Probabilidad multiplicacionysumadeprobabilidades oct 1 6 grupo 1 1 am PDF

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ejemplos hechos en clase...

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Probabilidad clásica, a priori o regla de Laplace

1. Se lanza una moneda. ¿qué probabilidad hay de que aparezca águila? {águila, sello}

Probabilidad como frecuencia relativa o a posteriori Se lanza una moneda 1000 veces y en 494 aparece águila----por lo tanto Probabilidad de águila = 494=1000=49.4%=0.494

Probabilidad de águila ½=50%=0.50 2. Se lanza un dado. ¿cuál es la probabilidad de que aparezca el número 6? {1,2,3,4,5,6} Probabilidad de 6 = 1/6 3. Una pareja decide tener un hijo. ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer? ¿de que sea hombre?

Se entrevistó a 300 parejas con un hijo y 155 de ellas dijeron tener una mujer---Probabilidad mujer = 155 / 300 =51.66%

{mujer,hombre} Probabilidad de ser mujer es ½ 4. Se selecciona una persona. ¿qué probabilidad hay de sea zurda? {zurda,no es zurda} Probabilidad = ½ 5. En una línea de proceso. ¿cuál les la probabilidad de que un artículo seleccionado sea defectuoso? {defectuoso, no defectuoso} Probabilidad de defectuoso = ½ = probabilidad de no defectuoso

Se pregunta a 22 personas si son zurdas y 3 de ellas dicen que sí…. Probabilidad de ser zurdo = 3 / 22 = 13.6%=0.136

Se seleccionan 1000 art y 10 de ellos son defectuosos por lo tanto

Probabilidad de defectuoso = 10/1000 = 1%=0.01

6. Cual es la probabilidad de lluvia hoy… aquí? {llueve,no llueve}

En los últimos 80 años….en el día 28 de septiembre ha llovido en 10. Probabilidad lluvia = 10/80=1/8=12.5%

Probabilidad lluvia ½

P(A) = eventos simples favorables / eventos simples posibles Ejercicios. Se lanzan 3 monedas. Si juega a apostar “adivinando” el resultado de las 3 monedas, ¿a cuál resultado apostaría?¿por qué? S={sss,ssa,sas,ass,saa,aas,asa,aaa} espacio muestral 3 sellos y 0 águilas---------1/8 2 sellos y 1 águila----------3/8----ssa,sas,ass 1 sello y 2 águilas-----------3/8 0 sellos y 3 águilas---------1/8 1 moneda {s,a}----------------------------------------2

2¹

2 monedas {aa,as,sa,ss}-----------------------------4 = 2*2 = 2² 3 monedas {sss,ssa,sas,ass,saa,aas,asa,aaa}--8 =2*2*2 = 2³ 4 monedas--------------------------------------------16 = 2*2*2*2 = 2⁴ {aaaa,aaas,asaa,aasa,saa,….,sss} 5 monedas--------------------------------------------32 =2*2*2*2*2=2⁵ 6 monedas--------------------------------------------64 = 2*2*2*2*2*2 n monedas------------------------------------------- 2*2*2*2*2*2...*2 = 2^n

6² = 36 resultados cuando se lanzan dos dados

P(A) = eventos simples favorables / eventos simples posibles Muestreo de aceptación. Es aceptar o rechazar lotes de artículos solo inspeccionando una muestra del lote. Ejercicio. Un lote de 5 artículos contiene 2 artículos defectuosos. Un inspector selecciona dos artículos y si en esa muestra aparece uno defectuoso o mas se rechaza el lote completo. ¿Cuál es la probabilidad de aceptar el lote? ¿Cuál es la probabilidad de rechazar el lote? 12345 S= {12,13,14,15,23,24,25,34,35,45} ______________________________________________________-_______________ _5__ * __4__ = 20 / 2 las formas en que puedo escribir el resultado =10 _______________________________________________________________________ 15=51 hay dos maneras de escribir un resultado 24=42 A= Rechazar el lote ={14,15,24,25,34,35,45} P(A) = 7 / 10 = 70% B= aceptar el lote={12,13,23} P(B)=100%-70%= 30% = 3/10

Ejercicio. Melate. De los siguientes números (1,2,3,4,5) debe seleccionar 3. Ganará el primer premio si sus 3 números salen en el sorteo. 1 2 3 4 5 S={123,124,125,134,135,145,234,235,245,345} 123=132=213=231=312=321 hay 6 maneras de escribir un resultado 124 ____________________________________________________ _5__ * __4__ * ___3___ = 60 / 6 = 10 …………revisar diagrama de árbol ____________________________________________________ ¿Qué probabilidad hay de que una persona que juega con una boleta gane el primer lugar?.

