Prüfung 4 März 2008, Fragen und Antworten - für Ingenieurstudiengänge (zweistündig) PDF

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für Ingenieurstudiengänge (zweistündig)...

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Vordiplomklausur

Hohere Mathematik I/II

04. 03. 2008

2. Klausur der Diplomvorprufung ¨ f¨ur aer, bau, iui, tpbau Bitte beachten Sie die folgenden Hinweise: • Bearbeitungszeit: 120 Minuten • Erlaubte Hilfsmittel: Vier Seiten DIN A4 eigenh¨andig beschrieben. • Bearbeitungen mit Bleistift oder Rotstift sind nicht zula ¨ssig! • In den Aufgaben 1–4 sind die vollst¨andigen L¨osungswege mit allen notwendigen Begr¨undungen anzugeben. Die Bearbeitung dieser Aufgaben nehmen Sie bitte auf gesondertem Papier vor. Beginnen Sie jede Aufgabe auf einem neuen Blatt. • In den Aufgaben 5–6 werden nur die Endergebnisse gewertet. Diese sind in die vorgegebenen

K¨asten einzutragen. Nebenrechnungen sind hier nicht verlangt und werden deshalb auch nicht

eingesammelt. • Folgende Ableitungen, Stammfunktionen und Funktionswerte k¨onnen Sie ohne weitere Herleitung verwenden. Alle anderen Ableitungen und Stammfunktionen m¨ussen begr¨undet werden. f (x) d f (x) dx

xa

ex

a−1

x

a·x

e

f (x)

tan x

arctan x

d f (x) dx

1 (cos x)2

1 1 + x2

ln |x| 1 x sinh x cosh x

bx ln b · b

sin x x

cosh x sinh x

cos x cos x

(a ∈ R)

(b ∈ R+ )

− sin x

x

sin(x)

cos(x)

0

0

π 6

1 2

1 √ 1 2

3

√ 1

2

π 4

√ 1 2

2

π 3

√ 1

3

π 2

1

2

2

1 2

0

• Die Pr¨ufungsergebnisse werden vorausssichtlich ab 8. April 2008 u ¨ber das Studenteninformationssystem Universit¨ at Stuttgart (https://studius.uni-stuttgart.de/) bekanntgegeben. Viel Erfolg! Hinweise fu ¨ r Wiederholer: Studierende, die diese Pr¨ufung als Wiederholungspr¨ ufung schreiben, werden darauf hingewiesen, dass zu dieser Wiederholungspr¨ufung f¨ ur bestimmte Fachrichtungen eine m¨undliche Nachpr¨ufung geh¨ort, es sei denn, die schriftliche Pr¨ufung ergibt mindestens die Note 4,0. Wiederholer, bei denen eine m¨undliche Nachpr¨ufung erforderlich ist, m¨ ussen sich vom 14. 04. bis 24. 04. 2008 bei Frau Stein (Raum V57.8.130, nur vormittags) einen Termin hierf¨ ur geben lassen. Eine individuelle schriftliche Benachrichtigung erfolgt nicht! Sie sind verpflichtet, sich rechtzeitig u¨ber das Ergebnis der schriftlichen Pr¨ufung zu informieren und sich ggf. zum vereinbarten Zeitpunkt f¨ ur die m¨undliche Nachpr¨ ufung bereitzuhalten. Mit Ihrer Teilnahme an dieser Pr¨ ufung erkennen Sie diese Verpflichtungen an.

Vordiplomklausur

H¨ ohere Mathematik I/II

04. 03. 2008

Aufgabe 1 (5 Punkte ) Gegeben sei die Matrix A=

3 2!

. 2 0 (a) Diagonalisieren Sie die Matrix A und geben Sie die Transformationsmatrix und die Diagonalmatrix an. (b) Bestimmen Sie A100 . Aufgabe 2 (12 Punkte ) Gegeben sind das Standard-Koordinatensystem E und das affine Koordinatensystem         −2 2 3 2                  F =  2  ;  2  ,  −3  ,  −3   1

−3

4

im R3 sowie die lineare Abbildung α : R3 → R3 : v 7→ Av  1 4 0   A =  −3 0 4 2 3 −2

3

mit   . 

Geben Sie die Koordinatentransformationen κ und κ sowie die Beschreibung der Abbildung α E F

F E

bzgl. des Koordinatensystems F an. Aufgabe 3 (7 Punkte ) Berechnen Sie die folgenden bestimmten und unbestimmten Integrale: Z 8 1 (a) dx 9 − 4x2 Z4 5e5x dx (b) 1 + e10x Aufgabe 4 (9 Punkte ) Gegeben seien die Funktionen f1 : R2 → R : (x, y) 7→ x2 + y 2 − 4x + 4y,

f2 : R2 → R : (x, y) 7→ (x − y )2 − 4(x − y ),

sowie f : R2 → R : (x, y ) 7→ f1 (x, y )f2 (x, y ). (a) Skizzieren Sie die Vorzeichenverteilung der Funktion f . Begr¨unden Sie Ihre Skizze. (b) Welche Sattelpunkte von f k¨onnen Sie aus Ihrer Skizze ablesen? Begr¨ unden Sie, warum diese Punkte kritische Punkte bzw. Sattelpunkte sind.

