124419195 Examen de Olimpiada de Matematicas Resuelto PDF

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Problemas para la 19a Olimpiada Mexicana de Matem´aticas (Problemas Introductorios)

Editado por:

Jes´ us Jer´ onimo Castro Jos´ e Luis Alonzo Vel´ azquez Mart´ın Eduardo Fr´ıas Armenta Octavio Arizmendi Echegaray

2005

Jes´ us Jer´ onimo Castro Estudiante, Centro de Investigaci´ on en Matem´ aticas, A.C. Mart´ın Eduardo Fr´ıas Armenta Profesor-Investigador, Depto. de Matem´aticas, Universidad de Sonora. Jos´ e Luis Alonzo Vel´ azquez Estudiante, Facultad de Matem´ aticas, Universidad de Guanajuato. Octavio Arizmendi Echegaray Estudiante, Facultad de Matem´ aticas, Universidad de Guanajuato.

Contenido

.

.

Presentaci´ on . Etapas de la Olimpiada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Resumen de Resultados . Resultados de M´ exico en las Olimpiadas Internacionales . . Resultados del Concurso Nacional de la 18a. OMM . . . . Agradecimientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Informaci´ on sobre la Olimpiada . . . . . . . . . . . . . . .

III

iv V

. v . viii . ix . ix

.

Enunciados de los Problemas

1

.

Soluciones de los Problemas

21

.

Concentrado de Respuestas

49

II

Presentaci´ on

Presentaci´ on

La Sociedad Matem´ atica Mexicana organiza la 19 a Olimpiada Mexicana de Matem´ aticas. Los ganadores del certamen formar´an las selecciones que participar´ an en las distintas Olimpiadas Internacionales del a˜ no 2006: la XVIII Olimpiada de la Cuenca del Pac´ıfico que se llevar´ a a cabo en el mes de marzo en M´exico y los ex´ amenes se corregir´ a n en Corea, la 47 a Olimpiada Internacional se llevar´ a a cabo en Slovenia durante el mes de julio, la XXI Olimpiada Iberoamericana de Matem´ a ticas que se realizar´ a en septiembre en Ecuador y la VIII Olimpiada Matem´ atica de Centroam´erica y el Caribe que se celebrar´ a en Panam´ a en el mes de julio. En la 19a Olimpiada Mexicana de Matem´ aticas pueden participar los estudiantes de M´exico nacidos despu´ es del 1o de agosto de 1986. Los concursantes deber´an estar inscritos en una instituci´ on preuniversitaria durante el primer semestre del ciclo escolar 2005-2006 y, para el 1o de julio de 2006, no deber´ an haber iniciado estudios de nivel universitario. La intenci´ on de esta publicaci´ on es que sirva como orientaci´ on a los alumnos que desean participar en estas olimpiadas. Los problemas que aparecen aqu´ı no son ejercicios rutinarios o en los que se apliquen directamente los conocimientos que se adquieren en la escuela, son problemas que requieren de una buena dosis de ingenio y de esfuerzo para ser resueltos. Como en todos los aspectos del aprendizaje de las matem´ aticas, el esfuerzo individual y el enfrentamiento solitario con los problemas son importantes, pero tambi´en es muy importante la discusi´ on con los compa˜neros y los profesores. Una forma de manifestar creatividad en matem´ a ticas es resolviendo problemas. Otra forma, que a veces requiere de m´ as madurez, es invent´ andolos. Invitamos a todos los lectores de este folleto: profesores, estudiantes, ol´ımpicos y exol´ımpicos a que nos env´ıen problemas con soluci´ on. Las aportaciones ser´ an consideradas

IV

Presentaci´ on

para su inclusi´ on en ex´ amenes o en futuros folletos. Este folleto incluye problemas de los ex´ amenes estatales de: Aguascalientes, Baja California, Coahuila, Distrito Federal, Estado de M´exico, Hidalgo, Jalisco, Morelos, Nuevo Le´ on, San Luis Potos´ı, Sonora y Zacatecas.

Etapas de la Olimpiada La Olimpiada Mexicana de Matem´ aticas consta de tres etapas: Ex´ amenes Estatales. Estos ex´ amenes servir´ an para formar las selecciones estatales que asistir´ an al Concurso Nacional. Concurso Nacional. Este concurso se llevar´a a cabo en la ciudad de Campeche, Campeche, del 6 al 12 de noviembre de 2005. En ´el, se elegir´ a a la preselecci´ on mexicana. Entrenamientos. A los alumnos de la preselecci´ on que surjan del Concurso Nacional se les entrenar´ a intensivamente durante el primer semestre del a˜ no 2006. Tambi´en, se les aplicar´an ex´ amenes para determinar a los que representar´ an a M´exico en las olimpiadas internacionales. La participaci´on en las tres etapas mencionadas es individual.

