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´ ´ DE FLUIDOS AREA DE MECANICA

´ DE FLUIDOS PROBLEMAS DE MECANICA FLUJO TURBULENTO EN CONDUCTOS CURSO 19/20

El conducto vertical de longitud L y di´ametro D de la figura 1 inicialmente lleno de un fluido de densidad ρ y viscosidad µ, se est´a vaciando por la ca´ıda del e´mbolo de masa M. Suponiendo que el movimiento en el conducto es turbulento, con el coeficiente de fricci´on λ constante (independiente de la viscosidad), obtener la ecuaci´on diferencial que gobierna la posici´on del ´embolo en funci´on del tiempo, es decir, h(t). Suponiendo que la masa del e´mbolo fuera despreciable, obtener de la ecuaci´on anterior el caudal estacionario que se generar´ıa.

Figura 1

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´ SOLUCION: La ecuaci´on que hay que plantear en este problema es la de la conservaci´on de cantidad de movimiento aplicada al flujo turbulento en un conducto (con U = gz):   ∂ p ∂V λ V2 V2 + =− + gz + (1) ∂t 2 ∂x ρ D 2

La cual habr´a que integrar entre las condiciones de contorno que existen en los extremos del conducto (puntos i y f de la figura 2), que bien se pueden poner en funci´on de la coordenada de avance del frente fluido xf = xf (t) (en color rojo), o bien funci´on de la altura de la columna de l´ıquido h = h(t) (en color azul). En este caso se elegir´a la segunda opci´on por ser lo que pide el enunciado, pero ambas son totalmente equivalentes (obs´ervese como la distancia que representan es la misma, pero expresada de distinta manera).

Figura 2 As´ı pues, para este caso las condiciones de contorno resultar´ıan ser:  i) x = xf q L − h(t) → z = L − xf q h(t) → p = pi → U = gz = gh(t)    h(t)=0

L−L

f ) x = L q L − 0✁✁✕ → z = 0

  

z}|{

(2)

q 0 → p = pa → U = gz = 0

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Por otro lado, hay que tener en cuenta que velocidad V y caudal Q est´an relacionadas por: 8 4Q Q2 V2 Q (3) = = 2 4 Q2 = βQ2 = ⇒ 2 2 S 2S 2 πD π D Visto esto, se procede con la integraci´on de la ecuaci´on (1) multiplicando primero ´esta por dx y extendiendo los l´ımites de integraci´on entre los puntos descritos en la figura 2, considerando adem´as que el t´ermino cin´etico desaparece de la funci´on de Bernoulli al ser el tubo de secci´on constante (si V es constante, su derivada ser´a nula), con lo que: Z f  Z f  Z f p 1 ∂Q λ d βQ2 dx (4) dx + + gz = − D ρ i S ∂t i i V =

Resolviendo se llega a:

h(t)

}| { 1 dQ z ¯ i = − λ βQ2 h(t) [L − (L − h(t))] +H¯f − H (5) D S dt Tan s´olo restar´ıa evaluar el valor de las funciones de Bernoulli en los extremos del conducto, seg´un las condiciones de contorno consideradas: pi H¯i = + gh(t) ρ

(6)

pa H¯f = + 0 ρ

(7)

Para averiguar el valor de presi´on justo debajo del ´embolo, pi , se puede aplicar la 2o Ley de Newton sobre ´este, considerando positivas las fuerzas a favor del movimiento y negativas las opuestas al mismo: d2 h = ΣF = Mg + paS − pi S dt2 Despejando y dividiendo por S y ρ se obtendr´ıa el valor de la presi´on buscada:

(8)

Ma = M

M pa M d2 h pi = g+ − ρS dt2 ρ ρS ρ

(9)

Sustituyendo en la ecuaci´on ya integrada se obtiene la siguiente expresi´on, casi definitiva: λ M M d2 h 1 dQ p p (10) h(t) + ✁a✁ − g − ✁a✁ + − gh(t) = − βQ2 h(t) 2 D ρS S dt ρS dt ✁ρ ✁ρ Finalmente, para llegar a la ecuaci´on diferencial final tan s´olo habr´ıa que poner el caudal Q en funci´on de la posici´on del ´embolo h(t), o lo que es lo mismo, la altura la columna de l´ıquido. Para ello se puede emplear la ecuaci´on de conservaci´on de la masa en forma integral aplicada a un volumen de control formado por el l´ıquido en el tubo, lo que conducir´ıa a: dh = −Q dt que permite deducir de forma directa las siguientes relaciones: S

(11)