A: Gane el primer lugar P(A) = 1 / 10 =10% =0.10 Melate original. Seleccionan 6 números entre el 1 y el 56 ¿Cuántos resultados hay? _56__ * _55__* _54__*__53__*__52__*__51___ =

23377273920/720

=32468436 maneras de jugar melate 123456=123465=123546=124356=132456=213456…..=654321 _6_ -_5_ _4__ _3__ _2_ _1__=720 maneras de escribir un resultado

1 / 32468436 =

0.00000307991%

=combinat(#objetostotales,#objetosseleccionados)

Ejercicio. Clave de correo. Una persona tiene una clave en su correo que contiene solamente 3 caracteres (1,2,3). {111,112,113,121,122,123,131,132,133, 211,212,213,221,222,223,231,232,233, 311,312,313,321,322,323,331,332,333} ¿qué probabilidad hay de que otra persona “adivine” a la primera vez su clave? Se pueden formar 27 claves considerando que se pueden repetir elementos.

A: Adivina la clave a la primera vez P(A) = 1 / 27

Si la persona no “adivina” en el intento 1 ¿qué probabilidad hay de adivinar en el segundo? 1/27--------------No descartas la que ya probaste y sigues teniendo 27-----la segunda selección es independiente de la primera. 1/26--------------Descartas una que ya probaste y quedan 26----------la segunda selección depende de la primera

__3__*__3__*___3__ = 3^3 = 27 claves repitiendo elementos __3___*__2___*___1___= 6 claves sin repetir elementos

PROBABILIDAD COMO FRECUENCIA RELATIVA A POSTERIORI Se necesita información para calcular las probabilidades. En otras palabras se requiere realizar el experimento un número grande veces y contar cuántas veces aparece el evento de interés. P(A) = # veces que aparece el evento de interés / # repeticiones del experimento Ejercicio 1. En un grupo hay 19 personas. Si se selecciona al azar a un alumno de este grupo: a) ¿qué probabilidad hay de que sea mujer? M: Persona elegida es mujer. P(M) = 3 / 19 =15.79% b) ¿qué probabilidad hay de que sea hombre? H: Persona elegida es hombre. P(H) = 16 / 19 = 84.21% El evento H se dice que es complemento de M. La notación en probabilidad para el complemento de un evento es: H=MC = M’ =

´ M

P(M’) = 1 – P(M) = 1 – 0.1579 = 0.8421 c) ¿qué probabilidad hay de que sea mujer y que sea una persona de Ciudad Obregón? Mujer C. Obregón No C. Obregón Total

Hombre

Total

2

10

12

1

6

7

3

16

19

M: es mujer C: es de Obregón P(M y C) = P( C y M) = P(M  C) = 2 / 19 = 10.53% y----intersección---- 

d) ¿ qué probabilidad hay de que sea mujer o que sea una persona de Ciudad Obregón? Mujer

Hombre

C. Obregón

12 7

No C. Obregón Total

Total

3

16

19

M: es mujer C: es de Obregón P(M o C) = P( C o M) = P(M  C) = 13 / 19 = 68.42 % o----unión---- 

se usa en el sentido y/o

e) Si se seleccionó a una mujer ¿qué probabilidad hay de que sea de Ciudad Obregón? Mujer C. Obregón No C. Obregón Total

Hombre

Total

2

10

12

1

6

7

3

16

19

M: es mujer C: es de Obregón P( C | M) = probabilidad de seleccionar a una persona de ciudad obregón Condicionada a que esa persona es mujer= probabilidad de ser de Obregón si es mujer = probabilidad de ser de Obregón dado que es mujer = 2 / 3 = 66.67%

P(M| C) = Probabilidad de ser mujer sabiendo que la persona elegida es de Obregón = 2 / 12 = 16.67% P(C|M) ≠ P(M|C) es decir no son conmutativas