Presentaci´ on

V

Resumen de Resultados En el a˜ no de 1987 la Sociedad Matem´ atica Mexicana organiz´ o la Primera Olimpiada Mexicana de Matem´ aticas. A partir de esa fecha, los concursos nacionales se han celebrado anualmente en las ciudades de Xalapa, Hermosillo, Metepec, Guanajuato, Oaxtepec, La Trinidad, Acapulco, Guadalajara, Colima, M´ erida, Monterrey, Quer´etaro, Oaxaca, Morelia, Oaxtepec, Colima, Guanajuato e Ixtapan de la Sal.

Resultados de M´ exico en las Olimpiadas Internacionales Los resultados de las Delegaciones Mexicanas en las Olimpiadas Internacionales, Iberoamericanas y Centroamericanas han sido los siguientes:

Olimpiada Internacional de Matem´ aticas a˜ no 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004

pa´ıs sede Australia Rep. Fed. de Alemania Rep. Popular de China Suecia Rusia Turqu´ıa Hong Kong Canad´ a India Argentina Taiw´ an Rumania Corea Estados Unidos Escocia Jap´ on Grecia

no. de pa´ıses 49 50 54 55 56 73 69 74 75 82 75 81 82 83 84 82 84

lugar de M´ exico 37 31 36 35 49 63 65 59 53 32 44 52 30 46 46 41 37

La 45a Olimpiada Internacional de Matem´ aticas se llev´ o a cabo en Atenas, Grecia, del 4 al 18 de julio de 2004. La delegaci´ on que represent´ o a M´exico

Presentaci´ on

VI

estuvo integrada por los alumnos: Marco Antonio Figueroa Ibarra (Sonora), H´ector Daniel Garc´ıa Lara (Chihuahua), Rosemberg Toal´ a Enr´ıquez (Chiapas), Gonz´ alo Arturo Montalv´ an G´ amez (Puebla), Carlos Vargas Obieta (Jalisco), Cristos Alberto Ruiz Toscano (Jalisco). Se obtuvieron 3 medallas de bronce (Marco Antonio, H´ ector Daniel y Carlos) y una menci´ on honor´ıfica (Cristos Alberto). M´exico ocup´ o el lugar 37 de 84 pa´ıses participantes.

Olimpiada Iberoamericana de Matem´ aticas a˜ no 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004

pa´ıs sede Cuba Espa˜ na Argentina Venezuela M´exico Brasil Chile Costa Rica M´exico Rep´ ublica Dominicana Cuba Venezuela Uruguay El Salvador Argentina Espa˜ na

no. de pa´ıses 13 15 16 16 16 16 18 17 17 18 20 21 21 22 19 22

lugar de M´ exico 3 3 5 6 9 6 9 2 3 5 3 2 3 3 4 5

La XIX Olimpiada Iberoamericana se llev´ o a cabo en Valencia, Espa˜na, del 19 al 25 de septiembre de 2004. Los alumnos que concursaron fueron: Marco Antonio Figueroa Ibarra (Sonora), H´ ector Daniel Garc´ıa Lara (Chihuahua), Gonz´ alo Arturo Montalv´ an G´ amez (Puebla), Cristos Alberto Ruiz Toscano (Jalisco). Se obtuvieron, una medalla de oro (Marco Antonio), dos de plata (Cristos Alberto y H´ector Daniel) y una de bronce (Gonz´ alo Arturo). M´ exico ocup´ o el quinto lugar de 22 pa´ıses que participaron.

Presentaci´ on

VII

Olimpiada Matem´ atica de Centroam´ erica y el Caribe a˜ no 1999 2000 2001 2002 2003 2004

pa´ıs sede Costa Rica El Salvador Colombia M´exico Costa Rica Nicaragua

no. de pa´ıses 10 9 10 8 11 12

lugar de M´ exico 2 2 2 1 1 1

Entre el 7 y el 11 de junio, se celebr´ o en Managua, Nicaragua, la VI Olimpiada Matem´ atica de Centroam´erica y el Caribe. La delegaci´ on mexicana estuvo integrada por los alumnos: Isaac Buenrostro Morales (Jalisco), Pablo Sober´ on Bravo (Morelos) y David Guadalupe Torres Flores (Guanajuato). Los alumnos obtuvieron 3 medallas de oro y M´exico ocup´ o la posici´ on n´ umero uno de doce pa´ıses participantes. En total, en las olimpiadas internacionales se han obtenido tres medallas de plata, veinticuatro medallas de bronce y dieciocho menciones honor´ıficas. En las olimpiadas iberoamericanas se han obtenido once medallas de oro, veinticuatro medallas de plata, veintid´ os medallas de bronce y tres menciones honor´ıficas. En las olimpiadas centroamericanas se han obtenido diez medallas de oro, seis medallas de plata y dos de bronce.

