Presentación funciones cuadráticas PDF

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Funciones cuadráticas...

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Formas cuadráticas Prof. Jesús Hernández Trujillo Facultad de Química, UNAM

Formas cuadráticas/Jesús Hernández Trujillo– p. 1/16

Ecuación cuadrática en dos variables: ax2 + 2bxy + cy 2 = d

Formas cuadráticas/Jesús Hernández Trujillo– p. 2/16

Ecuación cuadrática en dos variables: ax2 + 2bxy + cy 2 = d

Forma cuadrática en dos variables: q(x, y) = ax2 + 2bxy + cy 2

Formas cuadráticas/Jesús Hernández Trujillo– p. 2/16

Ejemplos: f (x, y) = x2 + y 2

2 1.5 1 –1

–1

0.5 –0.5

–0.5

0.5 1

0.5 1

Formas cuadráticas/Jesús Hernández Trujillo– p. 3/16

Ejemplos: f (x, y) = x2 + y 2 Contornos: f (x, y) = k En este caso: 2

circunferencias

1.5 1 –1

–1

0.5 –0.5

–0.5

0.5 1

0.5 1

Formas cuadráticas/Jesús Hernández Trujillo– p. 3/16

f (x, y) = 2x2 + xy + 3y 2

Formas cuadráticas/Jesús Hernández Trujillo– p. 4/16

f (x, y) = 2x2 + xy + 3y 2 Contornos?

Formas cuadráticas/Jesús Hernández Trujillo– p. 4/16

f (x, y) = 2x2 + xy + 3y 2 Contornos?

Elipses

Formas cuadráticas/Jesús Hernández Trujillo– p. 4/16

f (x, y) = 2x2 + xy + 3y 2 Contornos?

Elipses

Gráficas de las ecuaciones cuadráticas: cónicas Formas cuadráticas/Jesús Hernández Trujillo– p. 4/16

Cualquier forma cuadrática q(x, y) = ax2 + 2bxy + cy 2

puede expresarse como un producto matricial: ! !   a b x = X tM X x y b c y donde X=

x y

!

y

M =

a b b c

!

Formas cuadráticas/Jesús Hernández Trujillo– p. 5/16

Forma cuadrática en n variables {x1 , x2 , . . . , xn }: q(x1 , x2 , . . . , xn ) =

n n X X i

λij xi xj

j

En forma matricial: q(x1 , x2 , . . . , xn ) = X t ΛX

donde la matriz Λ tiene elementos (Λ)ij = λij

Formas cuadráticas/Jesús Hernández Trujillo– p. 6/16

A partir de la matriz Λ es posible obtener una matriz simétrica

tal que

 1 t M = Λ+Λ 2 q(x1 , x2 , . . . , xn ) = X t M X

M es simétrica pues M t = M

Además, toda matriz simétrica es diagonalizable

Formas cuadráticas/Jesús Hernández Trujillo– p. 7/16

Mediante una transformación lineal, es posible reducir cualquier forma cuadrática a la forma canónica: q(x1′ , x′2 , . . . , xn′ ) =

n X

di (xi′ )2 = X ′t DX ′

i

′ en las variables {x′1 , x2′ , . . . , xn }, donde  d1 0 . . . 0   0 d2 0 . . . D=  .. ... ... ...  .

0

...

0

dn

      Formas cuadráticas/Jesús Hernández Trujillo– p. 8/16

A partir de M se obtiene la matriz diagonal D mediante la ecuación de valores propios: M v = dv

o de manera equivalente: M v = dIv ;

(M − dI) v = 0

Formas cuadráticas/Jesús Hernández Trujillo– p. 9/16

A partir de M se obtiene la matriz diagonal D mediante la ecuación de valores propios: M v = dv

o de manera equivalente: M v = dIv ;

(M − dI) v = 0

Los valores propios se obtienen a partir de det (M − dI) = 0

Formas cuadráticas/Jesús Hernández Trujillo– p. 9/16

Sustituir d = d1 , d = d2 , . . . en la ecuación de valores propios: (M − d1 I) v1 = 0 , (M − dI) v2 = 0 . . .