Aquí hay una probabilidad condicional que se denota cómo | : Sabiendo que Tal que Si es que Condicionado a

ejercicio. ¨Plinko… en el siguiente plinko calcule las probabilidades de que la pelota llegue a cada una de las casillas (0,1,2,3,4). Para obtener información realice simulaciones: https://phet.colorado.edu/sims/html/plinko-probability/latest/plinko-probability_en.html

A: pelota cae en 0

C: cae en 2

E: cae en 4

P(A) = 174 / 3004

P(c ) = 1141 / 3004

P(E) = 193 / 3004

B: pelota cae en 1

D: cae en 3

P(B) = 744 / 3004

P(D) = 752 / 3004

PROBLEMAS. 7. Para cada una de las veinte preguntas de un examen de respuestas múltiples, un estudiante puede escoger una de cinco respuestas posibles: a) ¿Cuántos conjuntos de respuestas completamente distintos existen para esta prueba? 5^20 =

9.5367432*10^13

_5__ __5_ _5__ _5__ _5__....__5__ 20 líneas que representan las 20 preguntas Aaaaaaaaaaaaaaaaaaaa Aaaaaaaaaaaaaaaaaaab Aaaaaaaaaaaaaaaaaaac Aaaaaaaaaaaaaaaaaaad

b) Si una persona elige al azar la respuesta a cada una de las preguntas, ¿Cuál es la probabilidad de que todas las respuesta sean contestadas correctamente? A: Todas correctas P(A) =

1 / 9.5367432*10^13 =1.048576e-12%

=0.00000000000104% Problema. PROGOL. En el progol una persona gana el primer premio si “adivina” el resultado de 14 partidos de futbol (gana local, empate, gana visita). ¿Cuál será la probabilidad de ganar el primer lugar en la siguiente quiniela? Si la persona selecciona los resultados al azar.

_3__ __3_ ___ ___ ______ _3____ _____ ____ _____ ____ ____ ___ _3__ _3__ = 3^14

4782969 quinielas posibles 0.00002090751%

1 / 3^14 = 1 /

=

PERMUTACIONES Y COMBINACIONES Ejercicio. Se formará una mesa directiva con 3 estudiantes. Uno de ellos será presidente, otro secretario y uno más será tesorero. ¿Cuántas maneras existen para asignar a los estudiantes a los puestos? Pres Sec

Tes

Alan Carlos Daniel D

A

C

C

D

A

A

D

C

D

C

A

C

A

D

__3___*__2___*__1___ = 6 =3!------maneras de asignar a los puestos En este caso hay 6 maneras de asignar a las 3 personas a los 3 puestos. NOte que el orden es importante puesto que representa el cargo de la persona. Una permutación es un arreglo de objetos donde el ORDEN DE ELLOS ES IMPORTANTE. En las permutaciones no se puede repetir elementos.

Prn=

3! 6 n! = = =6 ( n−r )! (3−3 ) ! 1

n! -----factorial del número n ejemplo 3! = 3*2*1=6 por definición el factorial de 0 es uno. Lo anterior se debe leer como, las permutaciones de “r” objetos que se han tomado de “n” Si hay 10 alumnos y se deben elegir a 3 para la mesa directiva ¿cuántas maneras habrá para hacerlo? n=10

r=3

__10__*_9___*___8__ = 720 maneras de hacer la mesa directiva

P310 =

10∗9∗8∗7∗6∗5∗4∗3∗2∗1 n! 10 ! = = =10∗9∗8=720 7∗6∗5∗ 4∗3∗2∗1 ( n−r ) ! ( 10 −3 ) !

Ahora suponga que selecciona a 3 personas para la mesa directiva pero que no existen puestos. ¿Cuántas maneras hay de asignar a los alumnos?

A C D=A D C=D C A=D A C=C A B=C B A

Solo hay una manera porque el orden en este caso no es importante. Un combinación es un arreglo de objetos donde el orden NO ES IMPORTANTE _3__*__2__*_1__ = 6 “permutaciones” / 6 maneras de escribir un solo resultado = 1

Pnr n! n C= = = r (n−r ) ! r ! r ! n r

()

Lo anterior se lee: las combinaciones de “ r” artículos seleccionados de “n”

PROBLEMAS DE PROBABILIDAD CON COMBINACIONES Y PERMUTACIONES Ejercicio. Melate. Se seleccionan 3 números de 1 ,2,3,4,5 y la persona gana el primer si esos 3 números son los elegidos en un sorteo. ¿Qué probabilidad hay de ganar el primer premio? S={123 124 125 134 135 145 234 235 245 345} A: Ganar el primer lugar (seleccionar los 3 números del sorteo y 0 de los no sorteados) P(A) = 1 / 10 123=132=213=231=312=321-------------combinaciones

