x π r 3 ) / (4r /√2) 3 F para la c.u. cúbica de caras centradas =

0,74 (Factor de Compactación que equivale al 74%)

% Espacio intersticial = (1-0,74) x 100 = 26%

Rpta.

Problema resuelto 3: El aluminio tiene una celda unitaria cúbica de caras centradas y su radio atómico es de 1,423Å (= 142,3 pm). Calcular el parámetro de red de la celda y la densidad de ese metal. (Peso atómico = 26,98). Solución. La celda contiene: 4 átomos/celda [8 en los vértices (cada vértice 1/8 parte), 6 en el centro de cada cara (cada cara 1/2 parte)] Parámetro de red: los átomos están en contacto a lo largo de la diagonal de cada cara, luego, 4r Al = a (2) 1/ 2

a = 4(1,432Å)/(2) 1/2 = 4,050Å. Densidad (ρ Al ) = Masa/Volumen = Masa por celda unitaria/Volumen por celda unitaria, g/cm 3 Masa en la celda unitaria = masa de 4 átomos de Al = (26,98) (g/mol) (1mol / 6,023x10 23 atomos) (4 átomos/c.u.) = 1,792 x 10 -22 g/c.u. Volumen de la celda unitaria = a 3 = (4,05x10 -8 cm) 3 = 66,43x10 -24 cm 3 /c.u. Entonces, ρ Al = (1,792x10 - 22 g/c.u.) / (66,43x10 -24 cm 3 /c.u.) = 2,698 g/cm 3

Rpta.

Observación. - Las densidades calculadas se aplican a un cristal perfecto. Los cristales reales muestran por lo regular valores un poco menores que aquellos, debido a la presencia de defectos tales como vacíos o discontinuidades. Problema resuelto 4: El cobre tiene una estructura cristalina cúbica de caras centradas y un radio atómico de 0,1278 nm. Considerando que los átomos son esferas compactas que contactan a lo largo de las diagonales de la celdilla unidad fcc, calcular el valor teórico de la densidad del cobre en megagramos por metro cúbico. La masa atómica del cobre es 63,54 g/mol. Solución. Para la celda unitaria fcc, √2a =4r, donde a es la constante de red en la celda unitaria y R es el radio del átomo de cobre.

a = 4r/√2 = (4*0,1278 nm) /√2 = 0,361 nm En la celda unitaria fcc hay cuatro átomos/celda unitaria. Cada átomo de cobre tiene una masa de (53,54 g/mol)*(6,023×10 23 átomos/mol). Así, la masa m de los átomos de Cu en la celda unitaria es: m= [(4 átomos)*(63,54 g/mol)/(6,023×10 23 átomos/mol)]*(10*10 -6 Mg) /g = 4,22*10 -28 Mg El volumen V de la celda unitaria del Cu es: V = a³ = (0,361 nm * 10 -9 m/nm) 3 = 4,70 * 10 - 29 m 3 Densidad: ρ = m/V = (Masa celda unitaria) / (Volumen celda unitaria) ρ Cu = m/V

= 4,22 x 10 -28 Mg / 4,70 x 10 -29 m 3 = 8,98 Mg/m 3 (8,98 g/cm 3 )

Rpta.

PROBLEMAS PROPUESTOS 1.

Determinar la relación entre el radio atómico y el parámetro de red, en la estructura cúbica de caras centradas de la red cristalina de un metal.

2.

El papel de aluminio que se utiliza para guardar alimentos tiene aproximadamente un espesor de 0,0254 mm. Suponga que todas las celdas unitarias de aluminio están organizadas de manera que el parámetro de red es perpendicular a la superficie del papel. En el caso de una hoja cuadrada de 10,1 cm. de lado, determine el número total de celdas en la hoja.

3.

Calcule la relación que existe entre el parámetro de red a y el radio atómico r para las estructuras cúbica simple (cs), cúbica de cuerpo centrado (ccc) e cúbica de caras centradas (fcc). (Rpta: a = 2 r, a = 4 r / 2, a = 4 r /3)

4.

Determinar los parámetros de red (a y c) para la estructura hexagonal compacta del Zinc (Zn) si la relación c/a=1,856, ρ =7,13 g/cm 3 y peso atómico 65,39.

5.

Relacionar el volumen por átomo con el parámetro de las redes cs, fcc y bcc.

6.

Calcule el factor de empaquetamiento atómico das estructuras cs, bcc, fcc y hcp. Considere los átomos como esferas rígidas. (Rpta: 0,52, 0,68, 0,74, 0,74)

7.

Determine la densidad del Fe bcc con parámetros de red 286,6 pm. La masa atómica del Fe 55,85 g/mol. La densidad medida es 7,870 g/cm 3 . ¿Cómo explica la diferencia?

8.

El radio atómico del Fe es 0,124 nm. Calcular el parámetro de la red del Fe en las siguientes estructuras cristalinas (a) bcc y (b) fcc. (Rpta: 2,86×10 –8 cm y 3,51×10 –8 cm)

9.

¿Cuál es la densidad del Fe en la estructura cristalina bcc cuyo parámetro de red es 0,2866 nm?

10. Calcular la densidad del Vanadio (V) si su estructura cristalina es cúbica centrada en el cuerpo (bcc), su radio atómico r=0,132 nm y su peso atómico 50,94 g/mol. 11. Calcular la densidad del Platino (Pt) si su estructura cristalina es cúbica centrada en las caras (fcc), su radio atómico 0,139 nm y su peso atómico 195,1 g/mol. 12. Determinar qué tipo de estructura cúbica presenta un metal con: a. a=3,6147 Å y r=1,28 Å b. a=0,42906 nm y r=0,1858 nm 13. Determinar qué estructura cúbica presenta el Iridio (Ir) a partir de los siguientes datos: r=0,136 nm, peso atómico=192,2 g/mol, ρ =22,5 g/cm 3 14. Calcular el radio atómico del Plomo (Pb) sabiendo que su estructura es cúbica con un parámetro de red a= 4,9502 Å. Datos del Pb: peso atómico 207,2 g/mol, densidad 11,34 g/cm 3 . 15. El Zirconio (Zr) tiene estructura hexagonal compacta (hcp) con relación c/a=1,593. Si su radio atómico es de 0,160 nm y el peso atómico 91,22 g/mol, calcular su densidad. 16. El Aluminio tiene un radio atómico de 1,431 Ǻ y una estructura cúbica de caras centradas. Su peso atómico es 26,97. Calcular el Factor de Empaquetamiento y la densidad de este metal. 17. El Plomo tiene una estructura cúbica de caras centradas y su radio atómico es de 1,75 Amstrong. Determinar el parámetro de red, el factor de empaquetamiento y la densidad de este metal. Peso atómico del Pb = 207,21 18. El Molibdeno (Peso atómico = 95,94) tiene una celda unitaria cúbica de cuerpo centrado y una densidad de 10,2 g/cm 3 . Calcular su radio atómico y su factor de empaquetamiento....


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