Olimpiada Matem´ atica de la Cuenca del Pac´ıfico

Desde 1991, los ganadores del Concurso Nacional participan anualmente en la Olimpiada de Matem´ aticas de la Cuenca del Pac´ıfico. No existe un registro estad´ıstico sobre la participaci´ on de M´ exico. El a˜no pasado M´ exico particip´ o tambi´en en esta olimpiada que se llev´ o a cabo en marzo. Esta olimpiada se realiza por correo y los ex´ amenes son calificados por el pa´ıs sede, el cual elabora tambi´en el ex´ amen. En 2004 el pa´ıs organizador fue Canad´ a. Marco Antonio Figueroa Ibarra (Sonora) obtuvo medalla de oro, H´ector Daniel Garc´ıa Lara (Chihuahua), Rosemberg To´ ala Enr´ıquez (Chiapas) y Luis Alberto Mart´ınez Chigo (Veracruz) obtuvieron medalla de bronce.

VIII

Presentaci´ on

Resultados del Concurso Nacional de la 18a. Olimpiada Mexicana de Matem´ aticas En noviembre de 2004 se llev´ o a cabo en Ixtapan de la Sal, Edo. de M´exico, el Concurso Nacional de la 18 o Olimpiada Mexicana de Matem´ aticas, con la participaci´on de todos los estados de la Rep´ ublica. Los 16 alumnos ganadores del primer lugar fueron: Iv´ an Joshua Hern´ andez Maynez (Coahuila) Pablo Sober´ on Bravo (Morelos) David Guadalupe Torres Flores (Guanajuato) Gonzalo Arturo Montalv´ an G´ amez (Puebla) ´ opez (Zacatecas) Guevara Manuel Angel Guevara L´ H´ector Daniel Garc´ıa Lara (Chihuahua) Juan Carlos Ram´ırez Prado (Baja California) Diego Torres Pati˜ no (Distrito Federal) Francisco Javier Ibarra Goycoolea (Baja California) Galo Higuera Rojo (Morelos) Isaac Buenrostro Morales (Jalisco) Jos´e Trinidad Barajas (Michoac´ an) Mario Alejandro Huicochea Mason (Distrito Federal) Mariana G´ omez Schiavon (Morelos) Jonathan Allan Ch´ a vez Casillas (Distrito Federal) Rodrigo D´ıaz Mart´ın (Jalisco). Los 5 alumnos preseleccionados para la Olimpiada Matem´ atica de Centroam´erica y el Caribe fueron: Isaac Buenrostro Morales (Jalisco) Juan Carlos Ram´ırez Prado (Baja California) Jorge Chavira Olivas (Chihuahua) Jan Marte Contreras Ortiz (Jalisco) Paul Iv´ an Gallegos Bernal (Jalisco). Aunque la participaci´ on en el Concurso Nacional es individual, es importante destacar la labor que han llevado a cabo los estados de la Rep´ ublica apoyando a sus concursantes. Con el prop´ osito de reconocer este trabajo, presentamos el registro de los estados que ocuparon los primeros 10 lugares en el 18 ◦ Concurso Nacional.

Presentaci´ on 1. 2. 3. 4. 5. 6. 6. 7. 7. 7.

IX

Morelos Jalisco Distrito Federal Chihuahua Baja California Guanajuato Yucat´ an Nuevo Le´ on Puebla Sonora

Los n´ umeros repetidos indican que esos estados obtuvieron la misma puntuaci´ on. ´ de la En esta ocasi´ on, el premio a la Superaci´ on Acad´ emica se llam´o “Arbol Vida”y fue ganado por el Zacatecas. El segundo y tercer lugar de este premio lo ocuparon, respectivamente, Aguascalientes y Guerrero.

Agradecimientos Agradecemos a todos los estados que colaboraron con los problemas que aparecen en este folleto, as´ı como a todas las personas que participaron en la elaboraci´ on del mismo. Tambi´ en quisi´ eramos agradecer a Teresa Valerio por la u ´ltima lectura.