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d2 h 1 dQ =− 2 S dt dt  2 dh 1 = 2 Q2 = 2βQ2 dt S

(12) (13)

Aplicando dichas relaciones en la ecuaci´on obtenida, dividiendo por h(t) y sacando factor com´un, se alcanza la ecuaci´on diferencial ordinaria final en la que s´olo aparece variables conocidas (M, S, λ,etc.) y la inc´ognita a resolver (h(t)): Soluci´on:  d2 h M dt2

ρSh(t)

−1



=g



 2  λ dh +1 − ρSh(t) 2D dt M

(14)

˙ y cuyas condiciones iniciales ser´ıan h(0) = h0 y h(0) = 0. Si la masa del ´embolo fuera despreciable (M ≪ 1) y se alcanzara el valor estacionario ( dtd = 0), la ecuaci´on anterior se simplificar´ıa tal que as´ı, teni´endose en cuenta, adem´as, la relaci´on entre altura h y caudal Q:     ✘✘ M dQ 1 λ M ✘✘ ✘ =g + 1 − βQ2 (15) −✘ 2 ✘✘ ✘ ✘ S ρS h(t) ρSh(t) D ✘dt | {z } 1

Despejando de ella, se tiene el valor estacionario para el caudal: Soluci´on: s gD Q= βλ

(16)

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Por el conducto de di´ametro D de la figura 3 circula un caudal Q constante y desconocido de un l´ıquido de densidad ρ y viscosidad µ. Para tratar de conocerlo se instala un man´ometro en forma de U acoplado al conducto, estando separado sus brazos una distancia L (L ≫ D). El man´ometro tiene un l´ıquido de densidad ρ1 que por la diferencia de presi´on entre los extremos del tubo en U se desplaza hasta alcanzar una posici´on final estacionaria, encontr´andose los frentes l´ıquidos separados por una distancia vertical h (v. figura 3). Suponiendo que el flujo en el conducto es turbulento, con coeficiente de fricci´on λ, se pide: 1. Obtener una expresi´on que proporcione Q en funci´on de h, λ y dem´as datos del problema. 2. Calcular el caudal cuando el conducto se puede considerar hidr´aulicamente liso, con L = 1m, h = 5cm, D = 5cm, ρ = 100Kg/m3 , µ = 0,001Kg/(m · s) y ρ1 = 1000Kg/m3 . ¿Es correcta la suposici´on de que el flujo es turbulento?

Figura 3

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´ SOLUCION: Para resolver este problema se va a estudiar el flujo entre dos puntos situados en el conducto de di´ametro D, el primero sobre el eje del mismo, pero a la altura de la rama izquierda del man´ometro (punto 1) y el otro a la misma altura pero sobre la rama derecha (punto 2), por lo que entre ambos habr´a una distancia L, tal y como se aprecia en la figura 3. 1. Obtener una expresi´ on que proporcione Q en funci´ on de h, λ y dem´ as datos del problema: en primer lugar, mediante fluidoest´atica, se va calcular la diferencia de presiones existente entre el punto 1 y el punto 2 en funci´on de la diferencia de altura ∆h que registra el man´ometro. En este caso, al tratarse de un l´ıquido, la ecuaci´on fundamental de la hidrost´atica establece que: p + ρU = cte ⇒ p + ρgz = cte

(17)

De esta manera y tomando como referencia del eje Oz la base del man´ometro, se tendr´a que tanto para 1 como para 2 que: 1) p1 + ρ1 gz1 = cte 2) p2 + ρ1 gz2 = cte

)

(18)

Como el valor de ambas constantes deben ser id´entico, igualando las expresiones anteriores, se llega a: p1 + ρgz1 = p2 + ρgz2 ⇒ p1 − p2 = ρ1 g(z2 − z1 )

(19)

Sabiendo que z2 − z1 = ∆h seg´un la figura 3, despejando se obtiene la siguiente relaci´on: ∆h =

p1 − p2 ρ1 g

(20)

Seguidamente, para calcular la relaci´on de ´esta con el caudal Q que circula por el conducto se aplica la ecuaci´on para el flujo turbulento en un conducto, sabiendo que ´este es estacionario y que como la secci´on es constante y ambos puntos est´an a la misma altura, entonces el t´ermino cin´etico y el potencial fuerzas m´asicas (U = gz) se pueden eliminar del t´ermino de la funci´on de Bernoulli: ∂ ∂V✓ ✓ + ∂x ✓∂t



p V 2✁ gz +✚ ✚+ ✁ ρ ✁2



λ V2 =− D 2

(21)