P(A) =

(33 )( 20) = 1∗1 = 1 ( 53) C 10 5 3

¿Cuál es la probabilidad de adivinar dos números? B: Adivinar dos números (y uno no)

P(B) =

(32 )( 21) = 3∗2 = 6 10 (53 ) C 5 3

Ejercicio. Melate original. Se seleccionan 6 números de 1,2,3,4,5,6,7,8,9,…,55,56 y se gana el primer lugar si adivinan los 6 números. ¿Cuál es la probabilidad de ganar el primer lugar? A: ganar el primer lugar (seleccionar los 6 ganadores y 0 no ganadores)

P(A) =

(66 )( 500) = 1∗1 = 1 32468436 ( 566 ) 32468436

Para ganar el tercer lugar se deben “adivinar” 5 números ¿ qué probabilidad hay de hacerlo? B: Ganar tercer lugar (seleccionar 5 ganadores y 1 no ganador)

P(B)=

(65 )( 501) = 6∗50 = 300 ( 566 ) 32468436 32468436

Ejercicio. Se seleccionan 5 alumnos al azar del grupo de probabilidad de las 11am ¿Qué probabilidad hay de seleccionar a 3 mujeres? En el salón hay 17 alumnos de los cuales 4 son mujeres. M: Seleccionar 3 mujeres (y 2 hombres)

P(M)=

(43 )( 132 )= 4∗78 = 312 =5.04 % ( 175 ) 6188 6188

312 formas de elegir 3 mujeres y 2 hombres /6188 todas las formas de seleccionar un grupo de 5 alumnos de un total de 17 1 2 3 4 son mujeres y seleccionamos 3 solamente 123 124 134 234

12345=12354=13245------si son lo mismo-----combinaciones 12346 12347 12348 TEOREMAS DE LA SUMA Y DE LA MULTIPLICACION DE PROBABILIDADES Teorema Suma: Si A y B son dos eventos de interés y también es de interés la P(A  B) = P(A o B) entonces esa probabilidad se calcula sumando las probabilidades P(A  B) = P(A) + P(B) si lo eventos son excluyentes (ajenos o disjuntos) P(A  B) = P(A) + P(B) – P(AB) si los eventos no son excluyentes

Excluyente: significa que no pueden ocurrir los dos Por ejemplo una moneda cae águila o sello por lo tanto águila y sello son excluyentes, si se lanza un dado no puede ocurrir que caiga 1 y 5, por lo que se dice que son excluyentes NO excluyente: significa que pueden ocurrir los dos. Por ejemplo una persona es mujer y es de ciudad Obregón Ejemplos. Se lanzan 2 monedas. ¿qué probabilidad hay de que aparezca un águila o ninguna? S={aa,as,sa,ss}

A: Una águila (y un sello) B: no aparece águila (y dos sellos) A y B son excluyente porque cuando lanzó las dos monedas solo ocurre uno de ellos no los dos P( AB) P(A  B) = P(A) + P(B) si lo eventos son excluyentes P(A  B) = 2/4 + 1/4 = 3/4

Ejercicio Carlos compra un boleto para la rifa del lunes. Hay 50 boletos. ¿qué probabilidad de que gane? 1/50 Luego compra dos boletos más para esa misma rifa ¿Qué probabilidad hay de que gane?

1/5 + 2/50 = 3/50

Ejercicio. En un salón hay 19 personas como se muestra en la siguiente tabla. Si al azar se selecciona a una de ellas ¿qué probabilidad hay de que sea mujer o que sea una persona de Ciudad Obregón?