Informaci´ on sobre la Olimpiada Para obtener m´ as informaci´ on sobre los eventos de la Olimpiada Mexicana de Matem´ aticas o para consultar m´ as material de estudio, visita nuestro sitio de Internet: http://erdos.fciencias.unam.mx/omm

´ ORGANIZADOR DE LA COMITE ´ OLIMPIADA MEXICANA DE MATEMATICAS

Febrero de 2005

X

Presentaci´ on

Enunciados de los Problemas

Presentamos aqu´ı algunos problemas para mostrar el tipo de matem´ aticas que se manejan en la fase estatal de la Olimpiada Mexicana de Matem´ aticas. Al final encontrar´ as las soluciones. Problema 1. La suma de todos los enteros entre 50 y 350, los cuales terminan en 1, es: (a) 5880

(b) 5208

(c) 4877

(d) 4566

Problema 2. El arco AB es un cuarto de una circunferencia de centro O y radio 10 cm. Los arcos OA y OB son semicircunferencias. ¿Cu´ al es el a´rea de la regi´ on sombreada? A

O (a) 25π − 50

(b) 50

B (c) 50π − 75

(d) 25π

Problema 3. Consideremos los n´ umeros de 5 cifras formados por los d´ıgitos 1 y 2. ¿En cu´ antos de ellos el 1 aparece m´ as veces que el 2? (a) 20

(b) 16

(c) 32

(d) 18

2

Problemas

Problema 4. ¿Cu´ antos de los siguientes 60 n´ umeros: 84, 2 · 84, 3 · 84, . . . , 58 · 84, 59 · 84, 60 · 84 son m´ ultiplos de 60? (a) 18

(b) 30

(c) 15

(d) 12

Problema 5. Mir´e la hora un poco despu´es de las 6 AM y las agujas formaban un a´ngulo de 110◦ . Volv´ı a mirarla antes de las 7 AM y nuevamente se formaba un a´ngulo de 110◦ . ¿Cu´ antos minutos hab´ıan pasado? (a) 40

(b) 30

(c) 60

(d) 45

Problema 6. En la figura, el rect´ angulo ABC D est´a en el interior de la circunferencia de tal manera que el v´ertice B es el centro de la circunferencia. Si AC = 6 y ∠ACB = 30◦ , ¿cu´ anto mide su di´ ametro? A

D 6 30◦

B

(a) 6

(b) 8

C

(c) 10

(d) 12

Problema 7. Pablo eligi´ o tres d´ıgitos distintos y escribi´ o todos los n´ umeros de 3 cifras que se forman con ellos (sin repeticiones). Despu´es sum´ o todos los n´ umeros que obtuvo. Encuentra la suma de Pablo, sabiendo que la suma de los d´ıgitos originales es 14. (a) 4662

(b) 4800

(c) 3108

(d) 3200

Problema 8. Un tri´ angulo rect´ a ngulo de catetos 12 y 16 est´ a inscrito en una circunferencia. ¿Cu´ al es el radio de dicha circunferencia? (a) 6

(b) 8

(c) 10

(d) 14

Problemas

3

Problema 9. En un n´ umero de tres cifras, la suma de las mismas es 18. La cifra de las unidades es el doble de la de las decenas. Por u ´ltimo, la diferencia que se obtiene restando el n´ umero dado y el formado al invertir el orden de sus cifras es 297. ¿Cu´ al es el n´ umero inicial? (a) 684

(b) 648

(c) 936

(d) 963

Problema 10. En una caja se tienen 20 pares de zapatos completos de tres colores distintos y de tres tama˜ nos distintos. Si en la caja hay: 4 pares rojos, 1 chico, 1 mediano y 2 grandes; 7 pares verdes, 2 chicos, 2 medianos y 3 grandes; 9 pares azules, 2 chicos, 3 medianos y 4 grandes, ¿cu´ al es la cantidad m´ınima de zapatos que debes sacar para estar seguro de que sacaste un par completo del mismo color y tama˜ no? (a) 4

(b) 16

(c) 20

(d) 21

Problema 11. ¿Por cu´ al n´ umero se debe sustituir la letra “a”para que el n´ umero 9758236642a2 sea divisible entre 4? (a) 4

(b) 5

(c) 6

(d) 8

Problema 12. Tres cuadrados con lados de longitudes: 10 cm, 8 cm y 6 cm, respectivamente, se colocan uno al lado del otro como se muestra en la siguiente figura.