Por tanto, integrando: Z

2 1

  Z 2 p2 − p1 λ V2 λ V2 p =− =− dx ⇒ d L ρ ρ D 2 1 D 2

(22)

Luego, dividiendo todo por g y convirtiendo la velocidad en caudal (V = Q/S) se llega a: 6 de 14

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p1 − p2 λL V 2 8 λL 2 Q = 2 4 = gπ D D D 2g ρg | {z }

(23)

α

Dividiendo ahora por ρ1 , para tener en cuenta la relaci´on (20), entonces: p1 − p2 ∆h αQ2 λL = = ρ1 D ρρ1 g ρ

(24)

Y finalmente, despejando se obtiene la expresi´on buscada: Soluci´on: s ∆hDρ1 Q= αλLρ

(25)

2. Calcular el caudal cuando el conducto se puede considerar hidr´ aulicamente liso, con L = 1m, h = 5cm, D = 5cm, ρ = 100Kg/m3 , µ = 0,001Kg/(m · s) y ρ1 = 1000Kg/m3 . ¿Es correcta la suposici´ on de que el flujo es turbulento? Encontrar la soluci´on num´erica de este tipo de problemas requiere, normalmente, plantear un esquema de c´alculo iterativo en el que se supone un valor de la soluci´on y con ´este se calcula, con ayuda de las ecuaciones del apartado anterior, un nuevo valor de la misma. Si ambos valores son iguales el c´alculo termina, si no, este valor calculado sirve de “semilla” para una nueva iteraci´on y as´ı, sucesivamente. Para este caso, en primer lugar se va expresar el n´umero de Reynolds de una forma que sea pr´actica: Re =

 ρ4Q 4ρQ D ρV D = = µ πDµ µπD✁2

(26)

Luego, se supone un valor de caudal Q y con ayuda del siguiente procedimiento iterativo se va afinando el valor num´erico del mismo: Suponer Q

Ec.(26)

Re

Diagrama de Moody

λ

Ec.(25)

Q∗

¿Q∗ = Q?

S´ı

√

Nuevo Q = Q∗

Suponer el valor “semilla” con el que empezar la iteraci´on no es dif´ıcil, para los valores dados se puede suponer una velocidad en el conducto de 1m/s (algo normal en instalaciones) y calcular el caudal correspondiente (Q = 0,0032m3 /s). El esquema anterior suele converger r´apidamente, de hecho, con ≃ 5 iteraciones, se alcanzaron los siguientes valores finales:

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Soluci´on: Q = 0,0087m3 /s λ = 0,025 Re = 22154 (> 4000 → Turbulento)

(27) (28) (29)

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La figura muestra el esquema de un elevador hidr´aulico como los que se utilizan normalmente en los talleres de reparaci´on mec´anica. En ´el, una bomba, cuya potencia en funci´on del caudal viene dada por la expresi´on W = Q(A − BQ), impulsa un l´ıquido de densidad ρ desde un dep´osito presurizado a una presi´on constante pd hasta un cilindro hidr´aulico de secci´on A a trav´es de una tuber´ıa de di´ametro D y longitud L (A >> D 2 ). En dicho ´embolo, se sit´ ua la m´aquina que se quiere revisar, y gracias a la presi´on total ejercida por el fluido, todo el dispositivo (con una masa total M, incluyendo la de la m´aquina a sustentar) se mueve verticalmente y sin rozamiento, elev´andose una altura h(t).Para regular el caudal que circula por tal conducto se instala una v´alvula de compuerta, que provoca una p´erdida localizada de presi´on de remanso igual a Kv veces la energ´ıa cin´etica espec´ıfica que circula por esa tuber´ıa. Sabiendo que en el conducto el flujo es turbulento totalmente desarrollado, con factor de fricci´on λ constante, y que el nivel del fluido en el dep´osito principal es constante e igual a H0 , se pide: 1. Obtener la ecuaci´on diferencial que proporcional a la altura h(t) del e´mbolo en funci´on de los datos del problema. 2. Seg´ un la ecuaci´ on diferencial resultante del primer apartado, ¿cu´anto valdr´a la altura final que alcanza el ´embolo? 3. El sistema sufre una aver´ıa repentina que desconecta la bomba, lo que hace que tanto el sentido del caudal Q, como el de la altura h(t) se inviertan. Obtener la ecuaci´on diferencial para h(t) en esta nueva situaci´on. 4. Seg´ un lo visto en el caso anterior, ¿qu´e valor de masa M har´a que se vac´ıe el ´embolo completamente?

