PRINCIPIOS DE OLIMPIADA PDF

Preview

Summary

ｾ＠ ....,.., .. ....."',. . . . . •. 1. . . . . . • r ,..,_., .. .,·• " • ... • " .. :e ｾ＠ ｾ＠ Instituto de Matemáticas, UNAM PRINCIPIOS DE OLIMPIADA Alejandro lllanes Mejfa CUADEI1NOS DE OLIMPIADAS llf MAIEMAliCAS COMITÉ EDITORIAL Luis Briseño Aguirre, Facultad de Ciencias, UNAM. I...

Description

ｾ＠

....,.., ..

....."',. . . . . •. 1. . . . . . • r

,..,_.,

..

.,·•

...

"

•

•

..

"

ｾ＠

:e

ｾ＠

Instituto de Matemáticas, UNAM

PRINCIPIOS DE OLIMPIADA Alejandro lllanes Mejfa

CUADEI1NOS DE OLIMPIADAS llf MAIEMAliCAS

COMITÉ EDITORIAL Luis Briseño Aguirre, Facultad de Ciencias, UNAM. Ignacio Barradas Bribiesca, CIMAT. Alejandro lllanes Mejia, lnstiruto de Matemáticas, UNAM.

e

e UNAS PALABRAS DE LOS EDITORES Uisfmtú nse momento como niugiÍll otro en HU vida. Ahí eHtaba de pie, rPcihimHlo la primPra mPdalla de oro para un estudiilnte mexicano en una ;HH

('H) (i

11! ·-= ¡¡t:;¡¡¡¡

ＱｾａＲｉﾷｬＺ｜＠ ...... --·-·m---·· ,...

e

e 28

CAPÍTULO 3.

29

COMI3INJ\TOTUJ\

EJEMPLO. Madame Lulú nos ha dado nn pwdicc:ión para los dos pró-ximos concursos de melat.e. Nos ha dicho que para esta semana van a salir 3 números pares y tres impares. Mientras que para la próxima smnaua 2 números estarán entre 1, 2, ... , 15, 2 números estarán entre 16, 17, ... ,JO y dos números estarán entre 31, 32, ... , 44. ¿Cuál de las dos predicciónes es mejor? O dicho de otra manera, si jugaramos a todas la.'> combinaciounH po(>ibles con las características que nos dió Madame Lulú, ¡,en cuál de la.'i dos semanas tendríamos que invertir menos dinero?

('otilo sil'lltpn!, aulcs «k l'llllllciar d c·uarto principio, veamos un ejemplo.

EJEMPLO. Este ejemplo t.ieiH\ que ver con el conteo del mímero dc- subconjuntos que tiene un conjunto dado. Empecemos por contar el uúuwro de subconjuntos de conjuntos pmlueños. El conjunto { 1} sólo tiene dos subconjuntos a saber 0 (el conjunto vacío) .V {

Para la primera semana, se deben escoger 3 elementos del conjunto {2, 1, ... , 44} y tres dementos de { 1, 3, ... , 43}. En los dos cmms tenemos dos cantidade.s mencionadas. Por tanto, para la primera semana se tienen = 22 261 20 . ＲＭｾＱＰ＠ = 2, 371, 600.

e

en .en

Para la seg!Jnda semana, hay que elegir los dos primeros números de un conjunto de 15 elementos, entonces los 2 primeros números se puedm1 formas. Lo mismo ocurre para los ｳ｣ｾｧｵｮ､ｯ＠ l.'í !IIÍIIWWS y escoger de

en

los terceros 2 números se pueden escoger de semana tenemos ｃｾＩ＠ [)p ttlllllf\l"/1.

ｱｷｾ＠

1\H

. e25) . c24) =

ttwjor la

ﾡｵﾷﾫｾＨ｣､＼Ｇｊｉ＠

C formas. Por tanto, 4 ) 2

105. 105. Dl de la ｳｱｾＱｵｬ｡Ｎ＠

=

m1

esta

1, 002, 27fi dl'ccioiii'S. Hl!llllllllt..