Para obtener los vectores propios:    v 11      1  2 1 v =  v2  , v =     .. .

v12



  v22  , . . .  .. .

Formas cuadráticas/Jesús Hernández Trujillo– p. 10/16

La transformación lineal (rotación de coordenadas) se lleva a cabo con la matriz  1 1 ..  v v .  1 2 .    2 V =  v12 v2 ..  .. ... ... .

Formas cuadráticas/Jesús Hernández Trujillo– p. 11/16

La transformación lineal (rotación de coordenadas) se lleva a cabo con la matriz  1 1 ..  v v .  1 2 .    2 V =  v12 v2 ..  .. ... ... . La matriz diagonal es D = V tM V

Formas cuadráticas/Jesús Hernández Trujillo– p. 11/16

La transformación lineal (rotación de coordenadas) se lleva a cabo con la matriz  1 1 ..  v v .  1 2 .    2 V =  v12 v2 ..  .. ... ... . La matriz diagonal es D = V tM V

Las nuevas coordenadas son X ′ = V tX

Formas cuadráticas/Jesús Hernández Trujillo– p. 11/16

Ejemplo: Describe la cónica 2x2 + xy + 3y 2 = 2 La ecuación puede escribirse en forma matricial como X tM X = 2

donde X=

x y

!

y

M =

2

1 2

1 2

3

!

Formas cuadráticas/Jesús Hernández Trujillo– p. 12/16

√ 5+2 2

D=

0

0√ !

5−

2

=

3.207 0 0 1.793

2

y la matriz V =

0.383 −0.924 0.924 0.383

!

!

realiza la transformación a las nuevas coordenadas: ! ! ′ x 0.383x + 0.924y ′ t X = =V X= −0.924x + 0.383y y′

Formas cuadráticas/Jesús Hernández Trujillo– p. 13/16

Es decir, la matriz V realiza la rotación al nuevo sistema de coordenadas x′ = 0.383x + 0.924y y ′ = −0.924x + 0.383y

de donde x = 0.383x′ − 0.924y ′ y = 0.924x′ + 0.383y ′

Mediante combinaciones lineales de los vectores base {ˆ ı, ˆ} se obtiene {ˆ ı′ , ˆ′ }

Formas cuadráticas/Jesús Hernández Trujillo– p. 14/16

Es decir, la matriz V realiza la rotación al nuevo sistema de coordenadas x′ = 0.383x + 0.924y y ′ = −0.924x + 0.383y

de donde x = 0.383x′ − 0.924y ′ y = 0.924x′ + 0.383y ′

Mediante combinaciones lineales de los vectores base {ˆ ı, ˆ} se obtiene {ˆ ı′ , ˆ′ } Calcula los vectores ˆı′ y ˆ′ Formas cuadráticas/Jesús Hernández Trujillo– p. 14/16

Al sustituir x y y en 2x2 + xy + 3y 2 = 2

se obtiene la ecuación de la cónica en los ejes x′ y y ′ : 3.208(x′ )2 + 1.794(y ′ )2 = 2

o bien 

x′ 0.790

2

+



y′ 1.506

2

=1

Formas cuadráticas/Jesús Hernández Trujillo– p. 15/16

Al sustituir x y y en 2x2 + xy + 3y 2 = 2

se obtiene la ecuación de la cónica en los ejes x′ y y ′ : 3.208(x′ )2 + 1.794(y ′ )2 = 2

o bien 

x′ 0.790

2

+



y′ 1.506

2

=1

¿A qué tipo de lugar geométrico corresponde?

Formas cuadráticas/Jesús Hernández Trujillo– p. 15/16

Se trata de una elipse: y

x′

y′ x

x′

y′ Formas cuadráticas/Jesús Hernández Trujillo– p. 16/16...