Mujer C. Obregón No C. Obregón Total

Hombre

Total

2

10

12

1

6

7

3

16

19

M: es mujer C: es de Obregón M y C no son excluyentes porque pueden ocurrir los dos P(M  C) = P(M) + P(C) – P(M  C) ==3/19 + 12/19 – 2/19 = 13/19

P(M o C)

P(M y C)

TEOREMA DE LA MULTIPLICACIÓN Se usa cuando queremos que ocurran dos o mas cosas. Es decir todas aquellas situaciones donde aparezca Y

Se lanzan dos monedas. ¿Qué probabilidad hay de que las dos sean águilas? A: Las dos sean águilas (águila en la primera moneda y águila en la segunda moneda) B: águila en el primer lanzamiento C: águila en el segundo lanzamiento P(A)=P(ByC)=P(BC)=P(B)P(C) = ½ * ½ = 1 / 4 S={aa,sa,as,ss} Ejercicio. Luis compra un boleto para la rifa del lunes y otro para la rifa del viernes ¿qué probabilidad hay de que gane los dos premios? Suponga que hay 50 boletos en cada rifa. A: gana la rifa 1 B: gana la rifa 2 P(Gana la primera rifa y gana la segunda rifa) =P(AB)=P(A)P(B)= 1/50 * 1/50 = 1/2500

Ejercicio. En un examen de opción múltiple hay 5 preguntas con cuatro respuestas de las cuales una es correcta. Si una persona elige al azar las respuestas, ¿qué probabilidad hay de que las 3 primeras sean correctas y las demás no? 1ª correcta y 2ª correcta y 3ª correcta y 4ª incorrecta y 5ª incorrecta A: 1ª correcta B: 2ª correcta C:3ª correcta D:4ª incorrecta E: 5ª incorrecta P(A y B y C y D y E)= P(ABCDE)=P(A)P(B)P(C)P(D)P(E)=1/4 * 1/4 *1/4 * 3/4 *3/4= 9/4^5 =9/1024 = 0.88 %

Ejercicio. En los dos siguientes sistemas hay dos componentes que tienen probabilidad de funcionar 99%. ¿qué probabilidad hay de que los sistemas funcionen (confiabilidad)?

sistema paralelo

sistema en serie

SISTEMA EN Serie ¿Probabilidad de funcionar del sistema?

Funciona A y funciona B F: Funciona A G: Funciona B P(F y G) = P(F)P(G) = 0.99*0.99 = 0.9801=98.01% En sistemas en serie mientras más componentes se añaden la confiabilidad es menor. ¿Probabilidad de no funcionar del sistema en serie? 100-98.01=1.99% No funciona A (y B funciona) o no funciona B (y A funciona) o no funciona A y no funciona B

0.01*0.99 + 0.99*0.01 + 0.01*0.01= 1.99%

Probabilidad de funcionar del sistema en paralelo Funciona el sistema = funciona A (y B no funciona) o funciona B (y A no funciona) o funciona A y funciona B .99*.01 + .01*.99 + .99*.99= 99.99% 100-0.01=99.99% En un sistema paralelo mientras mas componentes se conecten mayor será la confiabilidad. No funciona el sistema = no funciona A y no funciona B 0.01*0.01 = 0.0001------0.01% Ejercicio. En la siguiente serie (3 juegos) ¿qué probabilidad hay de que los yaquis ganen los 3 juegos? Gana 1º y gana 2º y gana 3º 1/2 * 1/2 * 1/2 = 1 / 8 = 12.5% bajo el supuesto de que hay 2 resultados: gana o pierde 1/3 * 1/3 * 1/3 = 1/27 = 3.7%

Bajo el supuesto de que hay 3 resultados: gana pierde o empata

En los dos casos anteriores se suponen probabilidades iguales. Cómo sería el cálculo si no se consideran probabilidades iguales: Habría que calcular la probabilidad de ganar desde la perspectiva de la frecuencia relativa. Ejemplo Si de los 20 últimos juegos los yaquis ganaron 15… 15/20 * 15/20 * 15/20 = 42.19% gana los 3 juegos

¿Cuál es la probabilidad de ganar solo un partido de la serie? Considere que la probabilidad de ganar un partido es 15/20 15/20 * 5/20 * 5/20 + 5/20 * 15/20 * 5/20 +5/20 *5/20 * 15/20 = 14.06% Gana 1º y no gana el 2º y no gana el 3º o no gana 1º y gana el 2º y no gana el 3º oono gana el primero y no gana el 2º y gana el 3o

Gana cualquiera de los 3 (gana el 1º o gana el 2º o gana el 3º)

Si consideramos que probabilidad de ganar es 1/3 1/3*2/3*2/3 + 2/3*1/3*2/3+2/3*2/3*1/3 = 44.44% Si consideramos ½ como la probabilidad de ganar ½*1/2*1/2 + ½*1/2 *1/2 + ½ *1/2 *1/2 = 37.5%...