Figura 4

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´ SOLUCION: Como siempre en este tipo de problemas, para alcanzar la soluci´on final el procedimiento consiste en seguir el camino del fluido, desde la fuente hasta el final de su recorrido, siguiendo el sentido del caudal. Para entender mejor esto, hay que recordar que el significado f´ısico de la funci´on de Bernoulli, tambi´en denominada en otros textos de Mec´anica de Fluidos como energ´ıa espec´ıfica, que es el de ser el valor de la energ´ıa total que tiene el fluido en un determinado punto. Por tanto la energ´ıa total que tendr´a ´este al final del camino ser´a la que ten´ıa al principio, menos las p´erdidas por fricci´ on debido a los tramos rectos y accesorios, menos la absorbida por ciertas m´aquinas, como una turbina, y m´as la que gana debido al aporte de bombas. Adem´as esta energ´ıa total puede estar forma de energ´ıa de presi´on, de energ´ıa potencial y/o de energ´ıa cin´etica. 1. Obtener la ecuaci´ on diferencial que proporcional ala altura h(t) del ´ embolo en funci´ on de los datos del problema: para este primer caso se van a establecer una serie de puntos de referencia a lo largo del recorrido del l´ıquido por la instalaci´on tal y como se recoge en la figura 5:

Figura 5 A continuaci´ on, se ir´a recorriendo el sistema punto a punto: • Punto 0: lo primero de todo es calcular el valor de la funci´on de Bernoulli en la superficie del dep´osito, ya que es el punto de partida. Aplicando directamente su definici´on: A ≫ D2 V p0 p p + gz0 + 0 = d + gH0 + ✁ = d + gH0 H¯0 = ρ ρ ρ 2 ✁2 V 02✁✕

2

(30)

• 0 → 1 (Vaciado de un Dep´osito): al ser la velocidad del fluido dentro del dep´osito pr´acticamente nula (A ≫ D2 ), todo los fen´omenos disipativos en el mismo se pueden considerar despreciables, por lo que ´este ser´a siempre considerado un proceso ideal, conserv´andose entonces el valor de la funci´on de Bernoulli: H¯1 = H¯0

(31)

• 1 → 2 (Bomba): cuando aparezca una m´aquina en nuestra instalaci´on, habr´a que emplear la ecuaci´on b´asica de la misma y, si el enunciado nos da su ecuaci´on caracter´ıstica 10 de 14

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(en la vida real, la proporciona el fabricante), igualar ambas para despejar la variable que interese en funci´on de datos conocidos. En este caso: ¯2 − H ¯ 1 ) = Q(A W = Q(po2 − po1 ) = ρQ( − BQ) ✓ H ✓ ✓ ✓

(32)

A B ˆ ¯1 + α H¯2 = H¯1 + − Q = H ˆ − βQ ρ ρ

(33)

Despejando:

Obs´ervese que en este caso H¯2 es mayor que H¯1 debido al aporte de energ´ıa que realiza la bomba. • 2 → 3 (Conducto): se aplica la ecuaci´on para el flujo turbulento en un conducto, teniendo en cuenta que en este caso el t´ermino temporal desaparece al poder considerarse el flujo cuasi-estacionario, debido a que la altura del dep´osito de partida (fuente), H0 , es constante, por lo que: ∂ ∂V✓ ✓ + ∂x ✓∂t



V2 p + gz + ρ 2



λ V2 =− D 2

(34)

que integrada y despejando da: λL V 2 = H¯3 = H¯2 − D 2



8 V2 = 2 4 Q2 = βQ2 2 π D



= H¯2 −

λL βQ2 D

(35)

• 3 → 4 (Accesorio - V´alvula): en este caso, el valor de la funci´on de Bernoulli a la salida del accesorio ser´a igual al valor de ´esta a la entrada menos las p´erdidas que se producen en el mismo, las cuales vienen expresadas en funci´on del correspondiente coeficiente de p´erdidas Kv : 2

V H¯4 = H¯3 − Kv = H¯3 − Kv βQ2 2

(36)

• 4 → 5 (Llenado de un Dep´osito): al contrario que el proceso de vaciado, el llenado nunca es un proceso ideal, ya que al ser normalmente A ≫ D2 la velocidad dentro del mismo ser´a pr´acticamente nula, lo que quiere decir que toda la energ´ıa cin´etica que llevara el fluido a la entrada se disipa totalmente dentro de e´ste. Para tener esto en cuenta, y que se vea mejor desde un punto de vista did´actico, entre 4 y 5 se va situar un punto intermedio 4′ que estar´a casi a la misma vertical que 4 pero ya dentro del dep´osito, por lo que se puede escribir que: 2 ¯ 4 − V = H¯4 − βQ2 H¯4′ = H 2