¿Cu´ al es el ´area de la parte sombreada? (a) 100 cm2

(b) 90 cm2

(c) 120 cm2

(d) 80 cm2

Problema 13. Juan ha decidido repartir 35 canicas entre sus primos. Si nadie puede tener la misma cantidad de canicas, ¿cu´ al es la m´ axima cantidad de primos a los que les puede repartir sus canicas? (a) 6

(b) 7

(c) 8

(d) 9

Problema 14. ¿Cu´ al es la suma de los d´ıgitos del n´ umero 5 2004 × 22000 ? (a) 13

(b) 14

(c) 15

(d) 2004

4

Problemas

Problema 15. ¿Cu´ a ntos n´ umeros hay entre 100 y 300 (sin contar el 100 y el 300) que no sean divisibles entre 3 ni entre 5? (a) 106

(b) 107

(c) 108

(d) 140

Problema 16. ¿Cu´ anto es 77 + 77 + 77 + 77 + 77 + 77 + 77 ? (a) 497

(b) 77

(c) 749

(d) 78

(c) 41002

(d) 24007

Problema 17. ¿Cu´ anto es la mitad de 42004 ? (a) 22004

(b) 42003

Problema 18. Juanito tiene un cup´ on del 20 % de descuento sobre el total a pagar de su compra en la tienda de la Olimpiada. Decidi´ o ir a comprar una taza. Al llegar a la tienda se encontr´ o con que la taza ten´ıa un 30 % de descuento. ¿Cu´ al es el descuento total que obtendr´ a Juanito si utiliza el cup´ on? (a) 44 %

(b) 50 %

(c) 60 %

(d) 66 %

Problema 19. El trapecio is´ osceles ABCD es tal que AD = AB = BC = 1 y DC = 2, donde AB es paralelo a DC. ¿Cu´ anto mide el a´ngulo CAD? B A

C (a) 45◦

(b) 60◦

D (c) 90◦

(d) 120◦

Problema 20. La mam´ a de Miguel, Julio y To˜no, les reparte 5 paletas, ¿de cu´ a ntas formas se las puede repartir? (Puede ser que a alguno no le toque paleta.) (a) 12

(b) 15

(c) 21

(d) 30

Problema 21. Javier quiere sacar un par de calcetines de un caj´ on, en el que hay 100 calcetines blancos, 50 verdes y 25 rojos. ¿Cu´ antos calcetines debe sacar (sin ver) para asegurar que tendr´ a un par del mismo color? (a) 174

(b) 50

(c) 25

(d) 4

Problemas

5

Problema 22. ¿Cu´ al de los siguientes valores de n, cumple que n 2 + n + 41, es un n´ umero entero que no es primo? (a) 15

(b) 26

(c) 37

(d) 40

Problema 23. ¿Cu´ antos tri´angulos rect´ angulos de lados enteros existen tales que uno de sus catetos mide 2003? (a) ninguno

(b) 1

(c) 2003

(d) una infinidad

Problema 24. Sea ABCD un cuadrado. Sean E y F puntos sobre el lado AB tales que AE = EF = F B. ¿Qu´e fracci´ on del cuadrado delimita el trapecio F EDC? B F E A

C

(a)

2 5

(b)

D

1 2

(c)

2 3

(d)

3 4

Problema 25. En un v´ ertice de una caja de tama˜ no 2 × 3 × 4 se encuentra una ara˜ na que quiere ir al v´ertice opuesto caminando sobre las caras de la caja. ¿Cu´ al es la distancia m´ınima que debe recorrer?

2

4

3 (a)

√ 41

(b) 7

(c) 4 +

√ 13

√ (d) 5 + 2 5

Problema 26. A una pareja se le aplica la operaci´ on ecualizadora que trans forma la pareja (a, b) en la pareja 3a4+b , a+3b . Si comenzamos con la pareja 4 (2048, 1024), ¿cu´ al de las siguientes parejas no se podr´ a obtener despu´es de aplicar varias veces la operaci´ on? (a) (1664, 1408)

(b) (1540, 1532)

(c) (1539, 1531)

(d) (1792, 1280)

6

Problemas

Problema 27. Se tienen cuadrados de 1 × 1, 2 × 2 y 3 × 3. ¿Cu´ al es la menor cantidad de cuadrados que se deben usar para completar un cuadrado, usando al menos uno de cada uno? (a) 6

(b) 7

(c) 8

(d) 9

Problema 28. En la siguiente figura las a´reas de los recuadros son 21, 15, 14 y X. ¿Cu´ al es el a´rea total de la figura?

(a) 14.5

21

15

14

X

(b) 36

(c) 60

(d) 75

Problema 29. Cuando a un barril le falta el 30 % para llenarse contiene 30 litros m´ as que cuando est´ a lleno hasta el 30 %. ¿Cu´ antos litros le caben al barril? (a) 60

(b) 7...