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EXAMEN 2º ESO – Proporcionalidad y porcentajes

Ejercicio 1. (1 pto.) Calcula los términos desconocidos en las siguientes proporciones: a)

6 8 = x 12

b)

5 x = 7 21

c)

7 42 = 11 x

d)

8 x = 44 11

a)

6 ∙ 12 8 6 ⇒ 6 ∙ 12 = x ∙ 8 ⇒ x = = = ฀฀ 12 x 8

5 5 ∙ 21 x = ฀฀฀฀ ⇒ 5 ∙ 21 = 7 ∙ x ⇒ x = = 7 21 7 7 11 ∙ 42 42 = ฀฀฀฀ c) ⇒ 7 ∙ x = 11 ∙ 42 ⇒ x = = 7 x 11 x 44 ∙ 8 8 d) ⇒ x ∙ 11 = 44 ∙ 8 ⇒ x = = = ฀฀฀฀ 11 44 11 b)

฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀: ฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀ó฀฀ ฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀ ฀฀ú฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀ ฀฀ ฀฀ ฀฀฀฀ ฀฀฀฀; ฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ó฀฀ ฀฀ ฀฀ ฀฀ . ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ó฀฀ ฀฀฀฀ ฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀ = ฀฀฀฀ ฀ ฀ ฀฀ ฀฀ ฀฀ ; ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ó฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀ ฀฀é฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀=฀฀฀฀฀฀ ฀ ฀ ฀฀ ฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀: ฀ ฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀, ฀฀ ฀฀ ฀฀, ฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀ ฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀, ฀฀ ฀฀ ฀฀. ฀฀ ฀฀ ฀฀ ∙ ฀฀ = ⇒ ฀฀ ∙ ฀฀ = ฀฀ ∙ ฀฀ ⇒ ฀฀ = ฀฀ ฀฀ ฀ ฀

Ejercicio 2. (2 pto.) Completa las siguientes tablas de las magnitudes: a) Directamente proporcionales Magnitud A Magnitud B

1

3 12

8

6 40

b) Inversamente proporcionales Magnitud J Magnitud K

1 40

4

10

20

8

a) Directamente proporcionales .3

Magnitud A Magnitud B

1 4

2 8

3 12

6 24

10 40

:3

1 ⇒ ฀฀; :3

3 ⇒ 12 1⇒4

.6

฀ ฀ = 12 ∶ 3 = ฀฀ :3

:2

1⇒4

:2

฀฀ ⇒ 8; ฀ ฀ = 8 ∶ 4 = ฀฀

.6

6 ⇒ ฀฀; ฀ ฀ = 4 ∙ 6 = ฀฀฀฀

1⇒4 : 10

: 10

฀฀ ⇒ 40; ฀ ฀ = 40 ∶ 4 = ฀฀฀฀

En las magnitudes directamente proporcionales, multiplicando (dividiendo) por el mismo número dos valores correspondientes se obtiene otro par de valores correspondientes. En una tabla de proporcionalidad directa, dos pares de valores correspondientes forman una proporción. 12 10 ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ = = ⋯ = 40 4 8

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b) Inversamente proporcionales Magnitud J Magnitud K 1 ⇒ 40

.4

1 40

2 20

4 10

5 8

:4

.2

1 ⇒ 40

1 ⇒ 40

:2

฀฀ ⇒ 20; ฀ ฀ = 1 ∙ 2 = ฀฀

4 ⇒ ฀฀ ; ฀ ฀ = 40 ∶ 4 = ฀฀฀฀

. 10

10 4

1 ⇒ 40

: 10

10 ⇒ ฀฀ ; ฀ ฀ = 40 ∶ 10 = ฀฀

.5

฀฀ ⇒ 8;

:5

฀ ฀ = 1 ∙ 5 = ฀฀

En las magnitudes inversamente proporcionales, si se multiplica (o divide) uno de los valores de una magnitud por un número, el valor correspondiente de la otra magnitud queda dividido (o multiplicado) por dicho número. Ejercicio 3. (1 ptos.) En un taller de confección se han necesitado 8 metros y cuarto de tela para confeccionar 12 manteles. ¿Cuántos metros de tela se necesitarán para cubrir un pedido de 48 manteles?

Aplicar la regla de tres para la proporcionalidad directa 1) Ordenar los datos y la incógnita. Metros de tela 8,25 m ⇒

¼ = 0,25

Xm ⇒

Manteles 12 48

2) Construir la proporción y calcular el término desconocido 8,25 12 8,25 ∙ 48 ⇒x= = = ฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀ 48 x 12 Recuerda que para aplicar la regla de tres: 1) Se ordenan los datos y la incógnita. 2) Se construye la proporción con los términos en el orden en que aparecen. 3) Se calcula el término desconocido de la proporción.

Ejercicio 4. (2 ptos.) Tres pintores pintan una casa en 12 horas. ¿Cuánto tardarían 9 pintores en hacer el mismo trabajo?

Aplicar la regla de tres para la proporcionalidad inversa. Pintores 3⇒

horas 12

9⇒

xh

3) Construir la proporción y calcular el término desconocido Razón invertida

3 xh 3 ∙ 12 = ฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ⇒x= = 9 9 12 Recuerda que para aplicar la regla de tres: 1) Se ordenan los datos y la incógnita. 2) Se construye la proporción con los términos invirtiendo la razón de los valores en una de las magnitudes. 3) Se calcula el término desconocido de la proporción. Ejercicio 5. (2 ptos.) Un embalse está al final del verano al 36% de su capacidad. Si en este momento contiene 7236 metros cúbicos de agua, ¿cuál es la capacidad total del embalse?

Problemas con porcentajes. Calcular el total conocidos el tanto por ciento y la parte. Total 100 ⇒

Parte 36

x m3 ⇒

7236 m3

100 36 = x m3 7236m3

x=

100 ∙ 7236 = 20 100 m3 36

La capacidad total del embalse es ฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀

Recuerda que los problemas con porcentajes tienen 3 elementos: el total, el tanto porciento y la parte; 100 ∙ ฀฀ ฀฀= ⇒ ฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀ ฀ Total Parte 100 ⇒ ฀฀ 100 ∙ ฀฀ 100 ฀฀ ฀฀= ⇒ ฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ = ฀ ฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ⇒ ฀฀฀฀฀฀฀ ฀ ฀ ฀฀ ฀฀ ∙ ฀฀ ฀฀= ⇒ ฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ 100 Ejercicio 6. (2 ptos.) Un agricultor recogió en la cosecha pasada 280 toneladas de maíz, pero este año espera un aumento de un 25%. ¿Cuántas toneladas espera cosechar este año?

Problema de aumento porcentual

Primera forma de resolver el problema Cosecha actual ⇒ 280 t + aumento 25% de 280 t 280 ∙ 25 = 70t Aumento ⇒ 25% de 280 t = 100 Cosecha actual ⇒ 280 t + 70 t = ฀฀฀฀฀฀ ฀฀ Segunda forma de resolver el problema Incremento de la cosecha 100 t se convierten en 125t Cosecha pasada 100t ⇒

Cosecha actual 125t

280t ⇒

xt

100 125 = 280t xt

x=

280 ∙ 125 = ฀฀฀฀฀฀ ฀฀ 100

Forma rápida de resolver el problema Cosecha actual = 125% de 280t = 280t ∙ 1,25 = ฀฀฀฀฀฀ ฀฀ Recuerda: Aumentar una cantidad en un a% equivale a calcular el (100 + a)% de dicha cantidad. Este examen ha sido publicado por la academia de matemáticas online MathyPlus, para que puedas preparar los contenidos de esta lección....