Vordiplomklausur

H¨ ohere Mathematik I/II

04. 03. 2008

Name,

Matrikel-

Studien-

Vorname:

Nummer:

gang:

Aufgabe 5 (3 Punkte ) Gegeben sind die Mengen M1 = {z ∈ C | Re(z) Im(z) ≧ 0} und M2 = {z ∈ C | |z + z¯| + |z − z¯| ≦ 4} in der komplexen Zahlenebene. Skizzieren Sie M1 , M2 und M1 ∩ M2 . Im z

1

1

Re z

Aufgabe 6 (7 Punkte ) Gegeben sei das Vektorfeld 2

2

f : R → R : (x, y ) 7→ f (x, y ) =

2xy 2 − α2 y + 3x2 2x2 y − x

und die Kurven ⊺

C1 : [0, 1] → R2 : t 7→ (t, t) , ⊺

C2 : [0, 1] → R2 : t 7→ (t, t2 ) . F¨ur welche Werte von α existiert zu f ein Potential?

Geben Sie f¨ur diese Werte ein Potential an:

Berechnen Sie f¨ur α = 4 das Wegintegral

Z

f (x, y) d s =

Z

f (x, y) d s =

C1

Berechnen Sie f¨ur α = 2 das Wegintegral

C2

!

Musterl¨ osung

H¨ ohere Mathematik I/II

04. 03. 2008 - Di 2h

2. Klausur der Diplomvorprufung - Musterl¨ osung ¨ fu ¨ r aer, autip, bau, fmt, immo, mach, tema, tpbau, tpmach, umw, verf, wewi Aufgabe 1 (5 Punkte) Gegeben sei die Matrix 3 2

A=

2 0

!

.

(a) Diagonalisieren Sie die Matrix A und geben Sie die Transformationsmatrix und die Diagonalmatrix an. (b) Bestimmen Sie A100 .

(a) Das charakteristische Polynom der Matrix ist χA (λ) = λ2 − 3λ − 4 . Damit erha¨lt man die Eigenwerte λ1 = −1 und λ2 = 4 mit den zugeh¨origen normierten

Eigenvektoren

!

1

1 v1 = √ 5

−2

2

1 und v2 = √ 5

1

!

.

Damit ist eine m¨ogliche Transformationsmatrix 1 2

1 T = √ 5

−2 1

!

und die Diagonalmatrix ⊺

D = T AT = (b) Es gilt

−1 0 0 4

!

.

  ⊺ ⊺ 100 A100 = T DT = T D 100 T ,

und mit

D 100 =

1

0

0 4100

!

.

ist 100

A

= TD

100

1 T = 5 ⊺

1 + 4101 −2 + 2 · 4100

−2 + 2 · 4100

4 + 4100

!

.

Musterl¨ osung

H¨ ohere Mathematik I/II

04. 03. 2008 - Di 2h

Aufgabe 2 (12 Punkte) Gegeben sind das Standard-Koordinatensystem E     −2 2      2  ; 2  F=     1 −3

und das affine Koordinatensystem     3 2      ,  −3  , −3     4 3

im R3 sowie die lineare Abbildung α : R3 → R3 : v 7→ Av mit   1 4 0   A= 4  −3 0 . 2 3 −2

Geben Sie die Koordinatentransformationen κ und κ sowie die Beschreibung der Abbildung α E F

F E

bzgl. des Koordinatensystems F an.

Man erha¨lt mit der Formel κ (v) = F v + P aus der Vorlesung direkt E F 

 κ : v 7→   E F

−2

3

2





2



    2  v + 2 −3 −3     1 −3 4 3

und mit der Formel κ (v) = F −1 (v − P ) fu¨r die Umkehrabbildung F E



 κ : v 7→   F E

3 −1 −3





2





3 −1 −3





−1



             0 −2  0 −2   v +  −4  .  v −  2   =  3 1 −1 −1 0 −1 −1 0 4 3

Nach Satz 4.7.12 wird die Abbildung α bzgl. des Koordinatensystems F durch    0 −1 −3 7    −1 −1   v 7→ F AF v + F (AP − P + t) =   2 −5 −8  v +  10 0 2 4 −4

mit t = 0 beschrieben.