(37)

Estando ya dentro del dep´ osito y con el fluido totalmente remansado, los procesos disipativos ser´ an despreciables, por lo que s´ı se conserva la funci´on de Bernoulli y, por tanto, ahora s´ı se puede escribir que: H¯5 = H¯4′

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on: El valor de H¯5 se obtiene aplicando directamente su definici´ A ≫ D2 ¯ 5 = p5 + gz5 + ✁ = p5 + gh(t) H ρ ρ ✁2 V5✁2✁✕

(39)

Para completar la ecuaci´on, tan s´olo restar´ıa averiguar el valor de la presi´on en 5, el cual se puede calcular a partir de la 2o Ley de Newton aplicada al ´embolo, teniendo en cuenta las fuerzas que act´ uan sobre el mismo (v. figura 6):

Figura 6 Por consiguiente: Ma = M

M d2 h Mg pa p5 d2 h = = p A − Mg − p A ⇒ + + 5 a ρ dt2 Aρ ρ Aρ dt2

(40)

Ahora, se sustituye en la ecuaci´ on final y ya se tendr´ıan recogidos todos los t´erminos involucrados:

H¯4′ − βQ2 = H¯5 ⇒   λL pd M d2 h Mg pa ˆ + gh(t) (41) + + Q2 = + gH0 + α ˆ − βQ − β 1 + Kv + ρ Aρ dt2 Aρ D ρ As´ı, finalmente, teniendo en cuenta, tras aplicar conservaci´on de la masa al dep´osito de la derecha, que A dh = Q, se llega a la ecuaci´on final que proporciona la evoluci´on de la dt posici´on del ´embolo en funci´on de datos conocidos: Soluci´on: M d2 h pd − pa + g(H0 − h(t)) + α− ˆ = Aρ dt2 ρ    λL dh 2 dh Mg ˆ − βA 1 + Kv + − −βA Aρ D dt dt

(42)

˙ cuyas condiciones iniciales ser´ıan h(0) = h0 y h(0) = 0.

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2. Seg´ un la ecuaci´ on diferencial resultante del primer apartado, ¿cu´ anto valdr´ a la altura final que alcanza el ´ embolo? Cuando llegue a su altura final h(t) = hf , el ´embolo no se mover´a por lo que alcanzar´a un estado estacionario (dh/dt = 0), por lo que simplificando de esta manera la ecuaci´on (42), se llega a: 0=

Mg pd − pa + g(H0 − hf ) + α ˆ− Aρ ρ

(43)

Y as´ı, despejando se tiene el valor final de la altura: Soluci´on: h f = H0 +

α ˆ M pd − pa + − ρg g Aρ

(44)

3. El sistema sufre una aver´ıa repentina que desconecta la bomba, lo que hace que tanto el sentido del caudal Q, como el de la altura h(t) se inviertan. Obtener la ecuaci´ on diferencial para h(t) en esta nueva situaci´ on: El procedimiento a seguir es exactamente el mismo que en el primer apartado, con la diferencia de que ahora el caudal va en el sentido opuesto, no existe bomba y el flujo en el conducto no es estacionario al variar la altura en el dep´osito origen (h(t)). Por ello su resoluci´ on se dejar´a como ejercicio para el estudiante, proporcion´andose s´olo la soluci´on del mismo para que se tenga como referencia, as´ı como la distribuci´on de puntos de inter´es a lo largo del recorrido, los cuales se muestran en la figura 7.

Figura 7 Por un lado, la ecuaci´on del conducto integrada arroja el siguiente resultado: 4L dQ λL 2 Q + H¯3 − H¯2 = −β 2 D πD dt

(45)

Y la ecuaci´on diferencial que se obtiene finalmente es:

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Soluci´on: pd − pa Mg M d2 h =g(h(t) − H ) − + + 0 ρ Aρ dt2 Aρ    λL dh 2 4LA d2 h − βA 1 + K + + v πD 2 dt2 dt D

(46)

4. Seg´ un lo visto en el caso anterior, ¿qu´ e valor de masa M har´ a que se vac´ıe el ´ embolo completamente? Al igual que antes, si en esta nueva situaci´on el ´embolo alcanza un valor final hf , el sistema estar´a en estado estacionario (d/dt = 0), por lo que la ecuaci´on (46) quedar´ıa simplificada as´ı: 0=−

Mg pd − pa + g(hf − H0 ) ...