Ejercicio 8. ¿Cuántas diagonales tiene un polígono convexo dP n lados? Se entiende que una diagonal es cualquior segmento qtw mm dos vértices del polígono y que no sea un lado. Ejercicio 9. Pruebe de dos manera. distintas. ¡,Cwínt.a.o.; manos tienen fior de ｾｳｰ｡､Ｎ＿＠ Respuesta: Ｈｾ Ｓ Ｉ＠ = 1, 287. Porque sn forma la mano escogiendo 5 dP las trece cartas dP Pspadas. ¡,Cuántas manos tienen fiur? Respuesta: 4 · Ｈｾ llorns d1' cuatro palOl; ､ｩｦｬＡＧｾｓＮ＠

Ｑ

Ｉ＠ = 5, 148. Porque hay

¡,Cuántas manos tiPnen flor escalera c:on espada.? RespuPsta: esta..'3 lllHIH>s se pw•dn11 ""llt.;rr, ＼Ｇｯｮｳｩ､Ｈｾｲ｡＠ priHH'ro la qrw ｐｬｰｩｮ［ｾＬ｡＠ con as, la. qnt• .'!.

i.Cwintas manos tienen flor e¡.;ca!Pra'! ｈ｣ｳｰｵＨｾＺＭ［ｴＮ｡＠

e

COl\WlN!\'l'U/U¡1

D· 4

33

G)

y nada más, el par de ases puede srr Pscogido de maneras distinta. la.'> raíces racionales de 10:r:1 -- 12:r: 2 + :l:r: + ;¡ · . ll. Pruebe que los únicos enteros positivos que tienen raíz cuadrada raciomd son 1,4,9, 16,25, ...

12. ｐｮｷｩｈｾ＠ que si un ｈￚｬｾｲｯ＠ real tierw una expansión decimal periódic y ns las páginas cuyo número no sea primo relativo con él y que no se hayan leído antes. Este proceso (tomar el último número de las ｱｭｾ＠ uo se han leído y leer la.., páginas cuyo número no sea primo relativo con él y que no se hayan leído antes) continúa hasta terminar de leer ＼ｾＡｬｩ｢ｲｯＮ＠ ¡,Cuál es ＼ｾＱ＠ rnírnero de la última página que se debe leer?

a la 400 y q1w ekbe ｳ･ｾｲ＠

5. Sea A 13C D 1111 cuadrihl.tcro ｣ｯｵｷｾｸ＠ (cada uno de sus ángulos es menor que 180") y considere los pies de las alturas de los cuatro triángulos . que se pueden formar con los vértices A, B, C y D. Demuestre que no importa que illa dd mismo número). En la part!) central de la mesa hay 1996 focos apagados. Cada minuto todas las fichas se desplazan simultáneamente, en forma circular (en el mismo sentido de la nunwradón), como sigue: la ficha #1 se desplaza una. ca...;;illa, la ficha #2 se desplaza dos casillas, la ficha #3 se desplaza 3 casillas, etcétera, pudiendo varias ficha..;; ocupar la misma posición. Cada vez que una ficha comparte ca.illa con la ficha #1, se prende uno de los focos (se prenden tantos focos corno fichas estén compartiendo la posición de la ficha # 1 en f\Sfl momento). ¿En dónde P$t.ará la fieha #len el primer momento en que ya todos los focos estén prendidos? 3. Demuestre que no es posible cubrir la cuadrícula de 6em. x () cm. con 18 rectángulos de 2cm. x 1em. de tal manera que cada una dP )m; recta.c; de longitud 6 cm. que forman la cuadrícula y qtw erst1ln Pll ni interior de la misma pase por uno de los rectángulos. Dcnmest.rn t.ambih1 que sí es posible cubrir una cuadrícula de 6cm. x 5cm. con 15 rectángulos de 2cm. x lcm. de tal manera que cada una de hu.; rectas ､Ａｾ＠ !í cm. () () crn.

70

Ａｰｩｾ＠ d

linlll positivo, se (Hllle 1m A'. Por ejemplo, si A= {2, 8, 13, 20}, eut.once:-; algunos f'idulo 100. Todos los rnírrH•ros 11, 111, ... , 1111111111 son LIMPIADA

l. T'rac:e la diagonal AC. Sna 111 d pnnt.o de iut.nrs(•n·ic'm de la:-; diagonales JlC y 13D. La c:law ､｣ｾ＠ estP problema está en probar, para. (i), y observar, para (ii), qw• AF es una IIIPdiana del tri;1.ngulo ADC. 2. J•;u 1'1 tuiuuto i, la lil'lta H t cWII('111'1Í la posil'iúut + 1 (lllc'Hilllo (j.¡ ). En gc!ueral, la Jidm #n oII\'...