   

Musterl¨ osung

H¨ ohere Mathematik I/II

04. 03. 2008 - Di 2h

Aufgabe 3 (7 Punkte) Berechnen Sie die folgenden bestimmten und unbestimmten Integrale: Z 8 1 dx (a) 9 − 4x2 4 Z 5e5x (b) dx 1 + e10x (a) Z

4

8

1 dx = 9 − 4x2

Z

8 4

1 6



1 1 + 3 + 2x 3 − 2x



dx

i8 1 h ln |3 + 2x| − ln |3 − 2x| 12 4  1  ln(19) − ln(11) − ln(13) + ln(5) = 12 =

(b) Mit der Substitution t = e5x ergibt sich Z

dt dx

= 5e5x und damit:

Z 1 5e5x dt dx = 10x 1 + t2 1+e = [arctan(t)]   = arctan(e5x )

Musterl¨ osung

H¨ ohere Mathematik I/II

04. 03. 2008 - Di 2h

Aufgabe 4 (9 Punkte) Gegeben seien die Funktionen f1 : R2 → R : (x, y) 7→ x2 + y 2 − 4x + 4y,

f2 : R2 → R : (x, y) 7→ (x − y)2 − 4(x − y), sowie f : R2 → R : (x, y ) 7→ f1 (x, y )f2(x, y ). (a) Skizzieren Sie die Vorzeichenverteilung der Funktion f . Begr¨unden Sie Ihre Skizze. (b) Welche Sattelpunkte von f ko¨nnen Sie aus Ihrer Skizze ablesen? Begru ¨ nden Sie, warum diese Punkte kritische Punkte bzw. Sattelpunkte sind.

(a) Fu¨r f1 ergibt sich mittels quadratischer Erganzung: ¨ f1 (x, y) = (x2 − 4x + 4) − 4 + (y 2 + 4y + 4) − 4 = (x − 2)2 + (y + 2)2 − 8.

Weiterhin ist f2 (x, y) = (x − y − 4)(x − y). Die Nullstellenmenge von f1 ist somit ein Kreis um (2, −2) mit Radius lenmenge von f2 sind zwei Geraden mit Normalenvektor (1, −1)

⊺

√

8, die Nullstel-

durch die Punkte (0, 0)

beziehungsweise (4, 0) .

Als Nullstellenmenge von f ergibt sich somit die Vereinigung der beiden Nullstellenmengen von f1 und f2 . Betrachtet man die Vorzeichenverteilung der Funktion f1 , so erha¨lt man durch Punktprobe f1 (2, −2) = −8 < 0 und f1 (0, 1) = 5 > 0. F u ¨ r f2 ergibt sich f2 (−1, 0) = 5 > 0, f2 (1, 0) = −4 < 0 und f2 (5, 0) = 5 > 0.

Man erha¨lt somit folgende Vorzeichenverteilung von f :

+

− +

−

− +

Musterl¨ osung

H¨ ohere Mathematik I/II

04. 03. 2008 - Di 2h

(b) In der Skizze liest man folgende Punkte als Verzweigungspunkte der Nullstellenmenge ab: P1 = (0, 0) , P2 = (4, 0) und P3 = (0, −4) . Diese Punkte sind tatsa¨chlich kritische Punkte. Denn fur ¨ alle Punkte ist die Richtungsablei⊺

tung in Richtung (1, 1) gleich 0. Weiterhin sieht man aus der Vorzeichenverteilung, dass P1 ein Tiefpunkt in Richtung (1, −1)

⊺

ist und somit die Richtungsableitung in diese Richtung ⊺

ebenfalls 0 ist. Fu¨r P2 und P3 ist die Richtungsableitung in Richtung (1, −1) gleich 0, da dies Tangenten an den Nullstellenkreis sind.

Somit handelt es sich bei allen drei Punkten um kritische Punkte, weiterhin existiert zu jedem der drei Punkte und zu jeder Umgebung ein Bereich, an dem f > 0 gilt und einer, an dem f < 0 gilt, somit handelt es sich um Sattelpunkte.

Musterl¨ osung

H¨ ohere Mathematik I/II

04. 03. 2008 - Di 2h

Aufgabe 5 (3 Punkte) Gegeben sind die Mengen M1 = {z ∈ C | Re(z) Im(z) ≧ 0} und M2 = {z ∈ C | |z + z¯| + |z − z¯| ≦ 4} in der komplexen Zahlenebene. Skizzieren Sie M1 , M2 und M1 ∩ M2 . Im z

M1 1 M1 ∩ M2 M2

1

Re z

Aufgabe 6 (7 Punkte) Gegeben sei das Vektorfeld f : R2 → R2 : (x, y ) 7→ f (x, y ) =

2xy 2 − α2 y + 3x2 2x2 y − x

!

und die Kurven ⊺

C1 : [0, 1] → R2 : t 7→ (t, t) , ⊺

C2 : [0, 1] → R2 : t 7→ (t, t2 ) . Fu¨r welche Werte von α existiert zu f ein Potential?

Geben Sie fu¨r diese Werte ein Potential an:

Berechnen Sie f ¨ur α = 4 das Wegintegral

α ∈ {2} x2 y 2 − xy + x3

Z

f (x, y) d s =

1 2

Z

f (x, y) d s =

1

C1

Berechnen Sie f ¨ur α = 2 das Wegintegral

C2...